Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

2(x2 + y2) 1 x2 + y2 min A = x = y = 
2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3
a) Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2
b) Tìm GTLN của B = xy + yz + xz
Từ Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)
Ta có x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
= 0 x + y + z xy+ yz + zx (2)
Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z 
a) Từ (1) và (2) suy ra 
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)
 x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1
b) Từ (1) và (2) suy ra 
 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)
 xy+ yz + zx 3 max B = 3 x = y = z = 1
3) Ví dụ 3: 
Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x + y + z = 1
Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = S 
Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x = y = z = 
4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta có (1)
áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x= y = z = 
D. Một số chú ý:
1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biến
Ví dụ : Khi tìm GTNN của A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – 2 = y thì 
A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2…
2) Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể thay đk của biểu thức này đạt cực trị bởi đk tương đương là biểu thức khác đạt cực trị: 
+) -A lớn nhất A nhỏ nhất ; +) lớn nhất B nhỏ nhất (với B > 0)
+) C lớn nhất C2 lớn nhất
Ví dụ: Tìm cực trị của A = 
a) Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi lớn nhất, ta có
 min = 1 x = 0 max A = 1 x = 0
b) Ta có (x2 – 1)2 0 x4 - 2x2 + 1 0 x4 + 1 2x2. (Dấu bằng xẩy ra khi x2 = 1)
Vì x4 + 1 > 0 1 max = 2 x2 = 1 
 min A = x = 1
3) Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các khoảng của biến, sau đó so sámh các cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN trong toàn bộ tập xác định của biến
Ví dụ: Tìm GTLN của B = 
a) xét x + y 4
- Nếu x = 0 thì A = 0 - Nếu thì A 3
- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
b) xét x + y 6 thì A 0
So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 x = 0; y = 4
4) Sử dụng các hằng bất đẳng thức
Ví dụ: Tìm GTLN của A = biết x2 + y2 = 52
Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho các số 2, x , 3, y ta có:
(2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 26
Max A = 26 y = x2 + y2 = x2 + = 52 13x2 = 52.4 x = 4
Vậy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6
5) Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
Hai số có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
a)Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn nhất khi và chỉ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoặc x = - 2
Khi đó A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoặc x = - 2
b) Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = 
Ta có: B = 
Vì các số x và có tích x. = 36 không đổi nên nhỏ nhất x = x = 6
 A = nhỏ nhất là min A = 25 x = 6
6)Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xẩy ra đẳng thức chứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xẩy ra đẳng thức
Ví dụ: Tìm GTNN của A = 
Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, 5n tận cùng bằng 5
Nếu 11m > 5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m < 5n thì A tận cùng bằng 4
khi m = 2; n = 3 thÌ A = = 4 min A = 4, chẳng hạn khi m = 2, n = 3
CHUYÊN ĐỀ 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
¯ - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa về dạng tổng
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương.
	- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng của các bình phương các biểu thức chứa ẩn; vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế bằng nhau).	
Các ví dụ minh hoạ:
- Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
 (II)
(1) 
	Từ (I) ta có: Tương tự từ (II) ta có:
 Vậy 
 Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
 (2) 
 Vậy 
Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (1)
 (1) (Vì )
Ví dụ 4: Tìm thoả mãn: (2)
	Vậy: 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình đối xứng 
	- Vì phương trình đối xứng nên có vai trò bình đẳng như nhau. Do đó; ta giả thiết ; tìm điều kiện của các nghiệm; loại trừ dần các ẩn để có phương trình đơn giản. Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy ra nghiệm.
	X Ta thường giả thiết 
{Các ví dụ minh hoạ:
 Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy đây là phương trình đối xứng.
Giả sử . Khi đó:
	(1) (Vì )
* Nếu: (vô lí)
* Nếu: 
* Nếu: (vô lí)
	Vậy: là hoán vị của 
Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Đây là phương trình đối xứng.
	Giả sử . Khi đó:
	(2) 
 Với: 
t.Nếu: (vô lí)
t.Nếu: 
Vậy: là hoán vị của 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết
	{Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm để: nhận giá trị nguyên
	Ta có: . Khi đó:
	Để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên.
	 Vì : 
	Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: hoặc 
Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: 
 (2) 
 Với: không phải là ngiệm của phương trình. Nên:
	. 
