Chuyên đề Lượng giác - Phan Văn Sinh

) 
 , k 
Vậy nghiệm của PT là : 
 , k 
 ( ) ( ) 
Điều kiện: 0 
Lúc đó PT (4) tương đương với : 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 10 
( ) + – 1 = 0 
 ( )( ) - ( )( ) 
 ( )( )( )( ) 
 - ( )( )( )( ) 
 ( )( )[ ( )( ) ( )( ) ] =0 
 [
( )( ) 
( )( ) ( )( ) 
 [
 ( ) 
 ( ) 
 [
 ( ) 
 [
( )( ) ( ) 
 [
 ( ) 
 ( )
 ( )
(4.1) , k 
(4.2) √ ( 
) 
 , k 
Xét PT (4.3): 
Đặt sin + cos = √ ( 
), với t [ √ √ ] và 1 
Thì = 1+2 
 ( ) . Vậy PT (4.3) trở thành: 
 + 
 [
 √ ( ) 
 √ ( )
Vậy √ ( 
) √ ( 
) 
 √ 
√ 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 11 
 , k 
Vậy PT đã cho có các họ nghiệm sau: 
 , với k 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (BTTL) 
1). sin + cos – 2sin .cos = 1 2). 3(cos + sin ) + 2sin2 + 3 = 0 
3). + = sin2 +sin 4). 2 - sin = 2 cos +cos 
5). 2cos2 + + ( ) 
B. CÁC DẠNG VÀ KỸ THUẬT GIẢI PTLG 
I. DẠNG 1: SỬ DỤNG TRỰC TIẾP PTLG CƠ BẢN 
 Phương pháp: Dùng một số phép biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản để giải 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
( ) 
( )( )
 √ ( Đề ĐH Khối A 2009 ) 
Giải: Điều kiện: sin và sin 
 (*). 
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương: ( ) √ ( )( ) 
 cos √ = sin2x + √ cos2x cos( 
) = cos( 
) 
 x = 
 hoặc x = 
. Với k 
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm là: x = 
. Với k 
 √ ( Đề ĐH Khối D 2009 ) 
Giải: PT đã cho tương đương: √ ( ) 
 √
 sin(
 ) = sinx 
 hoặc 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 12 
Vậy: x = 
 hoặc x = 
 + k2 .( Với k ) 
 sinx +cosx.sin2x + √ = 2( ). ( Đề ĐH Khối B 2009 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: ( )sinx +cosx.sin2x +√ 
 sinx.cos2x + cosxsin2x + √ 
 sin3x + √ cos( 
) = cos4x 
 4x = 3x-
 hoặc 4x = -3x + 
 . 
Vậy : x = 
 hoặc x = 
.( Với k ) 
 sinx( 
) = 4 ( Đề ĐH Khối B 2006 ) 
Giải: Điều kiện: sin và cos , cos
 (1). 
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: 
 + sinx
 = 4 
[
 (Với k ), thỏa điều kiện (1). 
 sinx + cosx = √ 
Giải PT √ cos( 
) = √ cos9x 
 cos9x = cos( 
) [
 ( 
) 
 ( 
) 
 [
, Với k 
 2sin4x = sinx + √ 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 13 
Giải PT sin4x = 
 + √
cosx 
 sin4x = sin( 
) 
 [
 ( 
) 
, k 
 [
, k 
 sin5x + 2 = 1 ( Đề ĐH Khối B 2013 ) 
Giải PT sin5x + cos2x = 0 
 cos( 5x + 
 )= cos2x 
 [
, k 
 [
, k 
 2(cosx + √ ) √ ( Đề ĐH Khối B 2012 ) 
Giải PT cho tương đương với: 2 √ √ 
 2 √ √ 
 cos2x + √ √ 
 cos(2x - 
) = cos(x+ 
) 
 2x - 
 = (x+ 
) + k2 , (k ) 
 x = 
 + k2 hoặc x = k 
 , (k ) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1). 
