Chuyên đề - Tích phân

2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có hoành độ 
 x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x [a; b]:" Ỵ 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị 
TH4: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có hoành độ 
 x = a và f(x) < g(x) £ 0, x [a; b]:" Ỵ 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị 
y 
x 0 
(H) 
a b 
(C2) 
(C1) 
y 
y 
x 
0 
(H) 
a b 
(C1) 
(C2) 
y 
y 
x 
(H) A B 
a b 0 
(C2) 
(C1) 
y 
x 
(H) A B 
a b 
0 
(C2) 
(C1) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 146 
TH5: 1 2(C ) cắt (C ) tại 3 điểm A, B, C, trong đó xA = a 
 xB = b, xC = c với a < c < b như hình bên: 
 1 2(3) V V VÛ = + 
c b
2 2 2 2
a c
[f (x) g (x)]dx [g (x) f (x)]dx.= p - + p -ị ị 
Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 
1 2(C ) : x f(y), (C ) : x g(y), y a, y b (a b)= = = = < với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi 
quay quanh trục Oy được tính bởi: 
b
2 2
a
V f (y) g (x) .dy= p -ị (4) 
TH1: 1 2 1 2(C ) (C ) và x f(y) x g(y) 0,Ç =Ỉ = > = ³ 
 với mọi y [a; b].Ỵ 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ị 
TH3: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có tung độ 
 A By a y b= = ³ 
 với mọi y [a; b].Ỵ 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ị 
* Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3. 
Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2 = 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích 
khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: 
 a/ quanh trục hoành 
 b/ quanh trục tung. 
Giải: 
a/ 2(P): y 8x (P) : y 8x (x 0)= Û = ± ³ 
 Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh 
trục Ox là: 
y 
x 
C 
(C1) 
(C2) 
V2 V1 
A 
a c b 
B 
y 
x2 (H) 
C2 C1 
b 
a A 
B 
x1 
x 
(H) x1 x2 
y 
x 0 
C2 C1 
a 
b 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 147 
2 2
2
0 0
V y .dx 8x.dx 16= p = p = pị ị (đvtt). 
b/ 2 21(P) : y 8x x y
8
= Û = 
 Thể tích V khối ... quanh trục tung là: 
24 4
2 2 2 4
1 4
1 1 899V 2 y du 2 y dy ...
8 64 32- -
pỉ ư ỉ ư= p - = p - = =ç ÷ ç ÷
è ø è øị ị (đvtt). 
Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) : 2y 2x x= - . Tính 
thể tích của khối tròn xoay khi cho (H) 
 a/ quay quanh trục hoành 
 b/ quay quanh trục tung. 
Giải: 
a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là: 
2 2
2 2 2
0 0
16V y .dx (2x x ) dx ...
15
p
= p = p - = =ị ị (đvtt). 
b/ 2 2(P) : y 2x x x 2x y 0 (1)= - Û - + = 
 1 1
2 2
' 1 y 0 0 y 1
x 1 1 y, (0 x 1)
(1)
x 1 1 y, (1 x 2)
D = - ³ Û £ £
é = - - £ £
Û ê
ê = + - £ £ë
 Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là: 
1 1 1
2 2
2 1 2 1 2 1
0 0 0
8V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... .
3
p
= p - = p + - = p - = =ị ị ị 
Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: 
2
2x y 1
4
+ = quay quanh trục hoành. Tính thể tích của 
khối tròn xoay được tạo nên. 
Giải: 
2 2
2 2 2x x 1(E) : y 1 y 1 y 4 x , (| x | 2)
4 4 2
+ = Û = - Û = ± - £ 
Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: 
2 2
2 2
2 2
8V y .dx (4 x ).dx ...
4 3- -
p p
= p = - = =ị ị (đvtt). 
Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y x, y 2 x= = - và y = 0. 
 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy. 
Giải: 
y 
x 0 
–1 
2 –2 
1 
y 
x 2 1 0 
(H) 
1 (P) 
x2 
x1 
x 
y 
4 
0 
–
x = 2 
2 
(P) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 148 
· 1y x x x 2= Û = = 
· 2y 2 x x x 2 y.= - Û = = - 
· Thể tích vật thể tròn xoay 
khi quay (D) quanh trục Oy là: 
1 1
2 2 2 2 2
2 1
0 0
V (x x )dy [(2 y) (y ) ]= p - = p - -ị ị 
 32
15
p
= (đvtt). 
