Chuyên đề Quan hệ song song quan hệ vuông góc

n hệ mật thiết với bài toán của chúng ta. Ta có thể sử dụng kết quả trên và cả phương pháp giải bài toán trên để giải bài toán này.
@Trở lại bài toán :
	*Gọi hình chiếu của A trên mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC là A1:. Theo hướng chứng minh của bài toán trên ta cần chứng minh A1 thuộc mặt phẳng cách đều A và mặt phẳng (BCD).
 	ŸGọi . Dựng mặt phẳng chứa cắt BC tại O.
 Ta có BCAA1 và BC A1H nên BC. 
Vậy là góc phẳng nhị diện cạnh BC và OA1 là phân giác góc này.
Qua A1 ta dựng mặt phẳng , cắt theo một giao tuyến là . 
Gọi H = chA/.
	Vì :
 	 + 
 Ta có: 
 theo giao tuyến .
 Mà: AH . Vậy AH là khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng (P).
và suy ra A1H1 là khoảng cách giữa và. 
	 + Mặt khác : theo bổ đề bài toán phẳng thì AH = A1H1.
 Nên : cách đều A và .
*Chứng minh tượng tự như trên cho hình chiếu của A trên 5 mặt phẳng phân giác còn lại.
	@Bài toán được giải quyết xong!q
Trong việc giải toán khoảng cách ta có nhiều phương pháp giải khác nhau. Trong số những phương pháp đó nhóm thực hiện chuyên sâu vào tìm hiểu về mối liên hệ giữa phép chiếu vuông góc và việc tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, từ đó ứng dụng những tính chất đặc trưng của phép chiếu vuông góc vào những bài toán tìm khoảng cách.Cung cấp cho các bạn bài viết này nhóm thực hiện mong rằng sẽ khai thác thêm một phương pháp hữu dụng cho bạn đọc cách giải toán khoảng cách trong không gian. Thông qua đó nhóm muốn gửi đến các bạn một cái nhìn mới cũng như cách vận dụng và phát huy sức sáng tạo từ lí thuyết đến bài toán cụ thể - một phương thức sáng tạo.
	Ta điểm lại một số điểm lý thuyết sau
Tính bảo toàn tỉ số qua phép chiếu vuông góc:
	a. Cho những đường thẳng cùng phương trong không gian thì qua phép chiếu vuông góc tỉ số của những đường thẳng đó bảo toàn.
	b. Trong không gian cho đoạn thẳng AB và điểm M di động trên đường thẳng AB hay , chiếu A, B, M lên một mặt phẳng thì với lần lượt là hình chiếu của M, A, B, trên mặt phẳng .
Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
	 Cho hai đường thẳng chéo nhau AB, CD. Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Dựng một mặt phẳng vuông góc với CD tại O. 
Gọi . Trên từ O ta dựng 
Ta có:
Vậy khoảng cách giữa AB, CD cần tìm là ON.
	Ta đến với bài toán cụ thể sau:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có CD vuông góc với mặt phẳng . Gọi M là trung điểm của BD, N là trung điểm của AB và K là điểm trên CD sao cho .
 Chứng minh khoảng cách giữa BK và CN bằng với khoảng cách giữa AM và CN.
Phân tích :
	Với bài toán này ta có thể dùng phương pháp trực tiếp , có nghĩa là ta sẽ tính khoảng cách giữa BK và CN , khoảng cách giữa AM và CN rồi so sánh hai gái trị vừa tính được. Đó là một phương pháp !
	Nhưng ta có thể nhìn sâu vào bài toán hơn một tí , bài toán đã cho với lợi thế là CD vuông góc với mặt phẳng và các yếu tố tỉ số đã cho cho phép ta có thể chọn mặt phẳng thích hợp và áp dụng phép chiếu vuông góc.
Cụ thể như sau:
Giải:
Gọi là mặt phẳng vuông góc với CN tại N.
Chiếu tứ diện ABCD lên . Gọi A1, B1, D1, M1, K1 lần lượt là hình chiếu của A, B, D, M, K lên (P).
Theo giả thiết CD 
Suy ra: 
Dựng NIA1M1.
