Chuyên đề Hình học không gian (tiếp)

tích của nó.
Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp.
§5. HÌNH LĂNG TRỤ
Các Kiến thức cần nhớ :
+ Hình đa diện có hai mặt là hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy tất cả các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau.
+ Trong hình lăng trụ
Các cạnh bên song song và bằng nhau.
Các mặt bên và mặt chéo là những hình bình hành.
Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
+ Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là lăng trụ đứng-các mặt bên của lăng trụ đứng là hình chữ nhật
+ Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều- các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
+ Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Hình hộp có tất cả 6 mặt là hình bình hành.
+ Lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. Các mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
+ Hình lập phương : Là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi tất cả các mặt của nó đều là hình vuông. 
+ Các công thức Lăng trụ. 
Vlăngtrụ=Sđáy.Chiều cao
Sxq= Tổng diện tích các mặt bên; 
Stp=Sxq+2Sđáy
VHộpCN=a.b.c=Tích ba kích thước
VLậpphương=a3
Các bài tập
Bài 1: (Lăng trụ xiên)
Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a và A’A=A’B=A’C=b
Xác định đường cao của lăng trụ kẽ từ A’. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật.
Tìm b để mặt bên ABB’A’ hợp với đáy một góc 60o 
Tính thể tích và diện tích toàn phần lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được.
Giải:
a) Do A’A=A’B=A’C=b nên A’ nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì tam giác ABC đều nên A’O là đường cao của lăng trụ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+ Ta có BC^AO (đường cao tam giác đều)
 A’O^BC ( A’O là đường cao lăng trụ)
Þ BC^(A’AO) Þ BC^AA’
Do AA’//BB’ nên BC^BB’
Vậy BB’C’C là hình chữ nhật.
Gọi M là trung điểm AB ta có AM ^AB (tam giác A’AB cân)
CM^AB( tam giác ABC đều) Þ góc A’MC là góc hợp bởi mặt bên ABB’A’ với đáy
MA'2=AB2-MB2=b2-a24; OM=13CM=a32
cosA'MC=OMA'M=a32.24b2-a2=a34b2-a2
Để góc hợp bởi bằng 60O ta được a34b2-a2=12Û b=a
Với b=a ta có đường cao lăng trụ
 A’O=AA'2-AO2=a2-a23=a23
Vlăngtrụ=a234.a23=a324
Stp=2SABC+2SAA'B'B+SBCC'B'
SABC=a234 ;SAA'B'B=AB.AM=a.a32=a232 
SBCC'B=BC.BB'=a2
Stp=a232+a23+a2=a2(1+332)
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 6 và BCA=30°. Biết độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng 4, hãy tính thể tích của lăng trụ.
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. AC’=2a. Tính thể tích của lăng trụ .
Bài4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’D’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. H là trung điểm của B’C’, góc hợp bởi AH và (A’B’C’) bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Biết rằng O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) và cạnh bên của lăng trụ bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng . Biết rằng vuông tại , , . là đường cao của và là hình chiếu của điểm B lên . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên có độ dài a. hình chiếu của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC.
Tính thể tích hình chóp.
Chứng tỏ rằng BCB’C’ là hình vuông.
Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy .
Tính diện tich xung quanh của lăng trụ.
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 1
Tính thể tích lăng trụ.
Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
Một mặt cầu (S) ngoại tiếp lăng trụ tính bán kính mặt cầu.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A khoảng cách từ AA’ tới mặt bên BCB’C’ là a, mp(ABC’) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy một góc α.
Dựng AH^BC (HÎBC); CK^AC’ (KÎAC’).chứng minh AH=a; Góc CAC’=α và CK=b 
Tính thể tích khối lăng trụ.
Cho a=b không đối còn α thay đổi. Định α dể thể tích lăng trụ nhỏ nhất.(*)
ĐS: V=a.b3sin2∝.b2-a2.sin2∝; minV=3a334
§6 KHỐI CẦU
Các kiến thức cần nhớ:
+ Mặt cầu S(O;R) là tập hợp M| OM=R. Khối cầu S(O;R) là tập hợp M| OM≤R.
+ Mặt cầu là hình tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay xung quanh đường kính của nó.
+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mp(P).
Nếu d > R mp(P) không cắt mặt cầu.
Nếu d = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu.
Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r=R2-d2.
+ Công thức diện tích và thể tích
Scầu=4πR2 ; Vcầu=4πR33
+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện.