√ 
 + 
 (ĐS: x = 
 x = 
 ) 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 14 
2).
 √ (ĐS: x = 
 ; x = 
 ) 
3).cos3x. 
 √ 
 (ĐS: x = 
 ) 
4). 
( √ ) 
 (
)
 = 1 (ĐS: x = 
 kết hợp đk ) 
5). cotx = tanx + 
 (ĐS: x = 
 kết hợp đk) 
II. DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT TÍCH (Nhóm thừa số chung) 
 Phương pháp: Dùng các phép biến đổi đế nhóm các thừa số chung lại với nhau tạo thành 1 PT 
tích. 
  Chú ý : Giả sử PT tích số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Phương pháp giải: Một tích số bằng 0 thì phải có ít nhất một thừa số bằng 0. Do đó: 
 (*) [ 
 ( ) ( )
 ( ) ( ) 
 ( ) ( )
 Ta lần lươt giải các PT (1), (2), … , (n). Hợp các tập nghiệm của “n” PT này là tập nghiệm 
của PT (*) đã cho. 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
 sinx + sin2x = sin3x 
Giải: + Nhận xét: các hàm số sin2x và sin3x đều có chứa thừa số sinx. Do đó ta có thể biến đổi 
PT trên thành một PT tích số 
PT sinx +2sinx.cox –(3sinx - 4 ) = 0 
 sinx( ) 
 [
 ( ) 
 ( ) 
- Giải ( ) a có : sinx = 0 k 
- Giải (2): Ta thay để có 1 PT bậc hai theo 
cosx: 2( ) + cosx – 1 = 0 
 2 - cosx – 1 = 0 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 15 
 [
 [
, k 
Vậy nghiệm của PT là: 
[
 , k 
Nhưng tập nghiệm thứ hai ( ) chứa trong tập nghiệm thứ nhất ( ). Nên PT 
chỉ có 3 họ nghiệm: 
[
, k 
 1 + tanx = 2√ ( 
) ( Đề ĐH Khối A 2013 ) 
Giải: Điều kiện: cosx . Phương trình đã cho tương đương với: 1 + 
 = 2(sinx + cosx) 
 cosx + sinx = 2cosx(sinx+cosx) = 0 
 (sinx + cosx)(2cosx - 1) = 0 
 [
 ( ) 
 ( ) 
PT (1) √ ( 
) = 0 
 = k x = - 
 , với k 
PT (2) 
 x = 
 , với k 
Đối chiếu điều kiện a được nghiệm: x = - 
 , hoặc x = 
 , với k 
 √ = 2cosx – 1. ( Đề ĐH Khối A 
2012 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: 2√ 
 2√ cosx(√ ) = 0 
 [√ 
( ) 
 ( ) 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 16 
PT (1) ( 
) 
 [
 , (k ) 
PT (2) x = 
 , (k ) 
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = 
 và 
 , với k 
 – sinx = 0. ( Đề ĐH Khối D 2013 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: – sinx = 0 2cos2x.sinx + cos2x = 0 
 cos2x.(2sinx + 1) = 0 
 [
 ( ) 
 ( ) 
PT (1) 
 x = 
, (k ) 
PT (2) 
 [
 , (k ) 
Vậy nghiệm của PT đã cho là: x = 
, 
 , và 
 , (k ) 
 + sinx + cosx ( Đề ĐH Khối B 2011 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: 
 2 + sinx + cosx 
 (2 ) + sinx + cosx 
 sinx(2 ) + sinx + cosx 
 sinx(cos2x ) + sinx + cosx 
 sinxcos2x + sinx + sinx + cosx 
 sinxcos2x cosx= 0 
 cos2x(sinx ) ( 1) = 0 
 (sinx – 1).(cos2x + cosx) = 0 
 [
 ( )
 ( )
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 17 
 ( ) 
 , (k ) 
 ( ) cos2x = cos( ) x = 
 ( ) 
Vậy PT đã cho có nghiệm là: 
 x = 
 ( ) 
 √ . ( Đề ĐH Khối D 2012 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: √ . 
