Chuyên đề Một số phương pháp tìm cực trị trong hình học

: Cho = và một độ dài a. Trên hai cạnh Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A, B sao cho OA + OB = a. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn AB.
Hướng dẫn:
Dấu “=” xảy ra OA = OB = .
Vậy min AB = .
Bài 32: Từ điểm I trên cạnh BC của dựng , . Xác định vị trí điểm I sao cho MN có độ dài ngắn nhất.
Hướng dẫn:
Đặt thì 
Ta có nên (ABCD là hình bình hành).
Tìm điểm K trên cạnh AD để thì .
Vậy MN ngắn nhất BK ngắn nhất.
Từ đó ta suy ra cách dựng điểm I.
Bài 33: Cho tứ giác lồi ABCD, M là điểm tùy ý trên cạnh CD. Gọi lần lượt là chu vi các tam giác AMB, ACB, ADB. Cmr: .
Hướng dẫn:
M thuộc cạnh CD nên 
Do đó (Dấu “=” không xảy ra vì không cùng phương).
Tương tự với BM. Suy ra 
Như vậy AM + BM < suy ra
 AM + BM + AB < (đpcm)
Bài 34: Cho M là một điểm thuộc miền trong. Gọi H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
Dấu “=” xảy ra 
	 M là điểm Lemoine của .	
Bài 35: Cho và một điểm M tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của tồng
.
Hướng dẫn:
Ta có nên 
Chú ý: ta có:
Dấu “=” xảy ra M là điểm Lemoine của 
Bài 36: Cho. Các điểm M, N, P lần lượt di động trên các đường thẳng BC, CA, AB. Xác định vị trí của các điểm M, N, P sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm của; H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của G trên BC, CA, AB. 
Ta có
Áp dụng bài 14 ta được 
Dấu “=” xảy ra 
 G là điểm Lemoine của . 
Vậy () nhỏ nhất M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm Lemoine của trên các đường thẳng BC, CA, AB.
Bài 37: Trong tất cả các tam giác nội tiếp đường tròn , hãy tìm tam giác để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Gọi là tam giác có độ dài các cạnh là và là bán kính đường ngoại tiếp tam giác.
Giả sử AM, BE, CF là các đường trung tuyến của. Dựng hình bình hành ABCD, gọi I là trung điểm CD thì MI = BE và AI = CF. Do vậyvà:
Khi đó 
Mà nên 
Dấu “=” xảy ra đều.
Bài 38: Cho đoạn thẳng AB, đường thẳng d và các số thực sao cho . Với mỗi điểm M thuộc d lập tổng . Xác định vị trí của điểm M để T đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Gọi I là điểm xác định bởi thì 
Do đó T nhỏ nhất MI nhỏ nhấtM là hình chiếu của I trên d. 
Bài 39: Cho trọng tâm G nội tiếp đường tròn . G ọi M là một điểm thuộc đường tròn đường kính OG. Giả sử AM, BM, CM cắt theo thứ tự tại các điểm . Cmr:
.
Hướng dẫn:
Với mọi điểm M ta có: 
Trong hệ thức trên cho thu được .
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 Đúng vì M thuộc đường tròn đường kính OG.
Vậy 
Bài 40: Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng:
.
.
Hướng dẫn:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AC, BD. Ta có 
Vì nên .
Theo câu a: 
Bài 41: Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nôi tiếp . Chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn:
.
Sử dụng và suy ra điều phải chứng minh.
Bài 42: Cho M thuộc miền trong nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Hướng dẫn:
Gọi H là trực tâm của thì .
Đáp số T . 
Bài 43: Cho tam giác nhọn ABC với Q là tâm đường tròn Euler của nó. Đường tròn ngoại tiếp cắt AQ, BQ, CQ lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
.
Hưóng dẫn:
Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của . Ta có O, H, Q, G thẳng hàng và Suy ra .
Tương tự suy ra: 
.
