Chương I - Phương trình lượng giác

 Ta có 
PT         21 cos2 1 cos6cos 2 1 cos2 cos3 2 cos6 0
2 2
x xx x x x 
       2 2cos2 cos6 2 cos 2 0 2 cos4 cos2 2 cos 2 0x x x x x x 
      2 cos2 cos4 cos2 0 4 cos3 cos2 cos 0x x x x x x 
 

  

 
 

   
  
         
      
 
3
6 32cos3 0
cos2 0 2
2 4 2
cos 0
2 2
kxx k
x
kx x k x
x
x k x k
 ( k ). 
Ví dụ 3. Giải các phương trình: 
a) 2 3 2 3sin sin sin cos cos cosx x x x x x     . 
b) 2 3 4 2 3 4sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x       . 
Giải. 
a) Ta có 
PT            2 2 3 3sin cos sin cos sin cos 0x x x x x x 
             sin cos 1 sin cos 1 sin cosx x x x x x 
    
  
 
   
sin cos 0 (1)
1 sin cos 1 sin cos (2)
x x
x x x x
. 
(1)        sin cos tan 1
4
x x x x k . 
Xét phương trình (2). 
 49 
Đặt 

   
  
          

2
2; 2
sin cos 2 sin 14 sin cos
2
t
t x x x t
x x
. Phương trình (2) trở thành 

        
2
212 0 2 3 0
2
tt t t t . 
Vậy phương trình có nghiệm là 
4
x k   ( k ). 
b) Ta có 
PT                4 4 3 3 2 2sin cos sin cos cos sin sin cos 0x x x x x x x x 
            3 3 2 2sin cos 2 sin cos sin cos 0x x x x x x 
(vì    4 4 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x      ) 
              sin cos 1 sin cos 2 sin cos 1 0x x x x x x 
 
  
 
   
sin cos 0 (1)
2 2 sin cos sin cos 0 (2)
x x
x x x x
. 
 (1)        sin cos tan 1
4
x x x x k . 
 Xét phương trình (2). 
Đặt 

   
  
          

2
2; 2
sin cos 2 sin 14 sin cos
2
t
t x x x t
x x
. Phương trình (2) trở thành 
  
          
2
2 112 2 0 4 3 0
2 3
tt
t t t
t
. 
Đối chiếu với điều kiện của t , ta thấy chỉ 1t   thỏa mãn. 
Ta có 
 1t  
   
              
   
1sin cos 1 2 sin 1 sin
4 4 2
x x x x 
 
 
   

       
     
2 24 4 2
5 22
4 4
x k x k
x kx k
. 
Vậy phương trình có nghiệm là 
4
x k   , 2
2
x k    , 2x k   ( k ). 
Ví dụ 4. [ĐHD04] Giải phương trình: 
 50 
   2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x    . (1) 
Giải. Ta có  sin 2 sin sin 2cos 1x x x x   . Do đó 
(1)       2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x    
    2cos 1 sin cos 0x x x    
2cos 1 0
sin cos 0
x
x x
 
  
 
1cos
2
tan 1
 

 
x
x
  
2
3
4




   

   

x k
x k
 ( k  ). 
Ví dụ 5. [ĐHB05] Giải phương trình: 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x     . (1) 
Giải. Ta có:  21 sin 2 sin cosx x x   ,   cos 2 cos sin cos sinx x x x x   . 
Do đó (1)         2sin cos sin cos cos sin cos sin 0x x x x x x x x       
      sin cos 1 sin cos cos sin 0x x x x x x        
   sin cos 2cos 1 0x x x    
sin cos 0
2cos 1 0
x x
x
 
  
 
tan 1
1cos
2
x
x
 

  

  4
2 2
3
x k
x k




   

   

, ( k  ). 
Ví dụ 6. [ĐHB11] Giải phương trình: sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x    . (1) 
Giải. Ta có 
(1)   sin 2 cos sin cos sin cos 2 cos 0x x x x x x x     
    2 2sin 2cos cos 1 2cos cos 1 0x x x x x      
   2sin 1 2cos cos 1 0x x x    
 51 
     sin 1 cos 1 2cos 1 0x x x     
sin 1
cos 1
1cos
2
x
x
x