 2cos2x.sinx + 2cos2x.cosx √ . 
 cos2x.(2sinx + 2cosx - √ ) = 0 
 [
 ( )
 √ ( )
PT (1) 2x = 
 + k x = 
 ( ) 
PT (2) sinx + cosx = 
√ 
 cos(x - 
) 
 [
 ( ) 
Vậy các nghiệm của PT là: x = 
 , 
 ( ) 
 √ ( Đề ĐH Khối A 2011 ) 
Giải: Điều kiện: sinx 0 (*). 
Nhận xét: 
 . 
Do đó PT đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x ). = 2√ 
 1 sin2x + cos2x = 2√ cosx ( do sinx ) 2sinx.cosx + 2 = 2√ cosx 
 2cosx( sinx + cosx - √ ) = 0 
 [
 ( ) 
 √ ( ) 
PT (1) 
 thỏa mãn điều kiện (*). 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 18 
PT (2) √ ( 
) = √ ( 
) 
 + , thỏa mãn điều kiện (*). 
Vậy nghiệm của PT đã cho là: 
 + ( ) 
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
  


 . ( Đề ĐH Khối D 2011 ) 
Giải: Điều kiện: , √ (*) 
Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx -1 = 0 
 2sinx.cosx +2cosx – sinx -1 = 0 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) = 0 
 (sinx + 1)( 2cosx – 1) = 0 
 [
 ( )
 ( )
PT (1) 
 + ( ) 
PT (2) 
 + ( ) 
Đối chiếu điều kiện (*), vậy nghiệm của PT đã cho là: 
 + ( ) 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1). 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 (ĐS: x = 
 x = 
 ) 
2). 
( ) 
 (ĐS: x = 
 x = 
 ) 
3). 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 (ĐS: 
 + ) 
4). 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (ĐS: 
 + 
 + ) 
5). (
) 
 (ĐS: + 
 + ) 
III. DẠNG 2: ĐƯA VỀ PT BẬC 2, 3 HOẶC TRÙNG PHƯƠNG 
 Phương pháp: Dùng các phép biến đổi để đưa về PT bậc 2, 3 hoặc trùng phương theo ẩn là 1 
hàm số lượng giác. 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 19 
Ví dụ mẫu: Giải các PT sau: 
 2 + = 2 
Giải: Điều kiện cos x 
Cách 1: PT đã cho tương đương với: 
 2 + 
 = 2 2 . + 
 2(1 - ) + 1 - = + 1 - 
 + – 1 = 0 [
 ( ạ )
 – 1 = 0 
 cos2x = 0 2x = 
 x = 
 ( ) 
 Chú ý : Đối với PT 
 ta không nên giải trực tiếp theo PT bậc hai vì khi giải có 
tới 4 nghiệm khi so sánh với điều kiện sẽ phức tạp, ( dĩ nhiên cũng có thể giải như vậy sau đó so 
sánh với điều kiện ) 
Cách 1: PT đã cho tương đương với: 
 + = 2 + + = 2 + 
 + – 2 = 0 [
 ( )
 tanx = ( 
) 
 , ( ) 
 5sinx – 2 = 3 (1- sinx) ( Đề ĐH Khối B 2004 ) 
Giải: Điều kiện cos x x 
 , ( ) (*). 
Với điều kiện trên PT tương đương với: 
5sinx – 2 = 
( ) 2 + 3sinx – 2 = 0. 
 [
 ( )
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 20 
Với 
 [
 , ( ) ( thỏa mãn (*) ). 
 ( ) 
√ 
 ( Đề ĐH Khối A 2006 ) 
Giải: Điều kiện sinx √
 (*). 
