Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá tr ịnhỏ nhất của hàm số

, )
ax P=3; M in P=0 (3)
x y Dx y D
M ∈∈
Xét biểu thức 
2
2 2 2
2 2 2 2
3
3 3
1
1
x x
y yx xy y t tS
x xy y t tx x
y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Gọi α là một giá trị tùy ý của S, tức là phương trình (ẩn t) 
2
2
3 (4)
1
t t
t t
α− − =+ + có nghiệm. Dễ thấy 
2(4) ( 1) ( 1) 3 0 (5)t tα α α⇔ − + + + + =
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 16 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
+ Nếu α = 1 thì (5) có nghiệm t = -2 
+ Nếu 1α ≠ thì (5) có nghiệm khi 2 20 ( 1) 4( 1)( 3) 0 3 6 11 0α α α α αΔ ≥ ⇔ + − − + ≥ ⇔ − − − ≥ 
2
( 1)
3 4 3 3 4 33 6 13 0 (6)
3 3αα α α≠
− − − +⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤ 
Thử lại (5) có nghiệm 3 4 3 3 4 3
3 3
α− − − +⇔ ≤ ≤ 
Ta có 
2 2
2 2 2
2 2
3( ) ( )x xy yP x xy y x xy y S
x xy y
− −= + + = + ++ +
2
x xy y+ + ≤
Do khi 2 2( ) 3 ( ,
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 17 
2 2) 3 4 3 3 4 3 ( , )y D P x y D∈ ⇒ − − ≤ ≤ − + ∀ ∈ x
Rõ ràng hệ phương trình 
2 2
2 2
2 2
3 3 4
3
3
x xy y
x xy y
x xy y
⎧ − − − +=⎪ + +⎨⎪ + + =⎩
3
có nghiệm. 
Như vậy 
2( , )
3 4 3 (7)
x y D
Max P
∈
= − + . Tương tự 
2( , )
3 4 3 (8)
x y D
Min P
∈
= − − 
Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy ra 
2 2( , ) ( , )
3 4 3; 3 4 3
x y D x y D
Max P Min P
∈ ∈
= − + = − − . 
3. Phương pháp chiều biến thiên. 
Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến 
của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới 
hạn). Xét các thí dụ minh họa sau: 
Thí dụ 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1P x y z
x y z
= + + + + + trên miền 
3( , , ) : 0, 0, 0,
2
D x y z x y z x y z⎧ ⎫= > > > + +⎨ ⎬⎩ ⎭≤ 
Bài giải: 
Theo bất đẳng thức CoSi, ta có: 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
1 1 1( ) 9
1 1 1 9
9 (1)
x y z
x y z
x y z x y z
P x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ + + ≥ + +
⇒ ≥ + + + + +
Đặt 3t = x + y + z 0<t
2
⇒ ≤ . Xét hàm số 9 3( ) ,0
2
f t t t
t
= + < ≤ ; 2
9'( ) 1f t
t
= − 
Ta có bảng biến thiên sau: 
0
t
f ’(t)
f (t)
-3 0
3
2 3
0
Vậy 
30
2
3 1f(t)=f
2 2t
Min
< ≤
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5 . Từ (1) suy ra 15
2
P ≥ (2). Mặt khác với 1
2
x y z= = = (khi đó 
3
2
x y z+ + = thỏa mãn điều kiện 3
2
x y z+ + ≤ ), ta có 15
2
P = . Từ đó kết hợp với (2) suy ra 
15
2
MinP = 
Chú ý: Nếu viết 1 1 1 6(*)P x y z
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + ≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. Tuy nhiên dấu bằng trong (*) 
có x = y = z = 1. Nhưng 33
2
x y z+ + = > . Vậy không có dấu bằng trong (*)! 
Thí dụ 2 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
1 1
x yP
y x
= ++ + với { }( , ) , 0, 1x y D x y x y= ≥ + = ∈
Bài giải: 
Đưa P về dạng 
2 2 2( ) 2 (
1 ( ) 1
)x x y y x y xy x yP
xy x y x y xy
+ + + + − + += =+ + + + + + 
Do x + y + 1, nên với ( , )x y D∈ , ta có : 2 2 (1)
2
xyP
xy
−= + 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 18 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Đặt t = xy, khi đó 
2( ) 1
4 4
x yxy t+≤ ≤ ⇒ ≤ ≤0 0 . 