 

 



  
2
2
2
2
3
x k
x k
x k


 


  

 

  

 ( k  ). 
Ví dụ 7. Giải phương trình: 5 3sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x          
   
. (1) 
Giải. Ta có 5 5 3sin cos sin sin 2cos sin
2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
x x x x x x                              
         
. 
Do đó 
(1)  
3 22cos sin 0
2 4 2
x x 
      
  
  
3cos 0
2
2sin
4 2
x
x 
 

      
 
3
2 2
2
4 4
3 2
4 4
x k
x k
x k


 

 

  

   


   

  
2
3 3
2
2
2
kx
x k
x k
 


 
  

  

  

, ( k  ). 
Ví dụ 8. Giải phương trình: 3 sintan 2
2 1 cos
xx
x
      
. (1) 
Giải. Ta có 
3tan tan cot
2 2
x x x          
   
  ĐK: 
 sin 0 cos 1
cos 1
x x
x
   

 
   sin 0 2x  . 
 (1)  sincot 2
1 cos
xx
x
 

   
  
  2
1 cos 1 cos
cos 1 cos sin 2sin 1 cos
x x
x x x x x
 
    
     1 cos cos 1 cos 2sin 0x x x x          1 cos 1 2sin 0x x   
 52 
  
 
 
cos 1 ( )
1sin ( )
2
khoâng thoûa maõn 2
thoûa maõn 2
x
x
 

 

  
2
6
5 2
6
x k
x k




  

  

 ( k  ). 
Ví dụ 9. Giải phương trình: 
 24
4
2 sin 2 sin 3
tan 1
cos
x x
x
x

  . (1) 
Giải. Đk: cos 0x   
2
x k   ( k  ). 
Ta có (1)   4 4 2sin cos 2 sin 2 sin 3x x x x   . 
Lại có 4 4 21sin cos 1 sin 2
2
x x x   . Do đó phương trình nói trên tương đương với 
 2 211 sin 2 2 sin 2 sin 3
2
x x x     2 12 sin 2 sin 3 0
2
x x    
 
 1sin 3
2
x  (do 22 sin 2 1x x   ) 
 
3 2
6
53 2
6
x k
x k




  

  

  
2
18 3
5 2
18 3
kx
kx
 
 
  

  

, k  (TMĐK). 
Ví dụ 10. Giải phương trình: 2sin sin cos sin cos 2 0x x x x x     . (1) 
Giải. Cách 1. (1)     2sin sin cos 2sin sin cos 2 0x x x x x x      
    sin sin cos sin sin cos 2 0x x x x x x      
   sin 1 sin cos sin 0x x x x     
 
 
sin cos 2 2
sin 1 3
x x
x
  


. 
(2)  sin cos 2x x   ,  22 21 1 2 2 0        2 vô nghiệm. 
(3)  2
2
x k   ( k  ). 
 53 
Vậy nghiệm của (1) là 2
2
k  ( k  ). 
Cách 2. Ta có  1   2sin cos 1 sin cos 2 0x x x x     . 
Coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x , ta có 
     2 2cos 1 4 cos 2 cos 3x x x       . 
Do đó  1  
   
   
cos 1 cos 3
sin
2
cos 1 cos 3
sin
2
x x
x
x x
x
   


   

  
sin cos 2
sin 1
x x
x
  
 
. 
Đến đây, việc tìm ra nghiệm của phương trình được thực hiện như ở cách 1. 
Nhận xét. Đối với phương trình có dạng 
 2 2sin cos sin cos sin cos 0 1a x b x c x x d x e x f      , 
với a , b là các số không đồng thời bằng 0 , việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp. 
Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin , cos ) ta có một cách làm khác 
như sau: Coi  1 là phương trình bậc hai đối với cos x , giải cos x theo sin x ; hoặc coi  1 là 
phương trình bậc hai đối với sin x , giải sin x theo cos x . 
C. BÀI TẬP 
Giải các phương trình sau 
a) sin3 sin sin 2 0x x x   . ĐS: k ,   2
3 3
k . 
b) cos10 cos8 cos6 1 0x x x    . ĐS: 
3
k , 
4
k . 
c) ͙ cos cos3 2 cos5 0x x x   . 
ĐS: 
2
k  , 1 1 17arccos
2 8
k