Với điều kiện trên PT tương đương với: 
 ( ) 2( 
 ) 
 3 + = 0 [
 ( ) 
 , ( ) 
Đối chiếu điều kiện (*), PT đã cho có nghiệm là: 
 , ( ) 
 ( Đề ĐH Khối A 2005 ) 
Giải: PT đã cho tương đương với: 
 (
) ( ) 
( Thêm bớt một lượng ) 
 ( ) ( )= 0 
 cos8x + cos4x – 2 = 0 + cos4x – 3 = 0 ( hạ bậc cos8x ) 
 [
 (loại do -1 < cos4x < 1) 
Vậy cos4x = 1 x = k 
 , ( ) 
 ( Đề ĐH Khối B 2003 ) 
Giải: Điều kiện {
 (*). 
Với điều kiện trên PT tương đương với: 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 21 
 2cos2x + = 2 2cos2x + 4( ) = 2 
 ( ) - cos2x – 1 = 0 
 [
 [
 , ( ) 
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: 
 , ( ) 
 ( 
) ( Trích Đề ĐH Khối A 2002 ) 
Giải: Điều kiện 
 (*). 
Ta có: ( 
) ( 
( ) 
) 
 ( 
) ( 
) 
 ( 
) = ( 
) 
= ( 
 ( )
) = 5.cosx 
Vậy PT đã cho tương đương với: 
5.cosx = – 5cosx + 2 = 0 
 [
 ( )
 x = 
 , ( ) 
Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của PT là: 
 , ( ) 
 ( 
) ( 
) 
 ( Đề ĐH Khối D 2005 ) 
Giải: Ta có: 
 = ( ) + ( ) 
 = ( ) + 2 ( ) 2 
 = ( ) 2 
 2 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 22 
 ( 
) ( 
) = 
[ ( 
) ] 
 = 
[ (
 ) ] 
 = 
[ ] 
Vậy PT đã cho tương đương với: 
 2 + 
[ ] 
 – cos4x + sin2x 
 ( ) 
 [
 ( )
 2x = 
 , ( ) 
Vậy nghiệm của PT là : x = 
 , ( ). 
 + 3 = 0 
Giải: PT đã cho tương đương với: 
 3 = 0 2 – cos2x ( ) = 0 
 2 + 3 
 [
 √
 [
, ( ). 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1). + cos2x – cosx – 1 = 0 (ĐH D- 2006) (ĐS: x = ; x = 
+k2 ) 
2). – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 , với x [ ] (ĐH D- 2002) 
 (ĐS: x = 
; x = 
; x = 
; x = 
) 
3). 4cos
 ( ) (ĐS: x = 
 ; x = 
 + k ) 
4). 2cos2x 
 (ĐS: x = ; x = 
 + k2 ) 
5). 48 
( ) 
 ọ N ó - Giúp N ọc Tập Tố ơ ” 
 p p Trang 23 
 ( ĐS: x = 
 ; x = 
 ) 
6). 
 (ĐS: x = 
 + k ) 
7). (sinx+3). 
 ( ) 
 (ĐS: x = 
+ k ) 
8). cos2x + cosx(2 ) = 2 (ĐS: x = ; x = 
 + k2 ) 
9). 3cos4x 8 + 2 + 3 = 0 (ĐS: x = ; x = 
 + k2 ) 
10). (ĐS: x = 
 ; x = 
 + k ) 
  Chú ý : Trong những năm gần đây đề thi phần lượng giác chủ yếu rơi vào dạng biến đổi 
để đưa về PT tích, dạng toán này đòi hỏi người giải phải nắm vững những kiến thức và biến đổi 
linh hoạt thì mới giải được, nội dung trên đây là những dạng toán có xác suất ra cao trong những 
năm gần đây. Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích các bạn trong những kỳ thi sắp tới. Mọi ý kiến 
đóng góp xin gửi về địa chỉ nhóm học tập trên Facebook Theo địa chỉ: 
https://www.facebook.com/groups/cunghocnhom 
……………………HẾT……………………