Bài 44: Gọi O, I , G, H, L, N, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm, trực tâm, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone của, chứng minh các bất đẳng thức sau:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hưóng dẫn:
Biễu diễn các vectơ theo các vectơ rồi bình phương vô hướng ta thu được các công thức sau:
Từ đó suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 45: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 12 cm, E là trung điểm của CD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho CF = 4 cm. Các điểm G,H theo thứ tư di chuyển trên AB và AD sao cho GH// EF . Xác định vị trí của điểm G sao cho tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Hướng dẫn:
Đặt SEFGH = S, BG = x 
DAGH đồng dạng DCEF Þ 
Þ 
Þ DH =
Áp dụng :
S = SABCD – SGAH - SGBF – SCEF - S DEH. Suy ra giá trị cần tìm.
Bài 46: Cho DABC, M là điểm nằm trong tam giác, qua M dựng các dường thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành 3 tam giác nhỏ có diện tích s1, s2, s3. Gọi S là diện tích tam giác ABC.
Tìm vị trí M để s1 + s2 + s3 nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Đặt S = SABC, S1 = SMDK , S2 = SMGE, S3 = SMFH
 X = DM, y = ME, z =FH
Áp dụng Tỉ số diện tích trong tam giác đồng dạng
Suy ra : 
Áp dụng BĐT BCS : x2 + y2 + z2 ≥ 
Þ s1 + s2 + s3 ≥ 
Bài 47: Cho hình vuông ABCD. Dựng đừong thẳng d qua C cắt các tia AB, AD tại hai điểm phan biệt M, N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn :
Gọi a là cạnh hình vuông 
BM = x, DN = y.
Ta có : BC // AN Þ Þ xy = a2
 MN2 = ( a+x)2 + ( a+y)2 =2a( x + y ) + ( x + y )2
 MN2 nhỏ nhất Û x +y nhỏ nhất 
Þ Vị trí d cần tìm
Bài 48: Cho tam giác ABC vuông tai A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC, IK ^AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Kẻ AH ^ BC, IE ^AH.
Áp dụng Pitago: IK2 + IN 2 = AI2 ≥ AE2
Đặt AE = x , EH= y
Áp dụng BĐT CauchyÞ IM2 + IK2 +IN 2 ≥ 
Bài 49: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên 2 cạnh AB và AD lần lựơt lấy 2 điểm di động E và F sao cho: AE + EF + FA=2a.Tìm vị trí E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.
 Hướng dẫn:
Dấu = khi 
Bài 50: Cho đường tròn (O;R),đường kính AB cố định. C là một điểm cố định nằm giữa A và O, M di động trên đường tròn (O;R).Tìm vị trí của M trên (O;R) tương ứng lúc độ dài
Hướng dẫn:
Mà CB không đổi
Dấu = khi
Bài 51:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC. Một đường thẳng d quay quanh A và cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Giả sử tam giác ABC vuông tại A, xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCMN lớn nhất
Hướng dẫn:
Dấu = khiM, Nlần lượt là trung điểm của các cung AB, AC
Bài 52:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí của I sao cho nhỏ nhất
Hướng dẫn:
không đổi
Dấu = khi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 53: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vuôg goc nhau tại I (khác O). Tìm vị trí của ABCD sao cho diện tích tam giác ICD lớn nhất.
Hướng dẫn:
OI cắt (O;r) tại M’
Mà IM’ ,OM’ không đổi
Dấu = khiIC, ID tạo với IO các góc 
Bài 54:
Chi hai điểm A, b cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác MAB la tam giác có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM
Hướng dẫn:
Tam giác KAH đồng dạng tam giác KMB
KH.KM=AK.KB
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
Do đó (không đổi)
Dấu = khi AK=KB
Bài 55:
Cho tam giác ABC. Xác dịnh vị trí điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn:
1)Tam giác ABC nhọn
Vẽ 
AM cắt BC tại I
Ta có 
Chứng minh tương tự,suy ra 
Dấu = xảy ra là trực tâm .
2) vuông. Không mất tổng quát giả sử góc A. Tương tự câu 1.
3) tù . Không mất tổng quát giả sử góc A. 
