Chương 3: Phương pháp toạ độtrong mặt phẳng

cơ sở y =  b y =  b 
Phương trình các tiệm cận y =  x 
Ph.trình các đường chuẩn (Δ1,2): x =  
e
a = 
c
a 2 (Δ1,2): x =  
e
a = 
c
a 2 
Tính chất i
i
FM
d(M, )Δ = e (i = 1, 2) 
i
i
FM
d(M, )Δ = e (i = 1, 2) 
 Lập phương trình chính tắc của Elip nếu: 
 ¬. Trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8. −. Trục nhỏ bằng 24, tiêu cự bằng 10. 
 ®. Tiêu cự bằng 8, tâm sai bằng  . ¯. Trục lớn bằng 20, tâm sai bằng  . 
 °. Trục nhỏ bằng 10, tâm sai bằng  . 
A1 A2 O
F1 F2
MB2 
B1
2c 
2a 
2b 
x 
2a2/c (Δ2) (Δ1) 
x
y 
F2 F1 A1 A2 O 
2a 
2a2/c
2c 
(Δ2) (Δ1)
2b
M 
BÀI TẬP ÔN 
1/ Cho điểm M(8;–9) và đường thẳng d: x + 2y + 5 = 0. 
 ¬. Viết phương trình tham số của đường thẳng d. 
 −. Tìm toạ độ điểm H  d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 
Tính độ dài nhỏ nhất này. 
2/ Cho 3 điểm A(1;6), B(–3;– 4), C(2;–3) và đường thẳng (Δ): 2x – y – 1 = 0. 
Tìm trên (Δ) điểm M sao cho: 
 ¬. ΔBCM cân tại B. −. AM2 + BM2 nhỏ nhất. 
 ®. AM + BM nhỏ nhất. ¯. AM + BM + CM nhỏ nhất. 
3/ ΔABC có phương trình 2 cạnh AB: x + y – 2 = 0, AC: 2x + 6y + 3 = 0 và 
M(–1;1) là trung điểm của cạnh BC. Tìm toạ độ A, B, C. 
4/ Cho ΔABC có trọng tâm G(–2;–1) và các cạnh 
AB: 4x + y + 15 = 0, AC: 2x + 5y + 3 = 0. 
 ¬. Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của đoạn BC. 
 −. Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC. 
5/ Cho đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 = 0. 
 ¬. Lập phương trình đường thẳng (Δ) đi qua M(2;1) và song song với (d). 
 −. Lập phương trình đường thẳng (D) vuông góc với (d) và tạo với 2 trục 
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12. 
6/ ΔABC có đỉnh A(–1;–3), trọng tâm G(4;–2) và đường trung trực của đoạn 
AB là (d): 3x + 2y – 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B, C. 
7/ ΔABC có đỉnh A(–1;3), đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x, phân 
giác trong góc C nằm trên đường thẳng x + 3y + 2 = 0. Viết ph.trình cạnh BC. 
8/ Cho ΔABC có đỉnh C(– 4;3), ph.trình đường cao AH: 11x +2y – 13 = 0 và 
đường phân giác AD: x + 7y – 8 = 0. 
 ¬. Viết phương trình các cạnh của ΔABC. 
 −. Góc vuông mCn quay quanh đỉnh C, hai cạnh của góc cắt hai trục toạ 
độ Ox, Oy lần lượt tại M và N. Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN. 
9/ Cho đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 và điểm A(0;3). Vẽ đoạn AH d (H∈d) 
và kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2AH. Tìm toạ độ điểm B. 
 Cho 2 điểm A(1;–2), B(–3;3). Tìm điểm C trên đường thẳng x – y + 2 = 0 
sao cho: 
 ¬. ΔABC vuông tại C. −. ΔABC cân ®. ΔABC đều. 
 Cho ΔABC có đỉnh A(1;3), đường cao BH: 2x – 3y – 10 = 0. 
 ¬. Giả sử cạnh BC có phương trình: 5x – 3y – 34 = 0. Tìm toạ độ B, C. 
 −. Giả sử cạnh AB có phương trình: 5x + y – 8 = 0 và ΔABC cân tại C. 
Xác định toạ độ các đỉnh B và C. 
-14- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng 
 Trên parabol y2 = 16x tìm các điểm có bán kính qua tiêu điểm bằng 13. 
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng x – y + 2 = 0 và parabol y2 = 8x. 
 
¥„ Cônic 
Định Nghĩa: Cônic là tập hợp các điểm M của mặt phẳng có tỉ số khoảng cách từ nó 
tới 1 điểm cố định F và 1 đ.thẳng cố định (Δ) (không đi qua F) bằng một hằng số e. 
e: Tâm sai, F: Tiêu điểm, (Δ): Đường chuẩn ứng với tiêu điểm F 
 * Nếu e < 1: cônic là Elip. 
 * Nếu e > 1: cônic là Hypebol. 
 * Nếu e = 1: cônic là Parabol. 