Như vậy : 
Ta có M là trung điểm BD , N là trung điểm của AB nên theo tính chất bảo toàn tỉ số qua phép chiếu vuông góc ta cũng có M1 là trung điểm của B1D1, N là trung điểm của A1B1.Và theo giả thiết nên . (1)
Ta xét hình chiếu của tứ diện lên là . Do (1) nên K1 là trọng tâm của , suy ra K1 nằm trên A1M1 . Từ đây ta dễ dàng thấy ND1 là trung trực của A1B1. 
Vậy là tam giác cân , do đó NI = NJ . (Điều phải chứng minh) 
Đến đây bài toán được giải quyết ! 
Nhận xét : Bằng việc ứng dụng phép chiếu vuông góc ta có một cách giải đẹp cho bài toán. Không cần tính toán phức tạp chỉ cần một chút khéo léo và một chút suy luận thì ta đã có một lời giải hay và gọn và trong đó còn thể hiện một chút sáng tạo .Qua phép chiếu vuông góc ta có thể áp dụng các tính chất đã nói ở trên . Qua một chút lập luận ta qui bài toán không gian trở về bài toán phẳng : “Cho tam giác A1B1D1 có ND1 là trung trực của A1B1, M là trung điểm D1B1và K1 chia đoạn ND1 theo tỉ số . I và J lần lượt là hình chiếu của N trên A1M1 và B1K1. Chứng minh rằng : NI = NJ”.
	Đến đây bài toán trở nên vô cùng đơn giản . Việc chứng minh không hề gặp trở ngại . 
	Ta đến với bài toán tiếp theo :
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm cạnh AB , N là trung điểm cạnh CD . Tìm khoảng cách giữa BN và CM . 
Phân tích :
	Bài toán này không khó, hoàn toàn không khó vì các yếu tố của bài toán này gần như có sẵn không cần phải suy luận nhiều . Việc tính khoảng cách giữa BN và CM ta có thể thực hiện đơn giản như sau :
	Ta dễ dàng tính được các đoạn sau : MN, MC và VABCD vì tứ diện ABCD đều cạnh a .
	Do đó ta tính được VM.ACN theo công thức sau:
	 (1)
	Ta có thể tính góc giữa BN và CM như sau: Qua C dựng đường thẳng 
song song với AN và cắt BD tại E . 
	Vậy do nên . Ta tính được ME, CE nên theo định lý hàm số cosin ta tính được cos MCE rồi suy ra sin MCE . 
Tiếp theo ta có công thức sau
 (2)
Từ (1) và (2) ta có được khoảng cách cần tính . 
Tuy nhiên việc xác định vị trí khoảng cách sẽ khó hơn, vì vậy ta có thể nghĩ đến một phương pháp khác lưỡng toàn.
Nhưng nếu phân tích các yếu tố bài toán ta thấy tứ diện đã cho là tứ diện đều nên việc áp dụng phép chiếu vuông góc là hoàn toàn thuận lợi. Ta có lời giải sau :
Giải:
Gọi là mặt phẳng vuông góc với BN tại N . Hiển nhiên CD.
Gọi H là hình chiếu của A lên .
Ta thực hiện phép chiếu tứ diện ABCD lên . Khi đó ta kí hiệu là ảnh của A và M trên qua phép chiếu vuông góc . Dễ thấy rằng C, D là hình chiếu của chính nó trên và N là hình chiếu của H và B trên .
Vì:
Ta cũng có : 
Ta có nhận định sau: . Gọi I là hình chiếu của N trên vậy . Ta qui bài toán vể việc tính NI.
Dễ dàng có được và (Vì MA = MB và M nằm trên AB nên qua phép chiếu vuông góc, tỉ số mà M chia trên AB không đổi)
Ta xét hình chiếu của tứ diện ABCD trên . Trong tam giác vuông có NI vuông góc với tại I nên ta có hệ thức sau :
Vậy .
Nhận xét : Bài toán được giải quyết cho ta một lời giải hay và không thiên về phần tính toán như phương pháp mà ta đã đề ra ở phần phân tích . 
	Ta đến với bài toán sau :
Bài 3 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo . Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O lấy điểm S . Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy . Xác định đường vuông góc chung của SA và CD . Tính độ dài đường vuông góc chung đó .
Phân tích : 
Theo bài toán thì khối đa diện tạo bởi S, A, B, C, D là hình chóp tứ giác đều S.ABCD .