Xét hàm số 2 2( )
2
tf t
t
−= + với 
10
4
t≤ ≤ 
Ta có 2
6'( )
(2 )
f t
t
−= + , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận: 
Vậy 
( , ) ( , )
21;
3x y D x y D
Max P Min P
∈ ∈
= = 
Chú ý: 
Max P đạt được
0
0, 1
0 1
1, 0
, 0
xy
x y
t x y
x y
x y
=⎧ = =⎡⎪⇔ = ⇔ + = ⇔⎨ ⎢ = =⎣⎪ ≥⎩
Min P đặt được 1 1
4 2
t x y⇔ = ⇔ = = 
Thí dụ 3 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 6 2( ) 4(1 )3f x x x= + − khi [ ]1,1x∈ − . 
Bài giải 
Đặt 2x t= , thì 0 1t≤ ≤ . Ta có 
6 2 3 3 3 3 2 3 3 24(1 ) 4(1 ) 4(1 3 3 ) 3 12 12 4x x t t t t t t t t t+ − = + − = + − + − = − + − + 
Vậy 
1 2 0 1 1 1 0 1
( ) ( ); ( ) ( )
x t x t
Max f x Max F t Min f x Min F t
− ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ ≤
= = 
Ở đây với 0 13 2( ) 3 12 12 4F t t t t= − + − + t≤ ≤ 
Ta có và có bảng xét dấu sau: 2'( ) 9 24 12F t t t= − + −
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 19 
4 
0 
t 0 
F‘(t) 
F(t) 
1 
1 
2 
0 
3
2
9
4
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Vậy 
1 1 1 1
4( ) 4; ( )
9x x
Max f x Min f x
− ≤ ≤ − ≤ ≤
= = 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài 1 
Tỉm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 23 3x yP = + , khi { }( , ) 0, 0, 1x y D x y x y∈ = ≥ ≥ + = . 
Bài giải: 
Khi ( , ) 1x y D y∈ ⇒ = − x , ở đây 0 1x≤ ≤ , và 2 1 2 33 3 3
3
x x x
xP
−= + = + 
Đặt 3xt = , thì 1 3 (do t≤ ≤ 0 1x≤ ≤ ), và 
3
2 3 3tP t
t t
+= + = 
Xét hàm số 
3 3( ) tf t
t
+= với 1 3 t≤ ≤
Ta có 
3
2
2'( ) tf t
t
−= 3 . Lập bảng xét dấu sau: 
t 
f ’(t) 
f (t) 
1 3
0 
4 1
3 3
2
3 93
4
Từ đó suy ra 
{ } { }
( , ) 1 3
3 3
( , ) 1 3
( ) (1), (3) 4,0 10
3 9( ) 3
2 4
x y D t
x y D t
Max P Max f t Max f f Max
Min P Min f t f
∈ ≤ ≤
∈ ≤ ≤
= = =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Bài 2. 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) 1 s inx 1 osx ,f x c x R= + + + ∈ 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 20 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Do ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈R nên ta có 2 2( ) ( ); ( ) ( )(1)
x R x R x R x R
Max f x Max f x Min f x Min f x
∈ ∈ ∈ ∈
= = 
Ta thấy 2( ) 2 (s inx+cosx)+2 1+(sinx+cosx)+sinxcosxf x = + 
Đặt 
2t -1s inx+cosx( - 2 t 2) sinxcosx=
2
t = ≤ ≤ ⇒ 
Xét hàm số: 
2 21 2( ) 2 2 1 2 2
2 2
t tF t t t t 1t− + += + + + + = + + 
 2'( ) 1 2 ( 1) 1 2 1F t t t= + + = + + 
Do vậy 
1 2 , 1 2
'( )
1 2 , 2
t
F t
t
⎧ + − ≤ ≤⎪= ⎨ − − ≤ ≤⎪⎩ 1−
Vì thế có bảng biến thiên sau: 
t
F’(t)
F(t)
2− -1 2 
4 2 2− 4 2 2+ 
0
Từ đó có 
( ) ( ){ } { }
2
2
( ) ( ) 2 , 2 4 2 2, 4 2 2 4 2 2
( ) ( ) ( 1) 1
x R t
x R t
Max f x Max F t Max F F Max
Min f x Min F t F
∈ ≤
∈ ≤
= = − = − + = +
= = − = 
Bài 3: (Đại học-Cao đẳng khối A.2003) 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 21 
Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của , , 0 à x+y+z 1. x y z v> ≤ 2 2 22 2
1 1P x y z 2
1
x y z
= + + + + + 
Áp dụng công thức qui biến về véc tơ w wu v u v+ + ≥ + +? ? ? ? ? ? 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Áp dụng với 1 1, , , , w ,u x v y z 1 ,
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
? ? ? ta có 
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1( )x y z x y z
x y zx y z
⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1) 
Ta có 
2 2
2 21 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( ) (2)x y z x y z x y z
x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + = + + + + + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 
Theo bất đẳng thức CôSi, thì: 
2 2
