Đề thi thử Đại học môn Toán Năm 2014 - 2015 Đề 6

Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9, TP.HCM 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 
MÔN TOÁN NĂM 2014 - 2015 
Thời gian làm bài: 180 phút. 
Đề 6: 
Câu 1 ( 2.0 điểm) : Cho hàm số 4 2 22 3y x mx m    có đồ thị (Cm) 
 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2/ Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . 
Câu 2 (2.0 điểm ) : 
 1/ Giải phương trình 
2 3 1
8sin
sin cos
x
x x

  
 2/ Giải hệ phương trình : 
3 3 3
2 2
8 27 28
( , )
2 3 2
x y y
x y
x y x y
  
 
 
Câu 3 (1.0 điểm ) : Tính tích phân 
24
0
3sin
1 cos 2
x x
I dx
x




 
Câu 4 ( 2.0 điểm ) : 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Chân đường cao hạ từ đỉnh S 
của hình chóp trùng với trung điểm I của cạnh AB và góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng đáy 
bằng 300. 
1/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 
2/ Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SDK). 
Câu 5 (1.0 điểm ) : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
2 2 2
1 1 1 1
M
a b c ab bc ca
   
 
. 
Câu 6 (2.0 điểm ) : 
 1/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(4; -2). Viết phương trình đường thẳng d không đi 
qua A, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại A và diện 
tích tam giác ABC là nhỏ nhất. 
 2/ Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 
2 2 2 4 2 6 11 0x y z x y z       và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 2y + z + 7 = 0. Viết phương 
trình mặt phẳng () song song với (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện 
tích bằng 9. 
---------------------Hết--------------------- 
Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
ĐÁP ÁN 
Câu Ý Đáp án Điểm 
1 
(2đ) 
1.1 
(1.0 
điểm
) 
Khi m = 1 y = x4 2x2 +2 
* Tập xác định: D = 
0.25 
*Sự biến thiên 
 + Giới hạn tại vô cực 
x
lim y

= + , 
x
lim y

= +  
+ Đạo hàm 
 y’ = 4x3  4x = 4x(x2 - 1) 
 y’ = 0  4x(x2 - 1) =0  
x 0
x 1


 
0.25 
+ Bảng biến thiên 
x 
-  -1 0 1 + 
 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y 
+  
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0 ) và (1; +) ; nghịch biến trên các 
khoảng 
(-; -1) và (0; 1) 
Hàm số đạt cực đại tại x = 0  yCĐ = 2 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1  yCT = 1 
0,25 
*Đồ thị 
0.25 
1 
1 -1 O 
2 
-  
 1 1 
 2 
Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
1.2 
(1.0 
điểm
) 
Ta có 3 2' 4 4 4 ( )y x mx x x m    
 2
2
0
' 0 4 ( ) 0
(*)
x
y x x m
x m

     

Để hàm số có ba cực trị thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt 
khác 0. 
Tức là : m > 0 
0.25 
Khi đó các điểm cực trị là A(0; - m2 + 3) , 2( ; 2 3)B m m   , 2( ; 2 3)C m m  
Ta có 2 2( ; ), ( ; )AB m m AC m m      AB = AC hay tam giác ABC cân 
tại A 
Gọi I là trung điểm BC thì I(0; - 2m2 + 3) 
2 2(0; )AI m AI m    
(2 ;0) 2BC m BC m   
0.25 
Mà 2
1 1
4 2 . 4 2 . .2 4 2
2 2
ABCS AI BC m m      
 5 32 2m m    
0.25 
Kết hợp điều kiện m > 0 ta có m = 2 là giá trị cần tìm 0.25 
2 
(2đ) 
2.1 
(1.0 
điểm
) 
Điều kiện x k
2

 0,25 
Khi đó phương trình tương đương 2(2 3)cos sin 8sin .cosx x x x   
 (2 3)cos sin 4(1 cos2 ).cosx x x x     
 (2 3)cos sin 4cos 2(cos3 cos )x x x x x      
0,25 
 3 cos sin 2cos3x x x    
3 1
cos sin cos3
2 2
x x x    
 cos cos( 3 )
6
x x


