Chương 2: Phương trình lượng giác cơ bản

2 *− = 
Điều kiện 3
cos x 0
cos 3x 4 cos x 3cos x 0
≠⎧⎨ = − ≠⎩
π π⇔ ≠ ⇔ ≠ + hcos3x 0 x
6 3
Lúc đó ta có (*) ⇔ ( )tgx tgx tg3x 2− = 
⇔ sin x sin x sin 3x 2
cos x cos x cos 3x
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ ( ) 2sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x− =
⇔ ( ) 2sin x sin 2x 2 cos x.cos 3x− = 
⇔ 2 22sin x cos x 2cos x cos3x− =
⇔ (do cos2sin x cos x cos3x− = x 0≠ ) 
⇔ ( ) ( )1 11 cos 2x cos 4x cos 2x
2 2
− − = + 
⇔ cos4x 1 4x k2= − ⇔ = π + π 
⇔ ( )kx k
4 2
π π= + ∈ Z 
so với điều kiện 
Cách 1 : Khi 
kx
4 2
π= + π thì ( )3 3k 2cos 3x cos 0 nhận
4 2 2
π π⎛ ⎞= + = ± ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy 
không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : 
(*) ⇔ kx
4 2
π π= + 
Lưu ý cách 2 rất mất thời gian 
Cách 3 : 
Nếu 
π π π= + = +3 3k3x h
4 2 2
π
h 6k
Thì + = +3 6k 2 4h
⇔1 4 = −
⇔ = −1 2h 3k
2
 (vô lý vì ∈k,h Z ) 
Bài 44: Giải phương trình 
( )2 2 2 11tg x cot g x cot g 2x *
3
+ + = 
Điều kiện 
cos x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
≠⎧⎪ ≠ ⇔ ≠⎨⎪ ≠⎩
Do đó : 
(*)⇔ 2 2 21 1 11 1 1cos x sin x sin 2x 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11 
⇔ 2 2 2 21 1 1cos x sin x 4 sin x cos x 3+ + =
20
⇔
2 2
2 2
4 sin x 4 cos x 1 20
4 sin x cos x 3
+ + = 
⇔ 25 2sin 2x 3=
0
⇔ 2 3sin 2x
4
= (nhận do sin2x 0≠ ) 
⇔ ( )1 31 cos4x
2 4
− = 
⇔ 1 2cos4x cos
2 3
π= − = 
⇔ 24x k2
3
π= ± + π 
⇔ ( )kx k
6 2
π π= ± + ∈ Z 
Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : 
2tgx cot gx
sin 2x
+ = 
Vậy (*)⇔( )2 21 1tgx cot gx 2 1sin x 3
⎛ ⎞+ − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 
⇔ 25 2sin 2x 3=
0
Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) 
Giải phương trình 
( )2 2 2x xsin tg x cos 0 *
2 4 2
π⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Điều kiện : cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ±
lúc đó : 
(*) ⇔ [ ]221 sin x 11 cos x 1 cos x 02 2 cos x 2
⎡ π ⎤⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ = 
 ⇔ ( ) ( ) ( )221 sin x 1 cos x 1 cos x 01 sin x
− − − + =− 
⇔ ( )21 cos x 1 cos x 0
1 sin x
− − + =+ 
⇔ ( ) 1 cos x1 cos x 1 0
1 sin x
−⎡ ⎤+ −⎢ ⎥+⎣ ⎦ =
=
⇔ ( ) ( )1 cos x cos x sin x 0+ − −
⇔ ( )cos x 1 nhậndocos x 0
tgx 1
= − ≠⎡⎢ = −⎣
⇔ 
= π + π⎡⎢ π⎢ = − + π⎣
x k2
x k
4
Bài 46 : Giải phương trình 
( ) ( )2sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+ = 
Điều kiện : ⇔ sin x 0
cos2x 0
≠⎧⎨ ≠⎩ 2
sin x 0
2cos x 1 0
≠⎧⎨ − ≠⎩
 ⇔ 
cos x 1
2cos x
2
≠ ±⎧⎪⎨ ≠ ±⎪⎩
Ta có : cos x sin2xcot gx tg2x
sin x cos2x
+ = + 
cos2x cos x sin2xsin x
sin x cos2x
+= 
cos x
sin x cos2x
= 