2 21 1 1 1 1 1 1 1 181( ) 2 81( ) 18( )x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: 1 1 1( )x y z
x y z
⎛ ⎞ 9+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vì thế có: 
2
2 1 1 181( ) 162x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) 
Do (4) 2( ) 1 80( ) 80x y z x y z+ + ≤ ⇒ + + ≤
Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5) 
Lấy 1 82
3
x y z P= = = ⇒ = 
Từ đó đi đến: P = 82Min 
2 2
2 21 1 1 1 1 1 1 1 181( ) 2 81( ) 18( )x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + + + + = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Lại theo bất đẳng thức cơ sở có: 1 1 1( )x y z
x y z
⎛ ⎞ 9+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vì thế có: 
2
2 1 1 181( ) 162x y z
x y z
⎛ ⎞+ + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) 
Do (4) 2( ) 1 80( ) 80x y z x y z+ + ≤ ⇒ + + ≤
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 22 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Từ (3), (4) và (1), (2) suy ra: 82P ≥ (5) 
Lấy 1 82
3
x y z P= = = ⇒ = 
Từ đó đi đến: P = 82Min 
Bài 4: (Đại học – Cao đẳng khối B. 2002) 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2( ) 4f x x x= + − 
Ta có: 
2
2 2
4'( ) 1
4 4
x x xf x
x x
− −= − =− − 
Lập bảng xét dấu sau: 
x 
'( )f x 
( )f x 
-2 0 2 2 
+ + - 
2 2 
0 
-2 2 
(Chú ý: khi là biến thiên) '( ) 0f x > 2 x− ≤ ≤ 0
Từ đó có: 
2
ax f(x)=2 2
x
M≤ 
{ } { }
2
 f(x) = min f(-2);f(2) min 2;2 2
x
Min
≤
= − = 
Chú ý: Ta có thể giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau: 
1/ Ta có: do 
2( ) 4 22
( 2) 2
f x x xx
f
⎧⎪ = + − ≥ −≥ − ⇒ ⎨ − = −⎪⎩
Vậy 
2
 f(x) = 2
x
Min
≤
− 
rõ ràng đạt được trên miền . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky: 0x >ax f(x)M
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 23 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
( ) ( )2 22 2 2 2
2
( )
4 (1 1 ) 4
8 ( ) 2 2x
2x x x
f f x
⎡ ⎤⇒ + − + ≥ + −⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ ≥ ⇒ ≤
x
Lại có: ( 2) 2 2 ax (x)=2 2f m f= ⇒ 
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 24 4 4( ) 1 1 1f x x x x= − + − + + trên 
miền { }: 1 1D x x= − ≤ ≤ 
Đáp số: 
x D
ax ( ) 3M f x
∈
=
Bài 2: Tìm giá trị bé nhất của biến thiên: 
1 1 1( 1) x y zP xyz x y
x y z y z x
⎛ ⎞= + + + + + + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ z trên miền { }( , , ) : 0; 0; 0D x y z x y z= > > > 
Đáp số: mi n 6P =
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biến thiên: P xyz= trên miền 
1 1 1( , , ) : 0; 0; 0; 2
1 1 1
D x y z x y z
x y z
⎧ ⎫= ≥ ≥ ≥ + +⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭= 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 24 
Đáp số: 1ax P=
8
m 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của: trên miền 2 (4 )P x y x y= − − { }( , ) : 0; 0; 6D x y x y x y= ≥ ≥ + ≤ 
Đáp số: ; ax P = 4M Min P = - 64
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 
2 2
2 2
( 4 )x x yP
x y
− −= + trên miền 
{ }2 2( , ) : 0D x y x y= + > 
Đáp số: ; P = - 2 2 2Min − ax P = 2 2 2M −
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 2 2
2 1
7
x yP
x y
+ += + + ; ,x y R∈ 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 25 
Đáp số: 1ax P = 
2
M ; 5 P = 
14
Min − 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
2( ) 3 6 18 3f x x x x= + + − − + − x trên miền { }: 3 6D x x= − ≤ ≤ 
Đáp số: ; 
x D
ax f(x) = 3M∈ x D
9 3 2 f(x) = 
2
Min∈
−
Bài 8: Cho 2 2( ) 4 4 2f x x ax a= − + − a xét trên miền { }: 2 0D x x= − ≤ ≤ . 
Tìm a để 
x D
 f(x) = 2Min∈
Đáp số: a hoặc 1= − 1 3a = + 
Nguồn: Hocmai.vn