BÀI TẬP 
Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn 
bởi các đường: 
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2x y 5 0; x y 3 0.+ - = + - = 
c/ 2y x ; y x.= = d/ 2 2y x 4x 6; y x 2x 6.= - + = - - + 
e/ 2y x(x 1) .= - f/ xy x.e ; x 1; y 0 (0 x 1)= = = £ £ 
g/ x x 2y e ; y ; x 0; x 2.- += = = = h/ 3y x ln(1 x ); x 1.= + = 
i/ 2(P) : y x (x 0), y 3x 10; y 1= > = - + = (miền (D)) nằm ngoài (P)). 
k/ 4 4y cos x sin x; y 0; x ; x .
2
p
= + = = = p 
ĐS: a/ 22 (ln 2 1) ;p - b/ 153 ;
5
p c/ 3 ;
10
p 
 d/ 3p e/ .
105
p f/ 
2(e 1) ;
4
p - 
 g/ 2 2(e 1) ;p - h/ (2 ln 2 1).
3
p
- i/ 56 .
5
p k/ 
23 .
8
p 
Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình 
phẳng giới hạn bởi các đường: 
a/ 2y x ; y 1; y 2.= = = . b/ 2 2y x ; x y .= = 
c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2. 
ĐS: a/ 3 ;
2
p b/ 3 ;
10
p c/ 224 .p 
Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong 1y ;
x
= trục Ox; x = 1 và x = t 
a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox. 
b/ Tính: 
t
lim S(t)
®+¥
 và 
t
lim V(t).
®+¥
y 
x 4 2 1 0 
1 
2 
y x= 
y 2 x= - 
A 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 149 
ĐS: a/ S(t) ln t; V(t) ;
t
p
= = p - b/ 
t t
lim S(t) ; lim V(t)
®+¥ ®+¥
= +¥ = p 
Bài 21. Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C): 2 2x y 8+ = và parabol (p): 2y 2x.= 
a/ Tính diện tích S của (D). 
b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox. 
ĐS: a/ 4 2 .
3
- p b/ 4 (8 2 7).
3
p
- 
Bài 22. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường: 
a/ 
2 / 3xy b (0 x a)
a
ỉ ư= £ £ç ÷
è ø
 quanh trục Ox. 
b/ y sin x; y 0 (0 x )= = £ £ p 
 a/ quanh trục Ox b/ quanh trục Oy. 
c/ 
2x xy b ; y b
a a
ỉ ư= =ç ÷
è ø
 a/ quanh trục Ox. b/ Quanh trục Oy. 
d/ xy e ; y 0 (0 x )-= = £ < +¥ quanh trục Ox và Oy. 
ĐS: a/ 23 ab ;
7
p 
 b/ 
2
x/ V ;2
p
a = 2y/ V 2 .b = p 
 c/ 2x
4/ V ab ;
15
a = p 
2
y
ab/ V .
6
p
b = 
 d/ x/ V ;2
p
a = y/ V 2 .b = p 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 150 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
a/ 
2
2
2 x .dx;
-
+ị b/ 
1 2
2
0
x dx ;
4 x-
ị 
c/ 
2 2
1
x 1 dx;
x
-
ị d/ 
1
2 3
0
dx ;
(1 x )+
ị 
e/ 
1 2
2 2
0
x dx ;
(x 1)+ị f/ 
/ 4
2
0
x dx;
cos x
p
ị 
g/ 
/ 2
x
0
e .cos xdx;
p
ị h/ 
/ 4 4 4
x
/ 4
sin x cos xdx;
3 1
p
-p
+
+ị 
i/ 
0
cos2x.dx ;
sin x cosx 2
p
+ +ị k/ 
5 /12
2
/12
dx ;
sin 2x 2 3 cos x 2 3
p
p + + -
ị 
ĐS: a/ 8 (4 2);
3
- b/ 3 ;
3 2
p
- c/ 3 ;
3
p
- d/ 2 ;
2
 e/ 1 1 ln 2;
4 4
- + f/ 2ln ;
4 2
p
+ g/ / 21 (e 1);
2
p - h/ 3 ;
16
p 
 i/ 2ln3 – 2; k/ 3 .
