Chương II: Các phép biến đổi thuần nhất

x 
2.3.5. Phép quay Euler : 
 Trên thực tế, việc định h−ớng th−ờng là kết quả của phép quay xung quanh các trục x, 
y, z . Phép quay Euler mô tả khả năng định h−ớng bằng cách : 
Œ Quay một góc Φ xung quanh trục z, 
Œ Quay tiếp một góc θ xung quanh trục y mới, đó là y’, 
Œ cuối cùng quay một góc ψ quanh trục z mới, đó là z’’ (Hình 2.9). 
Hình 2.9 : Phép quay Euler 
x 
y 
z z’z’’z’’’
y’y’’ 
y’’’ 
x’ x’’ x’’’ 
θ
Ψ
Ψ
Ψ
θ
θ
Φ
Φ
Φ
 Ta biểu diễn phép quay Euler bằng cách nhân ba ma trận quay với nhau : 
 Euler (Φ,θ,ψ) = Rot(z, Φ) Rot(y, θ) Rot(z, ψ) (2.14) 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 20
 Nói chung, kết quả của phép quay phụ thuộc chặt chẻ vào thứ tự quay, tuy nhiên , ở 
phép quay Euler, nếu thực hiện theo thứ tự ng−ợc lại, nghĩa là quay góc ψ quanh z rồi tiếp đến 
quay góc θ quanh y và cuối cùng quay góc Φ quanh z cũng đ−a đến kết quả t−ơng tự (Xét 
trong cùng hệ qui chiếu). 
 cosΦ -sinΦ 0 0 Cosθcosψ -Cosθ sinψ sinθ 0 
= sinΦ cosΦ 0 0 sinψ cosψ 0 0 
 0 0 1 0 -sinθ cosψ sinθ sinψ Cosθ 0 
 0 0 0 1 0 0 0 1 
 cosΦCosθcosψ - sinΦsinψ -cosΦCosθsinψ - sinΦcosψ cosΦsinθ 0 
= sinΦCosθcosψ + cosΦsinψ -sinΦCosθsinψ + cosΦcosψ sinΦsinθ 0 
 -sinθ cosψ sinθ sinψ cosθ 0 
 0 0 0 1 
 (2.15) 
 Cosθ 0 sinθ 0 cosψ -sinψ 0 0 
Euler (Φ,θ,ψ) = Rot(z, Φ) 0 1 0 0 sinψ cosψ 0 0 
 -sinθ 0 Cosθ 0 0 0 1 0 
 0 0 0 1 0 0 0 1 
2.3.6. Phép quay Roll-Pitch-Yaw : 
Một phép quay định h−ớng khác cũng th−ờng đ−ợc sử dụng là phép quay Roll-Pitch và 
Yaw. 
 Ta t−ởng t−ợng, gắn hệ toạ độ xyz lên 
thân một con tàu. Dọc theo thân tàu là trục z, 
Roll là chuyển động lắc của thân tàu, t−ơng 
đ−ơng với việc quay thân tàu một góc Φ quanh 
trục z. Pitch là sự bồng bềnh, t−ơng đ−ơng với 
quay một góc θ xung quanh trục y và Yaw là 
sự lệch h−ớng, t−ơng đ−ơng với phép quay một 
góc ψ xung quanh trục x (Hình 2.10) 
z 
y 
x
Thân tàu
Yaw
Ψ
Roll 
Φ 
Pitch 
θ 
 Các phép quay áp dụng cho khâu chấp 
hành cuối của robot nh− hình 2.11. Ta xác 
định thứ tự quay và biểu diễn phép quay nh− 
sau : 
Hình 2.10: Phép quay Roll-Pitch-Yaw 
 RPY(Φ,θ,ψ)=Rot(z,Φ)Rot(y,θ)Rot(x, ψ) (2.16) 
Yaw, ψ 
y 
z
Pitch, θ
Roll, Φ 
x
Hình 2.11 : Các góc quay Roll-Pitch và Yaw của bàn tay Robot. 