+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu có 
1./ Là điểm mà cách đều các đỉnh của khối đa diện.
2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà các đỉnh nhìn đoạn thẳng đó dưới một góc vuông.
3./ Là giao điểm của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện.
4./ Là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện.
+Hình chóp đều luôn nội tiếp trong một mặt cầu có tâm nằm trên đường cao của hình chóp.
+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đáy lăng trụ nội tiếp đường tròn.
Các bài toán.
Bài 1: (Tìm điểm cách đều các đỉnh)
Cho hình chóp S.ABC biết SA=SB=SC=a, ASB=60o;BSC=90o;CSA=120o.
Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện.
CMR tam giác ABC vuông tại B,
Gọi M là trung điểm AC.Tính SM và MB, chứng tỏ rằng SM ^(ABC)
Tính thể tích hình chóp S.ABC.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.(*)
Giải:
Tam giác SAB có SA=SB=a và ASB=60o nên tam giác SAB đều Þ AB=a
Tam giác SBC vuông cân tại S Þ BC=a2
Tam giác SAC cân tại S có CSA=120o áp dụng định lí hàm cos ta được
AC2=SA2+SC2-2SA.SC.Cos120o=a2+a2+a2=3a2
vậy AC=a3.
Do AC2=3a2=AB2+BC2Áp đụng định lí Pitago đảo ta được tam giác ABC vuông tại B.
M là trung điểm của AC tam giác SAC cân tại S nên SM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên SM ^AC (*)
và tam giác SAM là nửa tam giác đều vậy SM=SA2=a2
mặt khác BM là trung tuyến của tam giác vuông ABC vậy BM=AC2=a32
Xét tam giác SMB có SB2=a2=SM2+BM2Þ SM^MB (**)
Từ (*) và (**) ta được SM^(ABC).
VS.ABC=13SM.SABC=13.a2.a222=a3212.
Gọi I là điểm đối xứng của điểm S qua mp(ABC) khi đó SI qua M và vuông góc với mp(ABC).
Tam giác ABC vuông có SI là trục đường tròn nên IA=IB=IC.
mặt khác tam giác SAI đều nên IA=IS vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 2: ( Tìm giao các trục đường tròn)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp.
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 3: (Tứ diện gần đều)
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau 
AB=CD=a; AC=BD=b; AD=BC=c
Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB và CD chứng tỏ rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Chứng minh rằng trung điểm O của đoạn IJ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tính bán kính R mặt cầu theo a;b;c.(áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến AM2=14(2b2+2c2-a2) )
Chứng tỏ rằng O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Chứng tỏ rằng
VABCD=212-a2+b2+c2a2- b2+c2a2+b2-c2 (*)
§7 KHỐI TRỤ -KHỐI NÓN
Các kiến thức cần nhớ.
+ Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ song song với l.
+Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi bốn cạnh của hình chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.
+ Sxq= chu vi đường tròn đáy .chiều cao=2πRh
 Stp=Sxq+2Sđáy 
 Vtrụ=Sđáy.Cao=πR2h
+Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ cắt l nhưng không vuông góc với l.
+ Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác cân đó.
Các Bài toán.
Bài1: Một cái thùng đựng nước bằng tôn dạng hình trụ có nắp là một hình nón không có mặt đáy, biết đường kính đáy của hình trụ bằng chiều cao hình trụ và bằng 1m . Chiều cao của hình nón bằng bán kính đáy của hình trụ. Hỏi
Thùng có thể chứa được bao nhiêu lít nước ( 1lít »1dm3).
 Để làm cả thùng và nắp người ta tốn ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn.
Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
Căt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục 3cm hãy tính thiết diện được tạo nên.
Bài 3: Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a.
Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó.
Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp.
Bài 4: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R)và (O’;R), OO’=R3
Một hình nón đỉnh O’ đáy là hình tròn (O;R)
Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần tính tỉ số thể tich của hai phần đó.
Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a2
Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.
Cho một dây cung của đường tròn đáy của hình nón sao cho mp(SBC) tạo với đáy hình nón một góc 60o . Tính diện tich tam giác SBC.
Tính diện tích và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.
§8 MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Đề TN năm 2006 (2điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a3.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Đề TN năm 2007: (1đ5)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chopS.ABC.
Đề TN năm 2007 lần 2: (1đ5)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đề TN năm 2008(2đ).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh SA vuông góc với BC.
Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.