 
    
 
0,25 
7
3 2
6 24 2
5
3 2
6 12
x x k x k
x x k x k
  
 
 
  
 
      
  
       
 
(TMĐK) 
0,25 
2.2 
(1.0 
Nếu y = 0 thì hệ phương trình trở thành 
27 0
3 0x



 (vô lý). Suy ra y  0 0,25 
Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
điểm
) 
Khi đó hệ phương trình tương đương 
3
3 3
3
2
2
27 38 28 (2 ) 28
2 3 3 32 2 . 2 12
x x
y y
x x
x x
y y y y
        
    
       
  
Đặt 
3
2 vµu x v
y
  , hệ phương trình trở thành 
3 3 28
( ) 12
u v
uv u v
  

 
3( ) 3 ( ) 28
( ) 12
u v uv u v
uv u v
    
 
 
3 4( ) 64
3( ) 12
u vu v
uvuv u v
   
  
  
3 1
1 3
hoÆc
u u
v v
  
  
  
0,25 
Với 
3
1
u
v



 thì 
2 3 3
3 2
1
3
x
x
yy
 
 
 
  
Với 
1
3
u
v



 thì 
2 1 1
3 2
3
1
x
x
yy
 
 
 
  
0,25 
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là 
3 1
;3 ; ;1
2 2
S
    
     
    
 0,25 
3 
(2đ) 
3.1 
(1.0 
điểm
) 
24
0
3sin
1 cos 2
x x
I dx
x





24
2
0
3sin
2cos
x x
dx
x


 
24 4
2 2
0 0
3sin
2cos 2cos
x x
dx dx
x x
 
   = I1 + I2 0,25 
Tính 
4 4
1 2 2
0 0
1
22cos cos
x x
I dx dx
x x
 
   . Đặt 
2
1
tan
cos
u x
du dx
v xdxdv dx
x


 
 

Do đó 
4
4
1 0
0
1 1
tan tan
2 2
I x x xdx


  
4
0
1 sin
8 2 cos
x
dx
x


  
4
0
1 (cos )
8 2 cos
d x
x


   
4
0
1 1 2
ln cos ln
8 2 8 2 2
x

 
    
0,25 
Tính 
24 4
2
2 2
0 0
3sin 3
tan
22cos
x
I dx xdx
x
 
  
4
2
0
3 1
1
2 cos
dx
x

 
  
 
   40
3
tan
2
x x

 
3 3
2 8

  0,25 
Vậy 
1 2 3 3 1 2 3
ln ln
8 2 2 2 8 2 2 2 4
I
  
       0,25 
4 
(2đ) 
4.1 
(1.0 
điểm
) 
Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
Ta có SI  (ABCD) nên IC là hình chiếu của SC lên (ABCD) do đó góc 
giữa SC và (ABCD) là góc 30oSCI  (vì SIC vuông tại I). 
0,25 
Xét BIC vuông tại B có: 2 2 5IC BI BC a   
Xét SIC vuông tại I có: tan 60o
SI
IC
 SI = IC . tan 
15
60
3
o a 
0,25 
Diện tích hình vuông ABCD là: 2 2(2 ) 4ABCDS a a  0,25 
Vậy thể tích khối chóp là : 
3
21 1 15 4 15. . .4
3 3 3 9
SABCD ABCD
a a
V SI S a   (đvtt) 0,25 
4.2 
(1.0 
điểm
) 
Gọi E = DK  IC . 
Ta có :  IBC = KCD  BCI KDC 
Mà 90oDKC KDC  (vì KCD vuông tại C) 
Nên 90oDKC BCI  
90oKEC  hay DK  IC (1) 
0,25 
Lại có DK  SI (vì SI  (ABCD)) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra DK  (SIC) 
Trong  SIE kẻ IH  SE (3) 
Mà DK  (SIC) nên DK  (SIE) 
  DK  IH (vì IH  (SIE)) (4) 
Từ (3) và (4) suy ra IH  (SKD) , do đó ( ,( ))d I SKD IH 
0,25 
Ta có KD = IC = 5a 
Lại có EC.KD = CK.CD = 2SKCD 
. 2 5
5
CK CD a
EC
KD
   
0,25 
E
K
I
B C
D
A
S
H
Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
3 5
5
a
IE IC EC    
Xét tam giác SIE vuông tại I có : 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9 5 52
15 9 45IH SI IE a a a
     
2
2 45 3 65
52 26
a a
IH IH    
Vậy 
3 65
( , ( ))
26
a
d I SKD IH  
0,25 
5 
(1đ) 
Áp dụng bđt Cauchy ta có : 
  2 2 23
2 2 2
1 1 1 3
3 . 9
. .
ab bc ca a b c
ab bc ca a b c
 
      
 
1 1 1 9
ab bc ca ab bc ca
   
 
0,25 
Do đó: 
M
2 2 2
1 9
a b c ab bc ca
 
    2 2 2
1 1 1 7
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
   
       
  22 2 23
3 7
ab bc caa b c ab bc ca
 
    
0, 25 
Lại có: 
  22 2 23 a b c ab bc ca   
 
2
2 2 2 2 2 2
12
3 3
a b ca b c ab bc ca      
   (1) 
Và: 2 2 2a b c ab bc ca     2 2 2 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ca ab bc ca         
    
2
3a b c ab bc ca     
 
2
12
3
a b c
ab bc ca
 
     
(2) 
0,25 
Từ (1) và (2) Suy ra: M
3 7 10 5
12 12 12 6
    
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là M min =
5
6
Khi 2a b c   
0,25 
6 
(2đ) 
6.1 
(1.0 
điểm
) 
Ta có: B (b ; 0)  Ox và C (0 ; c)  Oy với b > 0 , c > 0 
 4;2AB b  , ( 4; 2)AC c   
Vì ABC vuông tại A nên . 0AB AC  4( 4) 2( 2) 0b c     
2 2( 4)c b    
0,25 
Lại có 
1
.
2
ABCS AB AC 
2 21 ( 4) 4. 16 ( 2)
2
b c     
 2 2
1
( 4) 4. 16 4( 4)
2
b b     2( 4) 4 4b    
0,25 
Gia sư: Khổng Minh Châu – Franklin Khong Phone: 0973 875 659 
Dc: 43/12, đường 120, Tân Phú, Q.9 Tp.HCM (08. 6280 9037) TRUNG TÂM GIA SƯ CASSIUS 
Do đó diện tích tam giác ABC nhỏ nhất là 4 khi b = 4  c = - 2 
 B(4; 0) và C(-2; 0) 
0,25 
Đường thẳng d cần tìm đi qua A, B nên có phương trình 
1 2 4 0
4 2
x y
x y     

0,25 
 6.2 
(1.0 
điểm
) 
Mặt cầu (S) có tâm I(2; - 1; 3) và bán kính R = 5 
Vì () //(P) nên phương trình () có dạng : 2x - 2y + z + D = 0 (với D  7) 
0,25 
Vì mặt phẳng () cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 
bằng 9 nên bán kính đường tròn là r = 3. 
Ta có 2 2( , ( )) 4d I R r    
0,25 
Mà 
2 2
2.2 2.( 1) 3 9
( , ( ))
32 ( 2) 1
D D
d I 
    
 
  
Suy ra 
9
4
3
D

9 12 3
9 12 21
D D
D D
   
       
(TMĐK D  7) 
0,25 
Vậy có hai phương trình mặt phẳng () cần tìm là : 
2x - 2y + z + 3 = 0 hoặc 2x - 2y + z - 21 = 0 
0,25