Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 3HỆ PHƯƠNG TRÌNHTUYẾN TÍNHI. ĐẶT BÀI TOÁN :Hệ phương trình tuyến tính n pt và n ẩn có dạng	Ax = bvớiCác phương pháp giải Phương pháp giải chính xác Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp nhân tử LU Phương pháp Cholesky Phương pháp giải gần đúng Phương pháp lặp Jacobi Phương pháp lặp Gauss-SeidelII. PHƯƠNG PHÁP GAUSS1. Các dạng ma trận đặc biệt : a. Ma trận chéo : detA = a11a22 . . . ann  0  aii  0, iNghiệm xi = bi/aiib. Ma trận tam giác dướidetA = a11a22 . . . ann  0  aii  0, iPhương trình có nghiệmc. Ma trận tam giác trên : detA = a11a22 . . . ann  0  aii  0, iPhương trình có nghiệm2. Phương pháp Gauss : Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng để chuyển ma trận A về ma trân tam giác trênCác phép biến đổi sơ cấp theo dòng hoán chuyển 2 dòng nhân 1 dòng với 1 số khác 0 cộng 1 dòng với dòng khácVí dụ : Giải hệ phương trình GiảiGiải pt ma trận tam giác trên, ta được nghiệm	x = (-7, 3, 2, 2)tIII. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LUPhân tích ma trận A thành tích 2 ma trận L và U	A = LUL : ma trận tam giác dướiU : ma trận tam giác trênPhương trình Ax = b  L(Ux) = bTa đưa về giải 2 hệ phương trìnhPhương pháp Doolittle :Giả sử A ma trận không suy biến và a11  0 Ta có thể phân tích A thành 	A = LUMa trân  dướiMa trân  trênCác phần tử của L và U được xác định theo công thứcVí dụ : Giải hệ phương trình Giải Ta phân tíchVí dụ : Giải hệ phương trình Giải hệ Ly = bGiải hệ Ux = yNghiệm x1 = 2, x2 = 1, x3= -1TH đặc biệt : A ma trận 3 đường chéoTa phân tích A thành LU vớiCác phần tử của L và U được xác định theo công thứcVí dụ : Giải hệ phương trình Ax = bGiải Ta phân tíchGiải hệ Ly = bGiải hệ Ux = yNghiệm x1 = 5/2, x2 = 3, x3= 5/2III. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKYĐịnh nghĩa : Ma trân A gọi là đối xứng nếu	 A = At Ma trân A gọi là xác định dương nếuĐể kiểm tra xác định dương, ta dùng đình lý sau:Định lý : Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó đều dươngVí dụ : Kiểm tra tính xác định dương của ma trậnGiảiCác định thức con chính:Vậy A là xác định dươngĐịnh lý (Cholesky) : Nếu A ma trận đối xứng và xác định dương, thì tồn tại ma trận  dưới, khả đảo B sao cho	A = BBtMa trận B = (bij) tìm theo công thức sau : Ví dụ : Giải hệ phương trình Ax = bGiảiTa có A ma trận đối xứng và xác định dươngPhân tích 	A = BBtCác hệ số Giải hệ By = bGiải hệ Bt x = yNghiệm x1 = 3 , x2 = -1/2, x3= 3/2IV. PHƯƠNG PHÁP LẶP1. Chuẩn : a. Chuẩn vector : Định nghĩa : Chuẩn của vector xRn là hàm số thực ký hiệu là ||x||, thỏa 3 điều kiện sau : ||x||≥0, xRn và ||x|| = 0  x=0 ||x|| = || ||x||, xRn,  R ||x+y|| ≤||x|| + ||y||, x,yRnCó nhiều công thức chuẩn khác nhau, xét 2 công thứcx= (x1,x2,, xn)tDễ dàng kiểm tra ||x||, ||x||1 là các chuẩn gọi là chuẩn  và chuẩn 1b. Chuẩn ma trận : Định nghĩa : Chuẩn của ma trân A được xác định theo công thứcĐịnh lý : Cho ma trận A = (aij), ta cóc. Hội tụ theo chuẩn : Định nghĩa : Dãy các vector {x(m)}Rn hội tụ về x theo chuẩn nếu ||x(m) –x|| 0 khi mĐịnh lý : Dãy {x(m)=(x1(m), x2(m),, xn(m) )}Rn hội tụ về x = (x1, x2, , xn) theo chuẩn nếu và chỉ nếu dãy {xk(m)}hội tụ về xk khi m, k=1,n2. Phương pháp lặp : Ta chuyển hệ pt về dạng	x = Tx + c Với T là ma trận vuông cấp n và c là 1 vectorĐể tìm nghiệm gần đúng, với vector ban đầu x(0), ta xây dựng dãy lặp theo công thức	x(m) = Tx(m-1)+ c, m=1,2,Ta cần khảo sát sự hội tụ của dãy {x(m)}Ta có định lý sau Định lý : Nếu ||T|| > 1	Vậy hệ không ổn địnhVí dụ :Ta có k(A) = 6 x 20/13 = 9.2308 >> 1	Vậy hệ không ổn định