  , 1 1 17arccos
2 8
k

  
d) 1 sin cos3 cos sin 2 cos2x x x x x     . 
ĐS: k , 2
3
k   , 2
6
k   , 7 2
6
k  . 
e) 2 2 2 3sin sin 2 sin 3
2
x x x   . ĐS: 
8 4
k 
 , 
3
k   . 
 54 
f) 2 2 2sin 3 sin 2 sin 0x x x   . ĐS: 
2
k , 
6 3
k 
 . 
g) 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  . ĐS:  
4 2
k ,  
6 3
k . 
h) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x    . ĐS: 
4 2
k 
 , 
10 5
k 
 . 
i) 2 2 2 2 3cos cos 2 cos 3 cos 4
2
x x x x    . ĐS: 
8 4
k 
 , 
5
k   , 2
5
k   . 
j) 3 3cos sin sin cosx x x x   . ĐS: 
4
k  . 
k)    22sin 1 2sin 2 1 3 4 cosx x x    . 
ĐS: k , 2
6
k  , 5 2
6
k  , 2
3
k   , 2
3
k  . 
l)  cos sin cos sin cos cos2x x x x x x  . ĐS: 
2
k  , 
4
k  . 
m)    22sin 1 3cos4 2sin 4 4 cos 3x x x x     . ĐS: 2
6
k   , 7 2
6
k  , 
2
k . 
n) [ĐHA13] 1 tan 2 2 sin
4
x x     
 
. ĐS: 
4
k   , 2
3
k   . 
o) [ĐHB02] 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   . ĐS: 
9
k , 
2
k . 
p) [ĐHA03] 2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
xx x x
x
   

. ĐS: 
4
k  . 
q) [ĐHD03] 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
. ĐS: 2k  , 
4
k   . 
r) [ĐHB07] 22sin 2 sin 7 1 sin xx x   . ĐS: 
8 4
k 
 , 2
18 3
k 
 , 5 2
18 3
k 
 . 
s) [ĐHB08] 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   . 
ĐS:
4 2
k 
 , 
3
k   . 
t) [ĐHD08]  2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x    . ĐS: 2 2
3
k   , 
4
k  
u) [ĐHB10]  sin 2 cos 2 cos 2cos 2 sin 0x x x x x    . ĐS: 
4 2
k 
 . 
v) [ĐHA11] 2
1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2
1 cot
x x x x
x
 


. ĐS: 
2
k  , 2
4
k  
 55 
w) [ĐHD11] sin 2 2cos sin 1 0
tan 3
x x x
x
  


. ĐS: 2
3
k  . 
x)    2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0x x x    . ĐS: 
6 2
k 
  
y) 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x    . ĐS: 2
2
k   , 2 2
3
k   
z) 2sin cos 2 sin 2 cos sin 4 cosx x x x x x  . ĐS: k , 
3
k 
aa)   1 tan x 1 sin 2 1 tan xx    . ĐS: 
4
k   , k . 
bb) 1 1sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
    . ĐS: 
4 2
k 
 . 
cc)  sin 3 3 2 cos3 1x x   . ĐS: 26 3
k 
 , 2 2
9 3
k 
 . 
dd)  23 cos sin cos 2sin 2 1 3 cos 4 0x x x x x      . ĐS: 5 26 k

 . 
ee) sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x     . 
ĐS: 2
6
k  , 5 2
6
k  , 2
2
k  , 2k  . 
ff) [ĐHD10] sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x     . ĐS: 2
6
k  , 5 2
6
k  . 
gg) [ĐHA12] 3 sin 2 cos 2 2cos 1x x x   . ĐS: 
2
k  , 2k , 2 2
3
k  . 
hh) [ĐHD12] sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x    . 
ĐS: 
4 2
k 
 , 7 2
12
k  , 2
12
k   .