nghĩa là, quay một góc ψ quanh trục x, tiếp theo là quay một góc θ quanh trục y và sau đó 
quay một góc Φ quanh truc z. 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 21
 Thực hiện phép nhân các ma trận quay, các chuyển vị Roll, Pitch và Yaw đ−ợc biểu thị 
nh− sau : 
 cosθ 0 sinθ 0 1 0 0 0 
0 1 0 0 0 cosψ -sinψ 0 
RPY(Φ,θ,ψ)=Rot(z,Φ) 
-sinθ 0 cosθ 0 0 sinψ cosψ 0 
 0 0 0 1 0 0 0 1 
 cosΦ -sinΦ 0 0 cosθ sinθsinψ sinθcosψ 0 
= sinΦ cosΦ 0 0 0 cosψ -sinψ 0 
 0 0 1 0 -sinθ cosθsinψ cosθ cosψ 0 
 0 0 0 1 0 0 0 1 
 cosΦcosθ cosΦsinθsinψ - sinΦcosψ cosΦsinθcosψ + sinΦsinψ 0 
= sinΦcosθ sinΦsinθsinψ +cosΦcosψ sinΦsinθcosψ - cosΦsinψ 0 
 -sinθ cosθ sinψ cosθ cosψ 0 
 0 0 0 1 
(2.17) 
2.4. Biến đổi hệ toạ độ và mối quan hệ giữa các hệ toạ độ biến đổi : 
 2.4.1 Biến đổi hệ toạ độ : 
Giả sử cần tịnh tiến gốc toạ độ Đề cát O(0, 0, 0) theo một vectơ dẫn r r r r
h = 4i - 3j + 7k (hình 2.12) . Kết quả của phép biến đổi là : 
 1 0 0 4 0 4 
OT = 0 1 0 -3 0 = -3 
 0 0 1 7 0 7 
 0 0 0 1 1 1 
 Nghĩa là gốc ban đầu có toạ độ O(0, 0, 0) đã chuyển đổi đến gốc mới OT
 có toạ độ 
(4, -3, 7) so với hệ toạ độ cũ. 
yT
xT
OT
zT z 
y 
x 
O 
7
-3 
4 
Hình 2.12 : Phép biến đổi tịnh tiến hệ toạ độ 
Tuy nhiên trong phép biến đổi nầy các trục toạ độ của OT vẫn song song và đồng h−ớng 
với các trục toạ độ của O. 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 22
 Nếu ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi quay : 
Rot(y,90o)Rot(z,90o).OT
ta sẽ có một hệ toạ độ hoàn toàn mới, cụ thể tại gốc toạ độ mới (4,-3,7) khi cho hệ OT quay 
quanh z một góc 900 (chiều quay d−ơng qui −ớc là ng−ợc chiều kim đồng hồ), ta có : 
Rot(z,900) 
Ta tiếp tục quay hệ OT quanh truc y (trục y của hệ toạ độ gốc ) một góc 90
0, Ta có : 
Rot(y,900) 
y'T
OT
x'T
z'T
z"T
OT
y''T
x''T
yT
xT
OT
90o
zT
y'T
OT
 x'T
z'T
90o y 
 Ví dụ trên đây ta đã chọn Hệ tạo độ cơ sở làm hệ qui chiếu và thứ tự thực hiện các 
phép biến đổi là từ Phải sang Trái. Nếu thực hiện các phép biến đổi theo thứ tự ng−ợc lại từ 
Trái sang Phải thì hệ qui chiếu đ−ợc chọn là các hệ toạ độ trung gian. Xét lại ví dụ trên : 
Rot(y,90o)Rot(z,90o).OT
yT
xT
OT
90o
zT
 y'T
O'T
z'T
Rot(y,90o)
 x'T
 Ta tiếp tục quay hệ O'T quanh truc z (Bây giờ là trục z'T của hệ toạ độ mới) một góc 90
0 : 
z"T
O''T
y''T
x''T
 y'T
 x'T
z'T
O'T90
o Rot(z',90o) 
 Nh− vậy kết quả của hai ph−ơng pháp quay là giống nhau, nh−ng về ý nghĩa vật lý thì 
khác nhau. 