Lúc đó : (*) ⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠
2cos x2sin x cos x 4 cos x
sin x cos 2x
⇔ 
2
22cos x 4 cos x
cos2x
= ( )Dosin x 0≠ 
⇔ 
cos x 0
1 2
cos2x
=⎡⎢⎢ =⎣
 ⇔ 
( )
⎡ ⎛ ⎞= ≠ ≠ ±⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢ π⎢ = = ≠⎣
2cos x 0 Nhận do cos x và 1
2
1cos 2x cos , nhận do sin x 0
2 3
⇔ 
π⎡ = + π⎢⎢ π⎢ = ± + π⎢⎣
x k
2
x k
6
 ( ) ∈k Z
Bài 47 : Giải phương trình: 
( )2 2cot g x tg x 16 1 cos4x
cos2x
− = + 
Ta có : 
2 2
2 2
2 2
cos x sin xcot g x tg x
sin x cos x
− = − 
4 4
2 2 2
cos x sin x 4cos2x
sin x cos x sin 2x
−= = 
Điều kiện : ⇔ sisin2x 0
cos2x 0
≠⎧⎨ ≠⎩ n4x 0≠ 
Lúc đó (*) ( )24 16 1 cos4xsin 2x⇔ = + 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
⇔ = +
⇔ = + −
⇔ = − =
⇔ = ≠
⇔ − =
π π⇔ = ⇔ = + ∈ 
2
2 2
2
1 4 1 cos 4x sin 2x
1 2 1 cos 4x 1 cos 4x
1 2 1 cos 4x 2sin 4x
1sin 4x nhận do sin 4x 0
2
1 11 cos 8x
2 2
kcos 8x 0 x , k
16 8
Bài 48: Giải phương trình: ( )4 4 7sin x cos x cot g x cot g x *
8 3 6
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Điều kiện 
sin x 0 sin x 0
3 3 2sin 2x 0
3
sin x 0 cos x 0
6 3
⎧ ⎧π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≠ + ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ ⇔ +⎨ ⎨ ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− ≠ + ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩
≠ 
1 3sin2x cos2x 0
2 2
tg2x 3
⇔ − + ≠
⇔ ≠
Ta có: ( )24 4 2 2 2 2 21sin x cos x sin x cos x 2sin x.cos x 1 sin 2x2+ = + − = − 
Và: cot g x .cot g x cot g x .tg x 1
3 6 3 3
π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 
Lúc đó: (*) 21 71 sin 2x
2 8
⇔ − = 
 ( )1 11 cos4x
4 8
⇔ − − = − 
⇔ =
π π⇔ = ± + π ⇔ = ± +
1cos 4x
2
k4x k2 x
3 1
π
2 2
 (nhận do 3tg2x 3
3
= ± ≠ ) 
Bài 49: Giải phương trình ( )12tgx cot g2x 2sin2x *
sin2x
+ = + 
Điều kiện: 
cos2x 0
sin2x 0 cos2x 1
sin2x 0
≠⎧ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±⎨ ≠⎩ 
Lúc đó: (*) 
2sin x cos2x 12sin2x
cos x sin2x sin2x
⇔ + = + 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⇔ + = +
⇔ + − = +
⇔ − =
⎡ ⎤⇔ − + =⎣ ⎦
⎡ = ≠ ⇒⎢⇔ π⎢
≠
= − = ≠ ±⎢⎣
π⇔ = ± + π ∈
π⇔ = ± + π ∈ 
2 2
2 2 2 2
2 2
2
4 sin x cos 2x 2sin 2x 1
4 sin x 1 2sin x 8sin x cos x 1
2sin x 1 4 cos x 0
2sin x 1 2 1 cos 2x 0
sin x 0 loại do sin 2x 0 sin x 0
1 2cos 2x cos nhận do cos 2x 1
2 3
22x k2 k Z
3
x k , k
3
Bài 51: Giải phương trình: 
( ) ( )3 sin x tgx 2 1 cos x 0 *
tgx sin x
+ − + =− ( ) 
Điều kiện : ⇔ tgx sin x 0− ≠ sin x sin x 0
cos x
− ≠ 
⇔ ( )sin x 1 cos x 0
cos x
− ≠ ⇔ 
sin x 0
cos x 0 sin2x 0
cos x 1
≠⎧⎪ ≠ ⇔ ≠⎨⎪ ≠⎩
Lúc đó (*)⇔ ( )( ) ( )
3 sin x tgx .cot gx
2 1 cos x 0
tgx sin x .cot gx
+ − + =− 
⇔ ( )( ) ( )
3 cos x 1