4
Bài 2. Biết 2
2)x 1), x 0
f(x)
K(1 x ), x 0
- + £ì
= í
- >ỵ
. Tìm giá trị K để 
1
1
f(x).dx 1.
-
=ị 
ĐS: K = 3. 
Bài 3. a/ Cho hàm số 
2x
x
e
e
f(x) t.ln t.dt.= ị Tìm hoành độ điểm cực đại x. 
b/ Tìm giá trị 3x 0;
2
pỉ ưỴç ÷
è ø
 để hàm số 
2x
x
sin tf(x) dt
t
= ị đạt cực đại. 
ĐS: a/ x ln 2.= - b/ x .
3
p
= 
Bài 4. Cho hàm số 
x
2
0
2t 1f(x) dt, 1 x 1.
t 2t 2
+
= - £ £
- +ị 
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f. 
ĐS: a/ 1min f f ;
2
ỉ ư= -ç ÷
è ø
 b/ max f f(1).= 
Bài 5. Cho hàm số 
x
2
0
f(x) (t 1)(t 2) dt.= - -ị Tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị f. 
ÔN TẬP TÍCH PHÂN 
Trần Sĩ Tùng Tích phân 
 Trang 151 
ĐS: 17 4 4 112CT : 1; ; Đ.Uốn : 2; ; ;
12 3 3 81
ỉ ư ỉ ư ỉ ư- -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : 2 2x y 5+ = thành 2 phần, 
tính diện tích của mỗi phần. 
ĐS: 1 2
5 5 15 5S ; S .
4 2 4 2
p p
= - = + 
Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C): 1y ; y 0
x
= = ; x = 1; x = 2. Tìm 
toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có 
diện tích lớn nhất. 
ĐS: 3 2M ; .
2 3
ỉ ư
ç ÷
è ø
Bài 8. Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) là pháp tuyến tại A của (P) 
((D) vuông góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Định vị trí của A để diện tích giới 
hạn đỉnh bởi (P) và (D) là nhỏ nhất. 
ĐS: 4 1 1 1 1min S ; A ; hay A ; .
3 2 4 2 4
ỉ ư ỉ ư= -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi: 
2 2x y 1
16 4
x 4 2
ì
- =ï
í
ï =ỵ
. 
 Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. 
ĐS: 128 .
3
p 
Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi: 
2y ax , a 0
y bx, b 0
ì = >
í
= - >ỵ
. 
 Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức 
giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a 
và b. 
ĐS: b5 = K.a3, với K là hằng số dương bất kỳ. 
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 2y x 4x 3 , y x 3.= - + = + (Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) 
ĐS: 109
6
 (đvdt). 
Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
2 2x xy 4 và y .
4 4 2
= - = (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) 
Tích phân Trần Sĩ Tùng 
 Trang 152 
ĐS: 42
3
p + (đvdt). 
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): 3x 1y
x 1
- -
=
-
 và hai trục 
toạ độ. (Đề thi.......................................... khối D_2002) 
ĐS: 41 4 ln
3
+ (đvdt). 
Bài 14. Tính tích phân 
2 3
2
5
dxI .
x x 4
=
+
ị 
 (Đề thi.......................................... khối A_2003) 
ĐS: 1 5ln .
4 3
Bài 15. Tính tích phân 
/ 2 2
0
1 2sin xI dx.
1 sin2x
p -
=
+ị 
 (Đề thi.......................................... khối B_2003) 
ĐS: 1 ln2.
2
Bài 16. Tính tích phân 
2
2
0
I x x dx.= -ị 
 (Đề thi.......................................... khối D_2003) 
ĐS: 1. 
Bài 17. Tính tích phân 
2
1
xI dx.
1 x 1
=
+ +ị 
 (Đề thi.......................................... khối A_2004) 
ĐS: 11 4 ln 2.
3
- 
Bài 18. Tính tích phân 
e
1
1 3ln x.ln xI dx
x
+
= ị 
 (Đề thi.......................................... khối B_2004) 
ĐS: 116 .
135
Bài 19. Tính tích phân 
3
2
2
I ln(x x)dx.= -ị 
 (Đề thi.......................................... khối D_2004) 
ĐS: 3ln3 – 2.