Ta thực hiện phép chiếu vuông góc bằng việc chọn mặt phẳng thuận lợi cho bài toán .
Ở đây ta thấy việc chọn một mặt phẳng có mối liện hệ với CD là thuận lợi hơn cả . Để rõ hơn ta đến với lời giải sau : 
Giải :
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD , khi đó O là trung điểm của MN . Dựng đường thẳng qua N và vuông góc với SM tại K.
Từ đấy ta cũng có :
Vậy và hình chiếu của SA trên (SMN) là SM. 
Vậy .
Trong (SMN) ta có : NK = MN. sin = a.sin.
Cách dựng đường vuông góc chung : Qua K dựng đường thẳng song song với AB và cắt SA tại E , qua E dựng đường thẳng song song với NK và cắt CD tại F.
Vậy EF = NK và thỏa tính chất của NK , do đó EF là đường vuông góc chung của SA và CD.
Nhận xét : Bài toán đơn giản vì hầu như các phép chiếu không đòi hỏi phức tạp như trên. Ở các bài toán trên phép chiếu vuông góc phụ thuộc hoàn toàn vào việc chọn mặt phẳng để thực hiện phép chiếu và việc chọ mặt phẳng thì hoàn toàn không đơn giản . Nhưng ở bài toán này thì việc chọn mặt phẳng không khó khăn mấy và như có sẵn . Và đối với bài toán này nói riêng ta có thể coi rằng đây là phương pháp quen thuộc nhất.
	Qua các bài tập trên chúng ta đã thấy được mới liên hệ mật thiết giữa phép chiếu vuông góc và việc xác định khoảng cách cũng như phương pháp giải và mấu chốt trong việc ứng dụng phép chiếu vuông góc vào các bài toán liên quan đến khoảng cách.
	Nhóm thực hiện xin gửi đến các bạn hai bài toán tự luyện sau :
Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại trung điểm cỏa BC lấy N sao cho NK = a . Gọi M là trung điểm của AB . Xác định và tính đường vuông góc chung của AN và DM.
Bài 2 : Trong mặt phẳng cho tam giac ABC vuông cân tại A có AB = AC = a . Trên đường thẳng vuông góc với tại C lấy điểm M sao cho MC = a . Xác định và tính khoảng cách của AM và AC.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1 : Trong không gian cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhay và chéo nhau nhận AB = a làm đường vuông góc chung. M và N tương ứng là hai điểm di động trên Ax và By sao cho ta luôn có MN = AM + BN.
Chứng minh rằng H luôn nằm trên một mặt phẳng có định và góc tạo bởi MN và là một góc cố định.
Bài 2 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a . Đoạn SA cố định vuông góc với tại A. Cho M và N là hai điểm di động trên BC và CD. Đặt BM = x , DN = y.
Tìm mối liên hệ giữa x và y để và tạo với nhau một góc nhị diện 30o.
Giả sử M và N là hai điểm sao cho tạo với một góc nhị 
diện 45o. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AMN
Bài 3 : Cho ba điểm A, B, C thuộc mặt phẳng , B thuộc đoạn thẳng AC, và cho điểm S trên đường thẳng vuông góc với tại A. Đặt AB = 2a, BC = b, . Hai điểm M và N thay đổi sao cho M không trùng N, M , N, C thẳng hàng và M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng . Gọi x là khoảng cách từ trung điểm của AB đến MN. Tìm x để diện tích tam giác SMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị ấy.
Bài 4 : Trong mặt phẳng cho tam giác đều ABC cạnh a. S là điểm ờ ngoài . Giả sử các mặt phẳng bên tạo với mặt đáy các góc x, y, z. Dựng H là hình chiếu của S trên mặt phẳng . Tính SH theo a, x, y, z.
BỘ TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
(Tải về toàn bộ chuyên đề Hình chóp của xuanndc trên violet.vn)
Chuyên đề 1: Hình Chóp _ Quan hệ Song song Quan hệ Vuông góc
Chuyên đề 2: Hình Chóp _ Góc và Khoảng cách
Chuyên đề 3: Hình Chóp _ Diện tích Thiết diện
Chuyên đề 4: Hình Chóp _ Thể tích và Cực trị thể tích
Chuyên đề 5: Hình Chóp _ Bài tập tổng hợp