Chương IV: Hệ phương trình tuyến tính

 
Mỗi nghiệm của hệ phụ thuộc vào n - r ẩn tự do: xr+1, xr+2,.., xn. 
Cho xr+1 = 1 xr+2 = ... = xn = 0 ta được một nghiệm có dạng: ξ 1 = (c11, 
c12,..., c1r, 1, 0,..., 0). 
Lần lượt cho xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+1 = ... = xn = 0, v.v... Kết cục, ta 
được n - r nghiệm riêng: 
Đó là n - r vectơ thuộc S. 
Ma trận mà các dòng là những vectơ này có định thức con cấp n - r 
 168 
Do đó hạng của hệ vectơ { ξ 1, ξ 2,..., ξ n-r} bằng n - r. Vậy hệ độc lập 
tuyến tính. Vì dimS = n - r nên theo hệ quả, mục 5.1, Ch.II, hệ vectơ này 
là một cơ sở của S. Vậy hệ nghiệm { ξ 1, ξ 2,..., ξ n-r} là một hệ nghiệm cơ 
bản. 
Chú ý: Trong cách tìm ξ j của hệ nghiệm cơ bản trên đây, không nhất 
thiết phải chọn xr+j = 1, mà có thể chọn xr+j là một số khác 0 nào đó thuận 
tiện cho việc tính toán. 
Ví dụ 1. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình: 
Ma trận các hệ số có định thức con cấp hai 
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: 
Các ẩn tự do là x1, x4. Giải hệ này ta được: 
Cho x1 = 1, x4 = 0, ta được x2 = -2, x3 = 0. Nghiệm riêng tương ứng 
là (1, -2, 0, 0). 
Cho x1 = 0, x4 = 1, ta được x2 = 3
2
 x3 = 3
5
. Nghiệm riêng tương ứng 
 169 
là (0, 
3
2
, 
3
5
, 1). 
Vậy hệ nghiệm cơ bản là: 
Nếu khi tìm vectơ thứ hai của hệ nghiệm cơ bản ta cho x1 = 0, x4 = 3 
thì ta được nghiệm riêng tương ứng là (0, 2, 5, 3) và hệ vectơ 
cũng độc lập tuyến tính vì có định thức con 
20
21 −
 = 2.Vì dimS = 2 nên 
hệ vectơ này cũng là một cơ sở của S; do đó nó cũng là một nghiệm cơ 
bản. 
Chú ý: Biết một hệ nghiệm cơ bản { ξ 1, ξ 2,..., ξ n-r} của hệ phương 
trình tuyến tính thuần nhất là biết tất cả các nghiệm của nó vì khi đó mỗi 
nghiệm là một tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm cơ bản này; tức là mỗi 
nghiệm đều có dạng 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss, rồi tìm 
hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình: 
Biến đổi ma trận A: 
 170 
Hệ đã cho trở thành hệ tương đương: 
Nghiệm tổng quát của hệ là (c3 - c4, 2c3 + c4, c3, c4) 
cho x3 = 1, x4 = 0, ta được một nghiệm riêng: (1, 2, 1, 0). 
Cho x3 = 0, X4 = 1, ta được một nghiệm riêng: (-1, 1, 0, 1). 
Hệ nghiệm cơ bản là: 



1) 0, 2, (-1,
0) 1, 2, (1,
Ta xét tiếp mối liên hệ giữa các nghiệm của hệ phương trình tuyến 
tính và của hệ thuần nhất liên kết. Nhắc lại rằng mỗi nghiệm của một hệ 
phương trình tuyến tính n ẩn là một vectơ của không gian Kết. 
3.3. Liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và 
nghiệm của hệ thuần nhất liên kết 
Định lí. Nếu γ ∈ Kn là một nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến 
tính thì mỗi nghiệm của hệ này là tổng của γ với một nghiệm của hệ 
thuần nhất liên kết. 
Nói chung, nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính bằng 
tổng của một nghiệm riêng của nó và nghiệm tổng quát của hệ thuần 
nhất liên kết. 
Chứng minh. Giả sử γ = (c1, c2,..., cn) là một nghiệm riêng của hệ 
phương trình tuyến tính (1) và δ = (d1, d2,..., dn) là một nghiệm bất kì của 
 171 
hệ thuần nhất (2). Khi đó: 
Điều này có nghĩa là γ + δ = (c1 + d1, c2 + d2,..., cn + dn) là một 
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1). 