 Lập phương trình cônic nếu biết: 
 ¬. Tâm sai , tiêu điểm F(2;1) và đường chuẩn tương ứng x – 5 = 0. 
 −. Tâm sai bằng  , tiêu điểm F(5;0) và đường chuẩn tương ứng 5x –16 = 0 
 ®. Tâm sai , tiêu điểm F(– 4;1) và đường chuẩn tương ứng y + 3 = 0. 
 ¯. Tâm sai bằng  , tiêu điểm F(0;13) và đường chuẩn tương ứng 13y – 
144 = 0. 
 °. Tâm sai , tiêu điểm F(3;0) và đường chuẩn tương ứng x + y – 1 = 0. 
 ±. Tâm sai bằng 5, tiêu điểm F(2;–3) và phương trình đường chuẩn 
tương ứng 3x – y + 3 = 0. 
 ². Điểm A(–3;–5) nằm trên cônic, tiêu điểm F(–1;– 4), ph.trình đường 
chuẩn tương ứng x – 2 = 0. 
 ³. Điểm A(–3;–5) nằm trên cônic, tiêu điểm F(–2;–3), phương trình đường 
chuẩn tương ứng x + 1 = 0. 
 ´. Điểm M(2;–1) nằm trên cônic, tiêu điểm F(1;0), phương trình đường 
chuẩn tương ứng 2x – y – 10 = 0. 
 !0. Điểm M(1;–2) nằm trên cônic, tiêu điểm F(–2;2), phương trình đường 
chuẩn tương ứng 2x – y – 1 = 0. 
8 
Vũ Mạnh Hùng -11- 
 ±. Điểm M(–25;2) nằm trên Elip và trục nhỏ của nó bằng 6. 
 ². Điểm M(2;–2) nằm trên Elip và nửa trục lớn bằng 4. 
 ³. Hai điểm M(4;– 3 ), N(22;3) nằm trên Elip. 
 ´. Điểm M(1 5;–1) nằm trên Elip và tiêu cự bằng 8. 
 !0. Điểm M(2;–  ) nằm trên Elip và tâm sai bằng . 
 !1. Điểm M(8;12) nằm trên Elip và bán kính qua tiêu điểm bên trái của 
điểm M là r1 = 20. 
 !2. Đi qua điểm M( 324 ;) và M nhìn đoạn nối 2 tiêu điểm dưới góc . 
 !3. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 5, tiêu cự bằng 4. 
 !4. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 16, trục lớn bằng 8. 
 !5. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 13, trục nhỏ bằng 6. 
 !6. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 32, tâm sai bằng . 
 !7. Điểm M(– 5;2) nằm trên Elip và kh.cách giữa hai đ.chuẩn bằng 10. 
 Lập phương trình Elip biết: 
 ¬. Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là x  4 = 0, y  3 = 0. 
 −. Tâm O, hình chữ nhật cơ sở có 1 cạnh nằm trên đường thẳng x – 2 = 0 
và có đường chéo bằng 6. 
 ®. Một đỉnh là (5;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ 
sở là x2 + y2 = 41. 
 Tìm độ dài các trục, đỉnh, tiêu điểm, tâm sai của (E): 
 ¬. x2 + 25y2 = 25. −. x2 + 5y2 = 15. ®. 4x2 + 9y2 = 25. 
 ¯. 9x2 + 25y2 = 1. °. x2 + 4y2 = 1. 
 Tính diện tích tứ giác có 2 đỉnh là 2 tiêu điểm, 2 đỉnh còn lại là 2 đỉnh trên 
trục nhỏ của Elip x2 + 5y2 = 20. 
 Kiểm chứng rằng điểm M(– 4;) nằm trên Elip 16x2 + 25y2 = 400, tính 
các bán kính qua tiêu điểm của điểm M. 
 Tìm các điểm M trên Elip 7x2 +16y2 = 112 sao cho F1M = 2,5. 
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng và elip: 
 ¬. 2x – y – 3 = 0, 
2 2x y
16 9
+ = 1, −. 2x + y – 10 = 0, 
2 2x y
9 4
+ = 1, 
 ®. 3x + 2y – 20 = 0, x2 + 4y2 = 40. 
 Tìm tâm sai của Elip trong các trường hợp: 
 ¬. Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục nhỏ (k > 1). 
 −. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới góc 2α. 
 ®. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn 2 tiêu điểm dưới góc 2α. 
-12- Phương Pháp Toạ Độ Trong Mặt Phẳng 
 ¯. Khoảng cách giữa 2 đỉnh trên 2 trục bằng k lần tiêu cự (k > ). 
 Tâm sai Elip bằng 10, bán kính qua tiêu điểm của điểm M trên Elip bằng 
10. Tính khoảng cách từ M đến đường chuẩn cùng phía với tiêu điểm này. 
 Tâm sai Elip bằng  , khoảng cách từ điểm M trên Elip đến đường chuẩn 
bằng 20. Tính khoảng cách từ M đến tiêu điểm cùng phía với đường chuẩn 
này. 