2.4.2. Quan hệ giữa các hệ toạ độ biến đổi : 
 Giả sử ta có 3 hệ toạ độ A, B, C; Hệ B có quan hệ với hệ A qua phép biến đổi và 
hệ C có quan hệ với hệ B qua phép biến đổi . Ta có điểm P trong hệ C ký hiệu P
A
BT/
B
cT/ C, ta tìm 
mối quan hệ của điểm P trong hệ A, tức là tìm PA (Hình 2.13) : 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 23
Hình 2.13 : Quan hệ giữa các hệ toạ độ biến đổi. 
pA 
pC 
zC
xC
yC
xB
zB
yBxA
zA
yA
C 
B
A 
 Chúng ta có thể biến đổi pC thành pB nh− sau : 
 pB = p
B
cT/ C, (2.18) 
 Sau đó biến đổi pB thành pA nh− sau : 
 pA = p
A
BT/ B, (2.19) 
 Kết hợp (2.18) và (2.19) ta có : 
 (2.20) cC
B
B
A
A pTTp =
Qua ví dụ trên ta thấy có thể mô tả mối quan hệ giữa hệ toạ độ gắn trên điểm tác động 
cuối với hệ tọa độ cơ bản, thông qua mối quan hệ của các hệ toạ độ trung gian gắn trên các 
khâu của robot, bằng ma trận T nh− hình 2.14. 
O0
O1
O2
O3
T4
O4
Bàn tay 
y 
z 
x 
Hình 2.14 : Hệ toạ độ cơ bản (base) và các hệ toạ độ trung gian của Robot. 
2.5. Mô tả một vật thể : 
Các vật thể là đối t−ợng làm việc của robot rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên có thể 
dựa vào những đặc điểm hình học để mô tả chúng. Ta có thể chia hình dáng vật thể thành 3 
nhóm chính sau : 
‚ Nhóm vật thể tròn xoay (Rotative) 
‚ Nhóm vật thể có góc cạnh (Prismatic) 
‚ Nhóm vật thể có cấu trúc hổn hợp (Kombination) 
Nhóm vật thể tròn xoay có các giá trị đặc tr−ng là toạ độ tâm và bán kính mặt cong. 
 Nhóm vật thể có góc cạnh đặc tr−ng bằng toạ độ của các điểm giới hạn. 
 Nhóm còn lại có các giá trị đặc tr−ng hổn hợp. 
 Tuy nhiên, đối với hoạt động cầm nắm đối t−ợng và quá trình vận động của robot việc 
mô tả vật thể cần phải gắn liền với các phép biến đổi thuần nhất. Ta xét ví dụ sau đây : Cho 
một vật hình lăng trụ đặt trong hệ toạ độ chuẩn O(xyz) nh− hình 2.15. 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 24
 Ta thực hiện các phép biến đổi sau : 
 H = Trans(4,0,0)Rot(y,900)Rot(z,900) 
 Với vị trí của vật thể, ta có ma trận toạ độ của 6 
điểm đặc tr−ng mô tả nó là : 
 c d e f g h 
1 -1 -1 1 1 -1 
0 0 0 0 4 4 
0 0 2 2 0 0 
1 1 1 1 1 1 
 Sau khi thực hiện các phép biến đổi : 
 - Quay vật thể quanh trục z một góc 900 (Hình 2.16), 
- Cho vật thể quay quanh trục y một góc 900 (Hình 2.17), 
- Tiếp tục tịnh tiến vật thể dọc theo trục x một đoạn bằng 4 đơn vị (hình 2.18) ta xác 
định đ−ợc ma trận toạ độ các điểm giới hạn của vật thể ở vị trí đã đ−ợc biến đổi nh− 
sau (các phép quay đã chọn hệ qui chiếu là hệ toạ độ gốc) : 
 c d e f g h 
 0 0 1 4 1 -1 -1 1 1 -1 
H = 1 0 0 0 0 0 0 0 4 4 
 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 
 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 
 c d e f g h 
 4 4 6 6 4 4 
= 1 -1 -1 1 1 1 
 0 0 0 0 4 4 
 1 1 1 1 1 1 
-1,4,0,1 
-1,0,2,1
-1,0,0,1
1,4,0,1 
1,0,2,1
1,0,0,1
y 
x
Hình 2.15 : Mô tả vật thể 
x 
y 
z 
cO d 
e g
h 
f 
O
x
y 
z 
cd
e f
gh
z 
Hình 2.17: Rot (y,900) Rot (z,900) Hình 2.16 : Rot (z,900) 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 25
H = Trans(4,0,0)Rot (y,900)Rot (z,900) 
O
g
cd 
f
h 
y
z 
xe
 Hình 2.18: Vị trí vật thể sau khi biến đổi 
2.6. Kết luận : 
 Các phép biến đổi thuần nhất dùng để miêu tả vị trí và h−ớng của các hệ toạ độ trong 
không gian. Nếu một hệ toạ độ đ−ợc gắn liền với đối t−ợng thì vị trí và h−ớng của chính đối 
t−ợng cũng đ−ợc mô tả. Khi mô tả đối t−ợng A trong mối quan hệ với đối t−ợng B bằng các 
phép biến đổi thuần nhất thì ta cũng có thể dựa vào đó mô tả ng−ợc lại mối quan hệ của B đối 
với đối t−ợng A. 