Nếu M A ta có = 2AB.CA
Nếu M A vẽ và . Ta có M nằm trong 
Do đó > MA. B’C + B’M.CA + CM.AB’
Áp dụng câu 1 ta được> 2AB.AC
Vậy MA thì AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 56: Cho điểm M nằm trong góc nhọn xOy. Hai điểm A, B lần lượt thay đổi trên Ox, Oy sao cho aOA = bOB. Tìm vị trí của A,B sao cho aMA + bMB đạt giá trị nhỏ nhất.(với a,b là hai số cho trước, a,b >0)
Hướng dẫn:
Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác≥OAMB, ta có
OA.MB + OB.MA ≥ OM.AB
Þ 3OB.Mb + 2OB.MA ≥ 2OM.AB
Þ Min 2MA + 3MB
Bài 57: Một lục giác có độ dài 6 cạnh đều bằng 1. CM lục giác đó có ít nhất một đường chéo chính nhỏ hơn hoặc bằng 2.(Đường chéo chính là đường chéo chia lục giác thành hai tứ giác)
Hướng dẫn:
Xét lục giác ABCDEF. Xét tam giác ACE. Không mất tính tổng quát, giả sử CE là cạnh lớn nhất trong tam giác. Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác ACDE. Từ đó suy ra AD ≤ 2
Bài 58: Trong tam giác ABC, CMR:
a) a2 + b2 +c2 ≤ 9R2
b) R2 + a2 + b2 ≥ c2
Hướng dẫn: 
a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , ta có : ( + +)2 ≥ 0
Khai triển ta được: 2 = 2R2 – c2
Þ 9R2 – (a2 +b2 + c2) ≥ 0
Þdpcm
b)Khai triển (OA + OB – OC)2 ≥ 0
Bài 59: Tứ diện ABCD, trọng tâm G, bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp là R, r, độ dài các cạnh là a, b, c, d, e, f. Chứng tỏ: 
a2 + b2 + c2 +d2 +e2 + f2 16R2
GA + GB + GC + GD 
Hướng dẫn:
Khai triển ()2 0
Ta có GA.R 
Suy ra: 
(GA + GB + GC + GD)R
 (GA + GB + GC + GD)RGA2+ GB2 + GC2+ GD2
Mà: GA2+GB2+GC2+GD2 =
Từ đó suy ra đpcm
Trong quá trình biên sọan quyển chuyên đề này, chúng em đã tham khảo và trích dẫm từ nhiều nguồn sách, báo và tài liệu khác nhau. 
_”Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng” của Nguyễn Đức Tấn.
_”23 chuyên đề và 1001 bài toán “
_”Nâng cao và phát triển tóan” của Vũ Hữu Bình
_ Báo “ Tóan học và tuổi trẻ” do Hội Tóan học Việt Nam phát hành
_ “ Lời giải môn tóan các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong TPHCM từ năm 1989 đến 2001” của Nguyễn Đức Tấn
_Một số tài liệu từ mạng.
Cảm ơn các tác giả sách, báo nói trên đã có những quyển sách hay giúp chúng em hòan thành tốt chuyên đề này.
Chân thành cảm ơn thầy và các bạn đã dành thời gian xem chuyên đề này. Nhóm biên tập hân hạnh đón nhận những đóng góp từ thầy và các bạn.
Nhóm biên tập
Phạm Ngọc Xuân Đào
Nguyễn Thị Mỹ Huyền
Võ Thị Diễm Phí
Lê Thị Thu Thảo
Nguyễn Hòang Anh Thư
Trương Thanh Thư
Lời mở đầu	Trang
Chương 1: Cực trị trong hình học sơ cấp.	5
Phương pháp 1:Vận dụng quan hệ giữa đừơng xiên và đường vuông góc.	6
Phương pháp 2: Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc.	9
Phương pháp 3: Áp dụng BĐT trong đường tròn.	15
Phương pháp 4: Áp dụng BĐT đại số.	18
Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích.	21
Chương 2: Cực trị trong hình học Vectơ.	24
Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectơ.	25
Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng vectơ.	28
Phương pháp 3:Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng hai vectơ.	30
Chương 3: Bài tập áp dụng	34