 Một Elip có tâm sai bằng , tiêu điểm F(–2;0). Tính khoảng cách từ một 
điểm M trên Elip có hoành độ bằng 2 đến đường chuẩn cùng phía với tiêu 
điểm đã cho. 
 Một Elip có tâm sai bằng , một đường chuẩn có phương trình x = 16. 
Tính khoảng cách từ 1 điểm M trên Elip có hoành độ bằng – 4 đến tiêu điểm 
cùng phía với đường chuẩn đã cho. 
 Tìm tâm sai của Elip biết khoảng cách giữa 2 đường chuẩn = k lần tiêu cự 
 
 Lập phương trình chính tắc của hypebol nếu: 
 ¬. Tiêu cự bằng 10 và trục ảo bằng 8. −. Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng . 
 ®. Trục thực bằng 16, tâm sai bằng  . 
 ¯. Phương trình tiệm cận y = ±  x, tiêu cự bằng 20. 
 °. Các điểm M(6;–1), N(–8;22 ) nằm trên hypebol. 
 ±. Tâm sai bằng 2, điểm M(–5;3) nằm trên hypebol. 
 ². Phương trình tiệm cận y = ±x, điểm M(  ;–1) nằm trên hypebol. 
 ³. Tổng 2 bán trục a + b = 7, phương trình 2 tiệm cận y = x 
 ´. Một đỉnh là (–3;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật 
cơ sở x2 + y2 – 16 = 0 
 !0. Qua điểm M với xM = – 5 và F1M =  , F2M = . 
 !1. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng  , tiêu cự bằng 26. 
 !2. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng , trục ảo bằng 6. 
 !3. Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng  , tâm sai bằng . 
 !4. Phương trình tiệm cận y = ±x, khoảng cách giữa 2 đường chuẩn = . 
 !5. Phương trình đường chuẩn x = ±  , điểm M(–3; ) nằm trên hypebol. 
 !6. Phương trình tiệm cận y = ±, phương trình đường chuẩn x = ± . 
 Tìm độ dài các trục, tiêu điểm, tâm sai, phương trình các tiệm cận: 
Vũ Mạnh Hùng -13- 
 ¬. 16x2 – 9y2 = 144. −. 16x2 – 9y2 = –144. ®. 4x2 – 9y2 = 36. 
 ¯. x2 – 4y2 = 16. °. 4x2 – 9y2 = 25. ±. 25x2 – 16y2 = 1. 
 Kiểm chứng rằng điểm M(–5;  ) nằm trên hypebol 9x2 – 16y2 = 144. Tính 
bán kính qua tiêu điểm của điểm M. 
 Tìm những điểm trên hypebol 16x2 – 9y2 = 144 có khoảng cách đến tiêu 
điểm bên trái bằng 7. 
 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên hypebol 
đến 2 tiệm cận của nó là 1 đại lượng không đổi bằng 
2 2
2 2
a b
a b+ . 
 Tìm tâm sai của Hypebol biết: 
 ¬. Hai tiệm cận vuông góc. −. Góc giữa 2 tiệm cận bằng . 
 Xét vị trí tương đối của đường thẳng và hypebol: 
 ¬. x – y – 3 = 0, 
2 2x y
12 3
− = 1. −. x – 2y + 1 = 0, 
2 2x y
16 9
− = 1. 
 Tâm sai hypebol bằng 2, bán kính qua tiêu điểm của điểm M bằng 16. 
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn cùng phía với tiêu điểm. 
 Tâm sai hypebol bằng 3, khoảng cách từ điểm M trên hypebol đến đường 
chuẩn bằng 4. Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm cùng phía với 
đường chuẩn này. 
 Tâm sai hypebol bằng 2, một tiêu điểm là F(12;0). Tính khoảng cách từ 
điểm M trên hypebol có hoành độ bằng 13 đến đường chuẩn tương ứng với 
tiêu điểm đã cho. 
 Tâm sai hypebol bằng  , một phương trình đường chuẩn là x = – 8. Tính 
khoảng cách từ điểm M trên hypebol có hoành độ bằng 10 đến tiêu điểm 
tương ứng với đường chuẩn đã cho. 
 
¥ƒ Parabol 
Định nghĩa: (P) = {M / MF = d(M,Δ)} 
 ‚ Ph.trình chính tắc y2 = 2px 
 ‚ Tiêu điểm F(p/2;0) 
 ‚ Đường chuẩn Δ x = – p/2 
 ‚ BK qua tiêu điểm r = x + p/2 
 Lập phương trình chính tắc của parabol nếu: 
 ¬. Parabol đi qua điểm A(9;6). −. Tiêu điểm E(3;0). 
 Tìm tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol y2 = 24x. 
 Tính bán kính qua tiêu điểm của điểm M trên parabol y2 = 20x nếu xM = 7 
 Tính bán kính qua tiêu điểm của điểm M trên parabol y2 = 12x nếu yM = 6 
x 
y 
(Δ) 
F
O