2 1 cos x 0
1 cos x
+ − + =− 
⇔ ( )− = ≠ + ≠−
3 2 0 do sin x 0 nên cos x 1 0
1 cos x
⇔ 1 2cosx 0+ =
⇔ 1cos x
2
= − (nhận so với điều kiện) 
⇔ π= ± + π ∈ 2x k2 , k
3
Bài 52 : Giải phương trình 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 21 cos x 1 cos x 1tg xsin x 1 sin x tg x *
4 1 sin x 2
− + + − = + +− 
Điều kiện : 
cos x 0
sin x 1
≠⎧⎨ ≠⎩ ⇔ cos x 0≠ 
Lúc đó (*)⇔ ( )( ) ( )
2 3 2
2 2
2 1 cos x sin x 1 sin x1 sin x
4 1 sin x 1 sin x 2 1 sin x
+ − = + +− − − 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 21 cos x 1 sin x 2sin x 1 sin x 1 sin x 2sin x+ + − = + − + 2 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 sinx 1 cos x 1 sin x cos x 2sin x 1 sin x+ + = + + + 
⇔ 2 2
1 sin x 0
1 cos x cos x 2sin x
+ =⎡⎢ + = +⎣ 2
⇔ ⇔ cos2x = 0 = − ≠⎡⎢ = −⎣
sin x 1 ( loại do cos x 0 )
1 1 cos 2x
⇔ 2x k
2
π= + π 
⇔ x k
4 2
π= + π (nhận do cosx ≠ 0) 
Bài 53 : Giải phương trình 
( )cos3x.tg5x sin7x *= 
Điều kiện cos5x 0≠
Lúc đó : (*) ⇔ sin5xcos3x. sin7x
cos5x
= 
sin5x.cos3x sin7x.cos5x= ⇔ 
[ ] [ ]1 1sin8x sin2x sin12x sin2x
2 2
+ = + ⇔ 
sin8x sin12x= ⇔ 
 12x 8x k2 12x 8x k2= + π ∨ = π − + π⇔
π π= ∨ = +k kx x⇔ π
10
So lại với điều kiện 
2 20
k 5kx thì cos5x cos cos
2 2
π π= = = k
2
π
 (loại nếu k lẻ) 
π π π π⎛ ⎞= + = + ≠⎜ ⎟⎝ ⎠20 10
k kx thì cos5x cos 0 nhận
4 2
π π= π ∨ = + kx h x
20 10
Do đó : (*)⇔ , với k, h ∈ 
Bài 54 : Giải phương trình 
( )4 4sin x cos x 1 tgx cot g2x *
sin2x 2
+ = + ( )
Điều kiện :
Ta có :
 sin2x 0≠ 
 ( )24 4 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+ = + − 2
211 sin 2
2
= − x
sin x cos2xtgx cot g2x
cos x sin2x
+ = + 
sin2xsin x cosx cos2x
cos xsin2x
+= 
( )cos 2x x 1
cos xsin2x sin2x
−= = 
( )
−
⇔ =
⇔ − =
⇔ = ≠
⇔ =
π⇔ = + π ∈
π π⇔ = + ∈


2
2
2
2
11 sin 2x 12Do đó : (*)
sin 2x 2sin 2x
1 11 sin 2x
2 2
sin 2x 1 nhận do sin 2x 0
cos 2x 0
2x k , k 
2
kx , k 
4 2
Bài 55 : Giải phương trình 
( )2tg x x2 2 2.cot g 2x.cot g3x tg x cot g 2 cot g3x *= − + 
cos x 0 sin2x 0 sin3x 0≠ ∧ ≠ ∧ ≠ Điều kiện : 
sin2x 0 sin3x 0⇔ ≠ ∧ ≠
( )⇔ − = −
⎡ − + ⎤ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2 2 2 2Lúc đó (*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4xcot g3x 1
1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 2x 1 cos 4x
 −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
( )
⎡ ⎤⇔ − + − + −⎣ ⎦
= − − − + +
⇔ − = − +
⇔ − = −
⇔ = ≠
⇔ = ∨ =
π⇔ = + π ∨ =
cot g3x 1 cos2x 1 cos4x 1 cos2x 1 cos4x
1 cos2x 1 cos4x 1 cos4x 1 cos2x
cot g3x 2cos4x 2cos2x 2 cos4x cos2x
cos3x 4sin3xsin x 4cos3x cos x
sin3x
cos3xsin x cos3x cos x do sin3x 0
cos3x 0 sin x cos x
3x k tgx 1
2
( )π π π⇔ = + ∨x x
6 3
= + π ∈k l k, l Z
4