 Một chuyển vị có thể là kết quả liên tiếp của nhiều phép biến đổi quay và tịnh tiến. Tuy 
nhiên ta cần l−u ý đến thứ tự của các phép biến đổi, nếu thay đổi thứ tự thực hiện có thể dẫn 
đến các kết quả khác nhau. 
Bài tập ch−ơng II : 
Bài 1 : Cho điểm A biểu diễn bởi vectơ điểm v=[ 2 4 1 1 ]T. Tịnh tiến điểm A theo vectơ dẫn h 
= [ 1 2 1 1 ]T, sau đó tiếp tục quay điểm đã biến đổi quanh trục x một góc 900. Xác định vectơ 
biểu diễn điểm A sau hai phép biến đổi. 
Bài 2 : Viết ma trận biến đổi thuần nhất biểu diễn các phép biến đổi sau : 
 H = Trans(3,7,9)Rot(x,-900)Rot(z,900) 
Bài 3 : Cho ma trận biến đổi thuần nhất A, tìm ma trận nghịch đảo A-1 và kiểm chứng. 
 0 1 0 -1
A = 0 0 -1 2
 -1 0 0 0
 0 0 0 1
TS. Phạm Đăng Ph−ớc 
Robot công nghiệp 26
 Bài 4 : Hình vẽ 2-19 mô tả hệ toạ độ {B} đã đ−ợc 
quay đi một góc 300 xung quanh trục zA, tịnh tiến 
dọc theo trục xA 4 đơn vị và tịnh tiến dọc theo yA 
3 đơn vị. 
xB
yB
{B} 
xA
yA
{A} 
(a) Mô tả mối qua hệ của {B} đối với {A} : ATB ? 
(b) Tìm mối quan hệ ng−ợc lại BTA ? 
Hình 2.19 : Quan hệ {A} và {B} 
Bài 5 : Cho k = 
1
3
(1, 1, 1)T, θ = 900. Tìm ma trận R = Rot(k, θ). 
Bài 6 : Xác định các góc quay Euler, và các góc quay RPY khi biết ma trận T6 : 
 1 0 0 0 
T6 = 0 0 1 5 
 0 -1 0 3 
 0 0 0 1 
Bài 7 : Một vật thể đặt trong một hệ toạ độ tham chiếu đ−ợc xác định bởi phép biến đổi : 
 0 1 0 -1
UTP = 0 0 -1 2
 -1 0 0 0
 0 0 0 1
Một robot mà hệ toạ độ chuẩn có liên hệ với hệ toạ độ tham chiếu bởi phép biến đổi 
 1 0 0 1
UTR = 0 1 0 5
 0 0 1 9
 0 0 0 1
Chúng ta muốn đặt bàn tay của robot lên vật thể, đó là làm cho hệ tọa độ gắn trên bàn tay 
trùng với hệ toạ độ của vật thể. Tìm phép biến đổi RTH (biểu diễn mối quan hệ giữa bàn tay và 
hệ toạ độ gốc của robot) để thực hiện điều nói trên. 
TS. Phạm Đăng Ph−ớc