	Phương trình có nghiệm nguyên 
 Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
	Ta có:
	(3). là số lẻ là hai số lẻ liên tiếp là các luỹ thừa của 3, nên:
 § Với: 
 § Với: Từ ( vô lí)	
	Phương trình có nghiệm nguyên: 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình mà hai vế là những đa thức có tính biến thiên khác nhau.
	- Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp:
	*Bất đẳng thức Cô – si: 
	Cho n số không âm: . Khi đó: 
	. Dấu “=” xảy ra 
	* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: 
	Cho 2n số thực: và. Khi đó:
	.
	Dấu “=” xảy ra .
	*Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối:
	{Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm thoả: (1) 
	Áp dụng BĐT Cô – si. Ta có: . 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (2)
 (Toán Tuổi thơ 2)
	Theo Bunhiacôpxki,ta có:
	Dấu “=” xảy ra 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên thoả mãn: 
 (3)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta nhận thấy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 và 
	Ta có:(3). 
	Mà 
	Do đó: . 
 Với (vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là: 
1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn: 
 Vì x,y,z là các số nguyên nên
 (*) Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn 
 Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình mà ta có thể nhẩm (phát hiện dể dàng) được một vài giá trị nghiệm
	- Trên cơ sở các giá trị nghiệm đã biết. Áp dụng các tính chất như chia hết; số dư; số chính phương; chữ số tận cùng ….. ta chứng tỏ rằng với các giá trị khác phương trình vô nghiệm
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy với thì phương trình được nghiệm đúng. Ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm với 
	+ Với thì phương trình được nghiệm đúng 
	+ Với . Khi đó:
 (*)
	Vì là hai số nguyên liên tiếp nên không có giá trị nào của y thoả (*)
	Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Tìm thoả: (2) 
 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ )
	Gọi b là chữ số tận cùng của x ( Với . Khi đó: có chữ số tận cùng là: 1, 5 hoặc 9. (*)
	Mặt khác: là luỹ thừa bậc lẻ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 7. (**)
	Từ (*) và (**) suy ra phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
	(3) 
	 Do đó: 
Phương trình có nghiệm nguyên: 
 PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang)
 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với những phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác 1
	- Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) hằng số tự do, để có được phương trình đơn giản hơn.
	- Sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải phương trình đó. 
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy mà nên
	Ta có: (1)
 Khi đó: (1). 
	.
	* Tiếp tục sự biểu diễn trên và nếu gọi là nghiệm của (1) và thì và . Thực hiện thử chọn ta được: 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
CÁC BÀI TẬP KHÁC
1/Dùng định nghĩa 
 1) Cho abc = 1 và . . Chứng minh rằngb2+c2> ab+bc+ac
Giải
Ta có hiệu: 
 b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac
= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +
 =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh rằng 
 a) 
 b) với mọi số thực a , b, c ta có : 
 c) 
 Giải :
 a) Xét hiệu :
 H = = 
 H0 ta có điều phải chứng minh
 b) Vế trái có thể viết 
 H = 
 H > 0 ta có điều phải chứng minh
 c) vế trái có thể viết
 H = 
 H 0 ta có điều phải chứng minh
Ii / Dùng biến đổi tương đương
 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng : 
 Giải :
Ta có (vì xy = 1)
Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 .Chứng minh rằng : 
 Giải :
Ta có 
BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh
Iii / dùng bất đẳng thức phụ
 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1
 Chứng minh rằng 
 Giải :
 áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
 Ta có 
 (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
2) Cho a,b,c là các số dương 
 Chứng minh rằng (1)
 Giải :
 (1) 
 áp dụng BĐT phụ Với x,y > 0
 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
 Vậy (đpcm)
Iv / dùng phương pháp bắc cầu
 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
 Giải :
 Do a <1 <1 và b <1 Nên 
 Hay (1)
 Mặt khác 0 <a,b <1 ; 
 Vậy 
 Tương tự ta có : 
 (đpcm)
2) So sánh 31 và 17
Giải :
 Ta thấy < 
 Mặt khác 
 Vởy 31 < 17 (đpcm)
V/ dùng tính chất tỉ số
ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ, chứng minh rằng: 
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 ta có ac + bd 
 mà 
Trọng anh đã sưu tầm và chọn lọc được tài liệu:
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8
xin chia sẻ tới các quý thầy, cô và các độc giả
Kính mong các quý Thầy, cô đóng góp bổ xung để chuyên đề hữu ích hơn nữa,
link gốc đã chỉnh sửa một số lần