Chuyên đề Đường tròn

C đồng dạng : AD.BC = AC.BE .
Cộng từng vế hai đẳng thức trên suy ra điều chứng minh .
II . Bài tập tổng hợp :
Trong phần I , chúng ta đã làm quen dần với các dạng toán tương ứng với những kiến thức cơ bản của đường tròn .
Trong phần II này , chúng ta sẽ nâng cao kĩ năng giả toán trên những bài tập tổng hợp của những dạng toán trên .
Các câu hỏi thường gặp trong các bài toán hình :
Chứng minh : Nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn (đặc biệt là 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) .
Chứng minh hai đường thẳng song song , vuông góc với nhau .
Chứng minh đẳng thức hình học .
Nhận biết hình là hình gì ? ( có thể là tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) . Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác là hình thang cân không được chứng minh là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau .
Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ; 3 hay nhiều điểm thẳng hàng .
Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn , tiếp tuyến chung của hai đường tròn .
Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt .
Toán cực trị hình học .
Toán các đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích …
Trong các câu hỏi trên tùy theo từng bài mà ra các câu hỏi sao cho có sự logic giữa các câu thứ nhất , thứ hai và các câu sau . 
Thông thường kết quả của các câu trên bao giờ cũng là giả thiết để chứng minh câu dưới, đôi khi cần vẽ thêm hình thì bài toán trở lên đơn giản hơn .
Bài tập vận dụng 
Bài 1 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By . Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F .
Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp .
AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q . Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?
Kẻ MH ^ AB ( H Î AB) . Gọi K là giao của MH và EB . So sánh MK và KH.
A
B
F
E
M
O
P
Q
K
H
Hướng dẫn :
1) EAO = EMO = 900 . Nên AEMO là tứ giác nội tiếp .
2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có 
 MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là hình chữ nhật .
3) DEMK D EFB (g.g) Þ mà MF = FB
Þ 
DEAB D KHB (g.g) Þ mà ( Ta let) Þ
Vì EM = EA Þ MK = KH .
C
D
B
G
K
I
O
O’
A
Bài 2 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyến chung CBD ^ AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).)
Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng .
Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp .
Chứng minh BA , CK và DI đồng quy .
Hướng dẫn :
CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng .
Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD dưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp .
A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G .
Bài 3 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F .
E
D
C
B
F
O’
A
O
Chứng minh B , F , C thẳng hàng .
Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp .
Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE .
Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) 
Hướng dẫn :
CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng .
D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp .
Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF = ADB . Hay DE là phân giác góc D của DBDE . Tương tự EC là phân giác góc E của DBDE . Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp DBDE .
Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1) 
DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2)
Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính bằng nhau )
A
B
Q
D
C
O
P
d
Bài 4 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B . Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q .
Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn .
Chứng minh AD. AQ = AC.AP .
Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ?
Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACD
Hướng dẫn :
1. CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ = 1800.
2. DADC DAPQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP .
3. Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.
4. Để SCPQD = 3.SACD Þ SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là ½ . 
Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trung điểm của CP 
Þ CB = CA hay DACB cân Þ CD ^ AB .
Bài 5 : Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó .
Gọi E là trung điểm của dây CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên một đường tròn .
S
O
D
A
C
B
E
K
Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh AC . BD = BC.DA = ½ AB.CD
Hướng dẫn chứng minh
1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B cùng nhìn SO dưới một góc vuông , nên tứ giác SADO nội tiếp đường tròn đường kính SO .
 Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 900 . Nên E thuộc đường tròn đường kính SO .
2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông .
Ta thấy 	DSAC DSDA Þ 
	DSCB DSBD Þ 
Mà SA = SB Þ Þ AC.BD = AD.BC (1)
Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó 
DCAK DBAD (g.g) Þ AC.DB = AB.CK
DBAC DDAK (g.g) Þ BC.AD = DK.AB
Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD
Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD .
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D . Trên cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F .
Chứng minh CDEF nội tiếp .
Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q . Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ?
Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC . Chứng minh : r = r12 + r22 .
A
B
K
F
Q
C
N
D
E
P
M
Hướng dẫn :
1) Dựa vào số đo cung ta thấy 
C = DEB Þ C + DEF = 1800 
Nên tứ giác CDEF nội tiếp .
2) DBED DBCQ ( g.g) Þ BPE = BQC 
Þ KPQ = KQP hay DKPQ cân .
DCNK DMK Þ EMK = CNK 
Þ BMN = BNM hay DBMN cân . Þ MN ^ PQ và MN cắt PQ là trung điểm của mỗi đường . Nên MNPQ là hình thoi.
3) DABC DDAB DDAC Þ Þ 
Û 
Û r2 = r12 + r22 .
Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BE của tam giác . Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng :
Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . TÌm tâm I của đường tròn đó .
MN // DE .
Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi .
Hướng dẫn giải :
A
N
C
I
B
M
D
E
O
K
H
a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I ( trung điểm của AB ) là tâm 
b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE )
mà ABE = AMN ( chắn cung AN )
nên ADE = AMN hay DE // MN .
c) Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CN = CM nên OC ^ MM Þ OC ^ DE 
Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE Þ KD = KE và ID = IE nên IK ^ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành Þ KC = OI không đổi .
Bài 8 : Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R) 
Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của DABC .
Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M ¹ B,C ) Trên tia đối của MB lấy MD = MC . Chứng tỏ DMCD đều .
CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cố định , xác định tâm và các vị trí giới hạn .
Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của S theo R .
	Hướng dẫn :
B
A
C
I
E
O
M
D
H
1) và AB = AC = BC = R
2) Có MC = MD ( gt)
sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 .
Þ CMD = 600 . Vậy DCMD đều 
3) DIMC = DIMD ( c.g.c) Þ IC = ID .
Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D chạy trên đường tròn ( I ; IC ) 
Khi M º C Þ D º C ; M º I Þ D º E .
4) DACM = DBCD ( g.c.g ) Þ AM = BD Þ S = MA + MB + MC = 2.AM £ 2.AI 
 Þ S £ 4R . S Max= 4R khi AM là đường kính .
Bài 9 : Cho DABC ngoại tiếp (O) . Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P sao cho BM=BN và CM = CP . Chứng minh rằng :
O là tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP .
Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn .
Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất .
A
B
C
D
P
F
E
M
N
O
Hướng dẫn :
a) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết suy ra :
DN = EM = FP Þ DODA = DOEM = DOFP ( c.g.c )
ÞON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP
b) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp .
c) Kẻ OH ^ NP .
Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) 
	= 2.OE .Cos (A/2) .
Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) .
Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm .
Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H .
Chứng minh : AF ^ BE .
Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a .
Tính theo a đoạn HE , HB .
Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tính theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C .
A
B
C
D
F
E
H
K
Hướng dẫn :
a) DADF = DBAE ÞDAF = EBA Þ BE ^ AF .
b) Pitago : BE = AF = a ; EF = a; BF = a
c) Dùng hệ thức lượng : EH = ; HB = 
d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp.
DBEK DBFH Þ 
e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng .
C : KẾT LUẬN .
 Trên đây là một số định hướng nhằm giải quyết một số vấn đề về “Đường tròn’’ . Vì thời gian có hạn dung lượng kiến thức rộng lớn nên chuyên đề không thể tránh khỏi những khiếm khuyết . Rất mong các bạn đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu , góp ý bổ sung để cho chuyên đề đạt hiệu quả cao hơn , có tính thiết thực hơn , góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở các nhà trường .
	NHÓM CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 
	CỤM THỤY AN
	Thực hiện tháng 11 - 2006