Ngược lại, giả sử κ = (k1, k2,..., kn) là một nghiệm tuỳ ý của hệ 
phương trình tuyến tính (1); nghĩa là ∑
=
=
n
1j
jj Bαk 
Điều này có nghĩa là δ là một nghiệm của hệ thuần nhất (2). Hơn 
nữa từ δ = κ - γ Suy ra κ = γ + δ .  
Chú ý. Ý nghĩa của định lí trên đây là: Nếu biết một nghiệm riêng 
của một hệ phương trình tuyến tính và biết một hệ nghiệm cơ bản của hệ 
thuần nhất liên kết thì biết được tất cả các nghiệm của hệ phương trình 
tuyến tính ấy. Nhờ điều này mà máy tính có thể giải hệ phương trình 
tuyến tính tuỳ ý. 
3.4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng máy tính điện tử 
Khi giải hệ phương trình tuyến tính (1) với hạng(A) ≠ hạng(B) máy 
trả lời hệ vô nghiệm. Khi hạng(A) - hạng(B) - r < n thì máy chỉ có thể 
cho một nghiệm riêng. Nhưng vì máy có thể cho hệ nghiệm cơ bản của 
hệ thuần nhất liên kết nên ta có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát 
của hệ phương trình tuyến tính. 
Theo một chương trình tính toán đã cài đặt trong máy tính của bạn 
cũng có nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Ở đây xin 
giới thiệu một phương pháp đơn giản nhất, theo chương trình 
"MATHEMATICA 4.0"" 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 
 172 
Giải 
Tạo ma trận các hệ số, đánh lệnh: 
A={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}}↵ 
Màn hình xuất hiện: 
Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} 
• Giải hệ phương trình, đánh lệnh: 
LinearSolve[A,{1,5,- 910}]↵ 
Màn hình xuất hiện: 
Out[2]-{-2,-7,0,0} 
Đó là một nghiệm riêng của hệ đã cho. 
• Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất liên kết, đánh lệnh: 
NullSpace[A] ↵ 
Màn hình xuất hiện hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất: 
Out[3]={{1,5,0,1}, {-1,-5,2,0}}. 
Muốn tìm nghiệm tổng quát của hệ đã cho ta chỉ việc lấy tổng của 
một nghiệm riêng của hệ đã cho với một tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm 
cơ bản của hệ phương trình thuần nhất liên kết: 
(x1, x2, x3, x4) = (-2, -7, 0, 0) + c3(-1, -5, 2, 0) + c4(1, 5, 0, 1) = (-2-c3+ 
c4, -7- 5c3 + 5c4, 2c3, c4). 
Chú ý: Nếu quan sát nghiệm tổng quát ở đây với nghiệm tổng quát ở 
ví dụ 2, mục 2.2, ta thấy chúng khác nhau. Song nếu thay c3 ở đây bởi c3 
= 
2
1
c3 thì ta được công thức nghiệm tổng quát ở ví dụ 2, mục 2.2. Hơn 
nữa một hệ phương trình tuyến tính có thể có vô số nghiệm riêng và hệ 
thuần nhất cũng có thể có vô số hệ nghiệm cơ bản. Do đó, theo định lí 
3.4, nói chung, có vô số cách biểu diễn nghiệm tổng quát. 
 173 
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
Giải 
• Tạo ma trận các hệ số. 
A={{3,-17-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} ↵ 
Màn hình xuất hiện: 
Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} 
• Giải hệ phương trình, đánh lệnh: 
LinearSolve[A,{1,5,-9,10}}] ↵ 
Màn hình xuất hiện: 
LinearSolve: nosol: Linear equation encountered which has no 
solution 
Out[2]=linearsolve[{{3,-1,-1,2},1,-1,-2,4~1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}},{1,5,-
9,10}]. 
Điều này có nghĩa rằng hệ vô nghiệm. Sở dĩ hệ vô nghiệm là vì 
hạng(A) = 2, còn hạng(B) - 3. 
 174 
TÓM TẮT 
Chương này trình bày lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính. 
Về phương diện lý thuyết, nhờ các kiến thức về không gian vectơ và 
định thức, chương này cho ta biết: hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng(A) 
= hạng(B), trong đó A là ma trận các hệ số của hệ phương trình, B là ma 
trận bổ sung. 