 điều kiện: sinSo với ≠2x.sin3x 0 
* Khi π π= + kx
6 3
 thì π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + π ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2ksin .sin k 0
3 3 2
+⎛ ⎞⇔ π ≠⎟⎠
1 2ksin 0 
Luôn đúng 
⎜⎝ 3
( )∀ + ≠k thỏa 2k 1 3m m Z ∈
* Khi π= + πx l thì π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ π + π = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2sin 2l sin 3l 0
2 4 2
4
≠
luôn đúng 
Do đó: (*) 
π π⎡ = + ∈ ∧ ≠ − ∈⎢⇔ ⎢ π⎢ = + π ∈⎢⎣


kx , k Z 2k 3m 1( m
6 3
x l , l
4
)
Cách khác: ( )⇔ − = −
−−⇔ = =− −
+ −⇔ = − +
⇔ = ⇔ = ∨ =
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
 (*) cotg3x tg x cot g 2x 1 tg x cot g 2x
tg 2x.tg x 1tg x cot g 2xcot g3x
tg x cot g 2x 1 tg x tg 2x
(1 tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx )cot g3x
(tg2x tgx) ( tg2x tgx)
cot g3x cot gx.cotg3x cos 3x 0 sin x cos x
BÀI TẬP 
π⎛ ⎞π⎜ ⎟⎝ ⎠,331. Tìm các nghiệm trên của phương trình: 
 π π⎛ ⎞ ⎛+ − = +⎜ ⎟ ⎜5 7sin 2x 3cos x 1 2sin x2 2 
⎞− ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Tìm các nghiệm x trên π⎛ ⎞⎜ ⎟2 ⎝ 2 ⎠0, của phương trình 
4x cos 6x sin 10,5 10x
3. Giải các phương trình sau: 
x cos x 2 sin x s x+ = + 
 sin ( )− = π +2 2
 a/ sin co( )3 3 5 5
 b/ sin x sin2x sin3x 3
cos x cos2x cos3x
+ + =+ + 
 c/ 2 1 cos xtg x
1 sin x
+= − 
 d/ tg2x tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x− − = 
 e/ 24cos x cos x
3
= 
 f/ 1 12 2 sin x
4 sin x cos x
π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2
 i/ 2tgx cot g2x 3
sin2x
+ = + 
 h/ 23tg3x cot g2x 2tgx
sin4x
+ = + 
 k/ =2 2 2sin x sin 2x sin 3x 2+ + 
 l/ 
si 2n x 2cos x 0
in x
+
1 s
=+ 
 m/ ( )225 4x 3sin2 x 8sin x 0− π + π =
 n/ sin x.cot g5x 1
cos9x
= 
 o/ 23tg6x 2tg2x cot g4x
sin8x
− = − 
 p/ ( )22sin 3x 1 4sin x 1− = 
 q/ 2 1 cos xtg +x
1 sin x
= − 
 r/ 3c x 33 2os cos3x sin xsin x
4
+ = 
 s/ 4 4x x 5sin cos
3 3 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 t/ =3 3 2cos x 4sin x 3cos xsin x sin x 0− − + 
 u/ 4 4x xsin cos 1 2sin x
2 2
+ = − 
 v/ s 3in x sin2x.sin x
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 w/ 
( )24
4
2 sin x sin3x
tg x 1
cos x
−+ = 
2 x y/ tgx cos x cos+ − x sin x 1 tg tgx
2
⎛ ⎞= + ⎠ 
. 
⎜ ⎟⎝
4 Cho phương trình: ( ) ( ) (2 )2s x m 3 4cos x 1+ + = − 
 a/ Giải phương trình khi m = 1 
2sin x 1 2cos2x in−
[ ]0,π b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên 
m 0 m 1 m 3= ∨ ) 
5. Cho phương trình: 
( )54 cos xs 5 2in x 4sin x.cos x sin 4x m 1− = + 
Biết rằng x = π là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình trong trường 
hợp đó. 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn