Chuyên đề Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua một số dạng toán tính số đo góc

phát từ DAHC vuông có C = 300 và AH = BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng 300.
Với ý tưởng và cách nghĩ này, chúng ta có thể vẽ hình phụ theo phương ỏn sau: 
Vẽ tam giác vuông BCI, BIC = 1V, C = 300 (I, A khác phía so với BC). Bài toán 3 được giảI quyết tương tự.
 Bài toán 7: Cho DABC, AH ^ BC, BD = DC (H,D thuộc đoạn BC)
 sao cho BAH = HAD = DAC (*). Tính: ABH =? 
A
 B
 D
C
H
I
 Hướng giải: 
 Vẽ DI ^ AC. I ẻ AC. (H.13) Dễ thấy DABH = DADH (g.c.g) => BH = HD (1) 
DAHD = DAID (Cạnh huyền - góc nhọn) => HD = ID (2) (H.13) 
Từ (1) và (2) suy ra ID= HD = BD = DC => DDIC có 
 ID=DC mà DIC=1v => C=300 => HAC=600 kết hợp với (*) => ABH = 600
 Nhận xét: Xuất phát từ BAH = HAD => BH = HD = BD = DC.
Đến đây ta thấy một phần của các yếu tố trong tam giác vuông có một góc bằng 300 xuất hiện. Từ đó dự đoán C = 300. Nảy sinh suy nghĩ vẽ DI ^ AC. Nếu chứng minh được DI = DC thì bài toán được giải quyết.
Với suy nghĩ tương tự ta có cách vẽ hình phụ như sau:      
* Lấy E đối xứng với A qua H. (H.14) . Ta chứng minh được 
DAECC
 đều => DAHC là nửa tam giác đều từ đó bài toán (H.14)
 được giải quyết .
 Bài toán 8:
C
A
D
B
I
H
E
Cho DABC. Vẽ DABD, DACE đều (E, D nằm ngoài tam giác ABC).
 H là trung điểm của BC, I là trọng tâm của DABD. Tính: IEH = ?
 Hướng giải:
Lấy F đối xứng với E qua H. (H.15)
Ta có: DBHF = DCHE (c.g.c) => BF = CE. 
Ta có IA = IB và AIB = 1200 (vì DABD đều). 
IAE = 300 + BAC + 600 = 900 + BAC mà IBF = 3600 - (IBA + ABC + HBF) = 3600 - (300 + ABC + ECH ) (H.15) 
 = 3600 - (300 + ABC + ACB + 600)
 = 3600 - (900 + 1800 - BAC) = 900 + BAC. 
 => DIBF = DIAE (c.g.c) =>IF = IE 
 => DFIE cân tại I mà AIB = 1200. 
 =>FIE = 1200 => IEH = 300. F 
Với cách giải này, nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đường phụ như sau:
* Lấy K đối xứng với I qua H. (H.17)
* Lấy M đối xứng với B qua I. (H.18)
 ............
 (H.17) (H.18)
*Bài tập cùng dạng:
Cho DABC vẽ DABD, DACE đều (E, D nằm ngoài tam giác). I, P lần lượt là trung điểm của AD và CE. Điểm F nằm trên BC sao cho BF = 3.FC. Tính: FPI = ? 
 Dạng 3: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân.
 Bài toán 9:Cho DABC, M là trung điểm của BC, BAM = 300, MAC = 150. Tính: BCA = ?
S
 A
Nhận xét: Khi đọc kỹ bàI toán ta thấy BAM = 300, MAC = 150, BM = MC quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ bài toán 3 mặt khác BAC = 450
điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân.
 Hướng giải:
Cách 1: (H.19). Hạ CK ^ AB (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa 
 B
hai tia CA và CK). Ta có DAKC vuông cân tại K (vì BAC = 450) 
=> KA = KC . Vẽ DASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC). 
M
D
A
B
 I
M
C
K
C
Do DBKC vuông tại K => KM = BC = MC=> DKMC cân tại M . (H.19) 
 Dễ thấy DKAM = DCSM (c.g.c) =>CSM = 300 => ASM = 600 và
SAM = 600 => DASM đều => AS = SM = AK => DAKM cân tại A 
 => MKC = MCK = 900 - 750 = 150 => BCA = 450 - 150 = 300.
Cách 2:(H.20) Lấy D đối xứng với B qua AM => DBAD cân tại A
 mà BAM = 300 (gt) => BAD = 600 => DABD đều. Ta có DC // MI 
(Vì MB = MC, IB = ID),(BD ầ AM = {I}) mà MI ^ BD => CD^BD (H.20)
Mặt khác xét: DADC có CAD = 150(gt) , ADC = 600 + 900 = 1500 
=> DCA = 150 => DADC cân tại D => AD = CD mà AD = BD (DADB đều).
Vậy DBDC vuông cân tại D => DCB = 450=>BCA = 450 - DCA = 450 - 150 = 300. 
 Bài toán 10: 
 Cho DABC, A = 1V, AC = 3AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính: ADB + ACB = ? 
 B
 A
E
D
C
F
I
 Hướng giải: (H.21)
Kẻ EF ^ AC sao cho EA = ED, Ẻ AD với EF = AD, (B, F 
khác phía so với AC ) . Ta có DBAD = DDEF (c. g.c) (* )
=> BD = FD , BDF = 1v => DBDF vuông cân tại D
=> DFB = 45 0 (1). Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho
AI = 2AB . Dễ thấy DIBF = DACB ( c.g.c). => ACB = IBF (H.21). = EFB (2) 
Từ (*), (1) và (2) ta có ADB + ACB = BFD = 450 
 Nhận xét: Sau khi vẽ hình ta dự đoán ADB + ACB = 450 lúc
đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam giác vuông cân làm sao
để tổng số đo của hai góc cần tìm bằng số đo góc 450. ý nghĩ dự đoán ADB + ACB = 450 xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ DBAE vuông cân ( E là trung điểm của AD ). Khi phát hiện tổng hai góc đó bằng 450 chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách giải khác nhau. Đây là bài toán khá hay, mà đến nay theo tôi được biết nó có không dưới 20 cách giải khác nhau. Bởi vậy khi giải bài này, chúng ta cần tổ chức cho học sinh tìm tòi, sáng tạo ra nhiều đường kẻ phụ mới, độc đáo nhằm tạo ra sự hứng thú học tập và nghiên cứu khoa học ở các em. 
 Bài toán 11: Cho D ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kỳ trên đoạn AC (M khác A, C). Kẻ AF ^BM, F ẻ BC. E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC. kẻ EI // BM, I ẻ BA. Tính góc AIM = ?
A
 K
 B
E
F
C
M
 I
 Hướng giải: 
 Gọi K là giao điểm của IE và AC. (H.22)
 Xét D KEC có FA // EK, EF = FC ( gt )
 => KA = AC và K = FAC . Ta có DABM = DAKI (g.c.g)
 ( vì FAC = ABM ) => AM = AI => DAIM vuông cân tại A (H.22)
=> AIM = 450
 Nhận xét:
Đều có hướng giải quyết tương tự
C
N
B
 K
A
M
D
B
K
N
C
D
I
 E
A
M
B
K
N
C
D
I
 E
A
M
B
K
N
C
D
I
 E
A
M
A
 B
E
 I
 H
F
C
 Đường kẻ phụ KI và KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân cơ bản làm nảy sinh các đường kẻ phụ này. 
+ Một là do IE // AF 
+ Hai là EF = FC 
 Từ đó làm xuất hiện ý nghĩ chứng minh DABM = DAKI
 và bài toán được giải quyết. 
 Căn cứ vào các yếu tố giả thiết đã cho của bài toán ta (H.23) 
có cách vẽ hình phụ khác như sau: M
 * Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AM (H.23).
 Từ đó ta có cách giải quyết tương tự trên. 
 II.Dạng 4: Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc.
 Bài toán 12:
 Cho DABC, A = 800, AC > AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC = AB; M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Tính góc CMN ?
 Hướng giải:
 Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC 
Nối K với B ta có DKAB cân tại A.( vì AB = DC) . (H.24) 
=> BKA =BAC = 800 = 400 ( tính chất góc ngoài ). 
Mặt khác ta có MA=MD => MK =MC, BN =NC => MN là 
đường trung bình của DKBC => NMC = BKC = 400. (H.24) 
 Nhận xét: Vì đâu ta có đường kẻ phụ AK ? 
Thứ nhất: Ta có DKAB cân và góc BAC biết. Như vậy các góc của DKAB ta sẽ tìm được 
Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC 
Thứ ba: Do NB = NC 
 Với lý do thứ hai và ba ta có được góc cần tìm bằng góc BKA .Vậy bài toán được giải quyết.
 Sau khi nêu ra những lý do cơ bản đó, ta có những đường kẻ phụ khác như sau: 
* Lấy K đối xứng với A qua N 
* Lấy K là trung điểm của BD 
* Lấy K đối xứng với M qua B 
* Lấy K đối xứng với D qua N 
 .................
Bài toán trên ta có thể ra dưới dạng tổng quát như sau:
Giữ nguyên giã thiết và thay  = a ( 00 < a < 1800 ) 
Từ bài toán 13 vấn đề đặt ra là nếu ta “bẽ gãy” đoạn thẳng AC thành hai đoạn thẳng AD và DC thì bài toán lúc này có giải được nữa hay không ? Thật vây, ta đi nghiên cứu bài toán đó. 
 Bài toán 13:
 Cho D ABC và DADC chung cạnh AC (B, D nằm khác phía so với AC). M,N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. AB cắt DC tại E. BEC = a, ( 00 < a < 180 0 ). MN cắt DC tại I. Tính: NIC =?
 Hướng giải:
 Lấy K đối xứng với A qua N. (H.25) Dễ thấy DBAN = DCKN ( c.g.c) => CK = AB = DC =
DDCK cân tại C mà MA = MD và NA = NK 
=>MN // DK => NI // DK 
=> NIC = KDC = (1800- DCK) = a (H.25) 
 (vì DCK = DCB + NCK = DCB + CBA = 1800 - a ). 
Vậy NIC = a. 
 Nhận xét:          Như vậy khi giải một bài toán nếu ta biết nó xuất phát từ đâu, bắt nguồn từ bài toán nào thì việc giải sẽ dễ dàng hơn. Ta thấy bài 13 là trường hợp riêng của bài 14. Thật vậy khi A º E thì M º I ta trở về bài toán 13. 
 Quan sát, nhận xét kỹ mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán 13 ta có những cách vẽ hình phụ để giải bài toán bằng các cách khác như sau:
* Lấy F đối xứng với B qua M.
* Lấy P đối xứng với D qua N.
Giải tương tự cách vẽ thứ nhất
* Lấy Q đối xứng với C qua M.
* Lấy R là trung điểm của BD.
* Lấy S là trung điểm của AC .
 ................. 
*Một số bài toán tham khảo.
Ta có thể áp dụng cách giải các bài toán từ các ví dụ trên để giải các bài toán sau
Bài 1: Cho DABC, A = 600. Các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, E ẻ AB, Dẻ AC. Tính: EDB = ?
Bài 2: Cho DABC, C = 1000, CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho CAM = 100, CBM = 200. 
Tính: AMC = ?
Bài 3: Cho DABC cân tại C, C = 800, M nằm trong tam giác sao cho MAB = 100, MBA = 200. 
Tính: AMC =?
Bài 4:
Cho DABC, AB = AC, A = a, trung tuyến CM. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA biết BCM = b. Tính: BDC = ? 
Trên đây là một số dạng bài toán tính số đo góc mà trong quá trình dạy học, bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi đã tích luỹ được và mạnh dạn đưa ra trao đổi cùng bạn bè đồng nghiệp cùng các thầy, cô giáo để nhằm mục đích góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học. 
Các bài toán đưa ra làm ví dụ chưa thực sự lôgic, phù hợp; khai thác chưa triệt để chắc chắn còn có nhiều lời giải hay và hấp dẫn hơn. Đặc biệt, khi sử dụng những đơn vị kiến thức về: Tam giác đồng dạng, tứ giác, tứ giác nội tiếp, công thức tính diện tích, lượng giác...để giải bài toán về tính số đo góc thì bài toán được giải quyết nhanh hơn, gọn hơn rất nhiều.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song với những kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, chắc chắn trong quá trình viết không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Kính mong được quí thầy cô giáo và bạn đọc rộng lượng, góp ý sữa chữa để những vấn đề nêu trên ngày càng thiết thực và bổ ích hơn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới quí thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và một số bạn đọc đã góp ý giúp tôi hoàn thiện bài viết này.
 Tài liệu tham khảo .
 1. Phát triển và nâng cao hình học 7 ( Vũ Hữu Bình )
 2. Tạp chí toán học tuổi thơ 2. NXBGD.
 3. Một số đề thi HSG huyện và HSG tỉnh .
 4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.
 5. Sách giáo khoa toán 7, 8; Sách giáo viên Toán 7, 8.
 Lộc Hà, ngày 28 tháng 02 năm 2007