Trong trường hợp hệ có n ẩn, nếu hạng(A) = hạng(B) = n thì đó là hệ 
Cramer, nó có nghiệm duy nhất; nếu hạng(a) = hạng(b) - r < n thì hệ có 
vô số nghiệm mà giá trị của các ẩn phụ thuộc vào n - r ẩn tự do. Khi đó, 
nếu cho mỗi ẩn tự do một giá trị xác định ta được một nghiệm riêng nếu 
coi mỗi ẩn tự do như một tham số thì ta được nghiệm tổng quát. 
Về phương diện thực hành, ta có hai cách giải hệ phương trình tuyến 
tính: phương pháp Gauss khử dần ẩn số và phương pháp dùng định thức. 
Khi dùng phương pháp định thức ta chỉ cần giải hệ phương trình gồm 
những phương trình ứng với các dòng của định thức con cấp cao nhất 
khác 0. Các ẩn tự do là những ẩn mà hệ số nằm ngoài định thức con cấp 
cao nhất khác 0 ấy. 
Hệ phương trình tuyến tính mà các hệ số tự do bằng 0 gọi là một hệ 
phương trình tuyến tính thuần nhất. Hệ này luôn luôn có nghiệm vì 
hạng(A) = hạng(B). Tập S các nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn là một 
không gian con của không gian Kn. Nếu hạng(A) - r thì dims = n - r. Nếu 
biết một nghiệm riêng của một hệ phương trình tuyến tính thì nghiệm 
tổng quát của nó bằng nghiệm riêng đó cộng với nghiệm tổng quát của 
hệ thuần nhất liên kết. 
 175 
BÀI TẬP 
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾNTÍNH PHƯƠNG PHÁP GAUSS 
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss 
2. Chứng minh định tí ở mục 1.2. 
 176 
§2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TUYẾN TÍNH CÓ NGHIỆM 
3. Xét xem các hệ phương trình sau có nghiệm hay không: 
4. Đối với mỗi hệ phương trình sau, tìm giá trị của tham số a, b để hệ 
có nghiệm: 
5. Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình 
có nghiệm . 
6. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, b, c hệ phương trình 
luôn luôn có nghiệm. 
7. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm: 
 177 
8. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp định thức: 
9. Với điều kiện nào thì ba đường thẳng phân biệt 
a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = 0 đồng quy? 
10. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm: A(2, 1), C(0, 2), 
C(0, 1). 
11. Tìm các hệ số a, b, c, d để đồ thị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + 
d đi qua bốn điểm: 
M1(1, 0), M2(0, -1), M3(-1, - 2), M4(2, 7). 
12. xác đinh tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c biết rằng f(1) = -1, 
f(-3) = 47, f(2) = 12. 
 178 
13. Trong không gian vectơ R4 cho hệ vectơ: 
Hãy biểu thị tuyến tính vectơ α = (- 12, 3, 8, -2) qua hệ vectơ đã cho. 
14. Trong không gian vectơ R3 cho hai cơ sở: 
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ε) sang cơ sở (ξ). Tìm tọa độ của vectơ 
α = (-1, 2, 0) đối với cơ sở (ξ). 
15. Trong không gian vectơ R3 cho hai cơ sở: 
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ξ) sang cơ sở (ε). 
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 
16. Giải các hệ phương trình sau: 
17. Dùng hệ phương trình tuyến tính và định nghĩa của hệ vectơ phụ 
thuộc tuyến tính để chứng tỏ các hệ vectơ sau trong không gian vectơ R4 
là phụ thuộc tuyến tính: 
 179 
18. Các hệ vectơ sau: 
hệ nào là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình 
19. Tìm hệ nghiệm cơ bản và số chiều của không gian nghiệm của hệ 
phương trình: 
20. Cho hai hệ phương trình: 
 180 
Biết một nghiệm riêng của hệ a) là (
3
1
,
3
1
, 0, 0, 0), của hệ bị là (
3
2
, 
6
1
, 0, 0, 0). Đối với mỗi hệ phương trình: 
• Tìm nghiệm tổng quát của mỗi hệ nhờ hệ nghiệm cơ bản của hệ 
thuần nhất liên kết tương ứng; 
• Nhờ nghiệm tổng quát vừa tìm được, tìm một nghiệm riêng mà các 
thành phần tọa độ là những số nguyên. 
21. Cho hệ ba phương trình bậc nhất: 
Dùng hạng(A), hạng(B), hãy xét sự có nghiệm và vô nghiệm của hệ 
trong tất cả các trường hợp có thể xảy ra và minh họa hình học cho mỗi 
trường hợp.