Đại cương về đường thẳng, mặt phẳng - Ngô Viết Văn

 Ta có SA và AB nằm trên (SAB) nên E, H thuộc mặt phẳng đó. Mặt khác GP và MN nằm trên (MNP), nên E, H thuộc (MNP). Vậy EH là giao tuyến của (MNP) và (SAB)
 Ta có SA và AD nằm trên (SAD) nên H, F thuộc mặt phẳng này. HG, MN nằm trên (MNP) nên F, H nằm trên mặt phẳng đó. Vậy FH là giao tuyến của (MNP) và (SAD)
 Trong (SAB) gọi SB cắt HE tại I. Ta có M, I thuộc nằm trên lần lượt BC, SB nên thuộc (SBC). HE nằm trên (MNP) nên I, M thuộc (MNP). Vậy MI là giao tuyến của (MNP) và (SBC)
 Trong (SAD) gọi HF cắt SD tại J và JN là giao tuyến của (MNP) và (SCD)
1/ Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp và (MNI)
HD
Trong (ABCD) gọi MN cắt BA, BC lần lượt tại G, E. và MN cắt BD tại J. 
Trong (SBD) gọi JI cắt SB tại B’.
Trong (SBC) gọi EB’ cắt SC tại F
Trong (SAD) gọi GB’ cắt SA tại H
Thiết diện là MHB’FN
ý tưởng ví dụ 10: Ta sẽ lấy Ba điểm trên hình chóp, một điểm ở cạnh bên, hai điểm trong lòng mặt chéo…….
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SC, H thuộc SC và M không trùng O và N là trung điểm của SH. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (BMN)
Hướng dẫn:
Gọi BH cắt AD tại E, Hãy xét trong hình chóp S,ABCE với hai mặt chéo (SAC) và (SBE)
LG
ý tưởng ví dụ 11: Ta sẽ lấy Ba điểm trên hình chóp, hai điểm ở cạnh bên, một điểm ở cạnh đáy
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD, lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, CD, SB sao cho: SM=1/2SA, CN=1/2CD, SP=3/4SB. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)
(không cần SO)
Trong (SAB) gọi MP AB=I. Trong mặt phẳng (ABCD) gọi NI BC=J, NIAD=K. Trong (SBC): gọi PJ SC=L.
Ta có: 
(MNP) (SAB)=MP, (MNP) (SBC)=PL,
(MNP) (SBD)=LN, (MNP) (ABCD)=NK
Vậy thiết diện cần tìm là MPLNK 
Trong (SAB) gọi MP AB=I. Trong mặt phẳng (ABCD) gọi NI BC=J, NIAD=K.
Trong (SAD) gọi MKSD=H.
Ta có: 
(MNP) (SAB)=MP, (MNP) (SBC)=PJ,
(MNP) (ABCD)=NJ, (MNP) (SAD)=NH
Vậy thiết diện cần tìm là MPJNKH 
Bài tập
1/ Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O, lấy M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD
a/ Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)
b/ Tìm giao điểm của SO và (MNP)
a/ Trong (ABCD) gọi PN AB=E, PN AD=F
Trong (SAB) gọi ME SB =H
Trong (SAD) gọi MF SD =G
Ta có:(MNP) (SAB)=MH 
(MNP) (SBC)=HN, 
(MNP) (ABCD)=NP,
(MNP) (SCD)=PG
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MHNPG
b/ Trong (ABCD) gọi NP AC tại I
Trong (SAC) gọi IM SO tại O. Mà MI nằm trên (MNP) nên SO (MNP)=O’ (học sinh vẽ thêm hình)
ý tưởng ví dụ 12: Ta sẽ lấy Ba điểm trên hình chóp, một điểm ở cạnh bên, hai điểm cạnh đáy
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm CB, CD. M là điểm bất kỳ trên SA. Tìm thiết diện của hình chóp và(MKH)
Gọi I là một điểm trên SC. Tìm giao điểm của AI với (HKM)
1/ Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang ABCD, AD//BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Q là điểm trên cạnh SA. Xác định thiết diện của hình chóp đã cho với (MNP)
	2.	Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt
	là trung điểm lấy trờn AB , AD và SC . 
	Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (MNP)
	Giải
	Trong (ABCD) , gọi 	E = MN ầ DC
	F = MN ầ BC
	Trong (SCD) , gọi 	Q = EP ầ SD
	Trong (SBC) , gọi 	R = FP ầ SB
	Vậy : thiết diện là ngũ giỏc MNPQR
4.	Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trờn
	 AD và DC .Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng (MNE)
	Giải
	Trong (SCD), gọi Q = EN ầ SC
	Trong (SAD), gọi P = EM ầ SA
	Trong (ABCD), gọi F = MN ầ BC
	Trong (SBC), gọi R = FQ ầ SB
	Vậy : thiết diện là ngũ giỏc MNQRP
ý tưởng ví dụ 13: Ta sẽ lấy Ba điểm trên hình chóp, một điểm ở mặt bên, hai điểm cạnh bên
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD; G là trọng tâm tam giác SCD. Tìm giao điểm của MG và (ABCD); BN và (SAG)
ý tưởng ví dụ 14: Ta sẽ lấy Ba điểm trên hình chóp, hai điểm ở mặt bên, một điểm trên cạnh đáy
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD, N thuộc cạnh BC, K, L theo thứ tự là các điểm thuộc miền trong tam giác SAB và SCD. Dựng thiết diện của hình chóp và (NKL)
Lưu ý: Chưa chắc KL đã cắt HI và KC’ chưa chắc đã cắt HC
ý tưởng ví dụ 15: Ta sẽ lấy 4 điểm trên hình chóp, ở cả 4 cạnh bên
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD tâm O, mặt phẳng (Q) cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A', B', C', D'; gọi A'C' cắt B'D'tại O'. Chứng minh S, O, O' thẳng hàng.
Bài tập
1/ Cho hình chóp S.ABCD tâm O . Gọi M, N là trung điểm SC, SD.
a/ Tìm giao điểm P của BN với (SAC)
b/ Gọi Q và R lầnP lượt là trung điểm SA, SB. Chứng minh M,N, Q, R đồng phẳng
ý tưởng ví dụ 16: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 2 điểm là đầu mút của cạnh và một điểm trên cạnh đối diện
Ví dụ 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt trên cạnh AB, CD, AD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng 
a/ (ABN) và (CDM) b/(ABN) và (BCP)
ý tưởng ví dụ 17: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 2 điểm trong lòng hai tam giác
Ví dụ 17: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc miền trong tam giác ABC và BCD. Giả sử MN cắt (ACD) tại E, cắt (ABD) tại F. Nêu cách xác định E, F 
1/ Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trong tam giác BCD, điểm N trong tam giác ACD. Xác định giao tuyến của (AMN) với các mặt phẳng (BCD) và (ABC)
ý tưởng ví dụ 17’:Lấy hai điểm trên hai cạnh không đối diện
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DC và DA. Xác định giao tuyến của (ABM) và (CDN)
ý tưởng ví dụ 18: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 3 điểm trên ba cạnh
Ví dụ 18: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H, sao cho I không trùng với C, H không trùng với D
a/ Tìm giao tuyến của (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD)
b/ Chứng minh CD, IG, HF đồng quy
Bài tập
1/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên BD lấy điểm P sao cho BP=2PD.
a/ Tìm giao điểm của CD với (MNP)
b/ Tìm giao tuyến của (MNP) với (ACD)
2/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt trên các cạnh AB, AC, AD sao cho MN cắt BC tại A', NP cắt CD tại B' và đường thẳng MP cắt đường thẳng BD tại C'. Chứng minh A', B', C' thẳng hàng
ý tưởng ví dụ 18’: lấy 3 điểm trên ba cạnh bên
Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng
ý tưởng ví dụ 18’’: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 3 điểm, 2 điểm trên 2 cạnh bên và 1 điểm trên cạnh đáy
Ví dụ 18": Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt trên các cạnh BA, BC, và CD sao cho BM=BA/2, BN=BC/2, CP=3CD/4. Xác định giao tuyến của
a/ (MNP) và (ABD)
b/ (MNP) và (ACD)
1/ Cho tứ diện ABCD. GọiI, J, K lần lượt trên các cạnh BA, BC và CD sao cho AI=AB/3; BJ=2BC/3, CK=4CD/5. Tìm giao điểm của AD và (IJK) 
2/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, P là điểm thuộc cạnh AD sao cho AP=2AD/3. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi (MNP)
ý tưởng ví dụ 19: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 3 điểm, 2 điểm trên 2 cạnh và 1 điểm trong tam giác
Ví dụ 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong tam giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện và (HKM)
Bài tập
1/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trên AB và AC sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại E. Gọi O là điểm trong tam giác BCD
a/ Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)
b/ Tìm giao tuyến của (OMN) và (ACD)
2/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N là lần lượt là trung điểm cạnh CA và CB, G là trọng tâm tam giác BCD
a/ Tìm giao điểm của CD và (GMN)
b/ Tìm giao điểm của AD và (GMN)
3/ Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng () qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng () qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P, Q
a/ Gọi I=AMDN, J=BP EQ. Chứng minh S, I, J, G thẳng hàng
b/ Giả sử AN DM=K, BQEP=L. Chứng minh S, K, L thẳng hàng
ý tưởng ví dụ 19’: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 3 điểm, 1 điểm trên cạnh và 2 điểm trong tam giác
Ví dụ 19': Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD. Gọi I, J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
a/ Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD)
b/ Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
2/ Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với (ABC)
a/ Hãy xác định điểm L
b/ Tìm giao tuyến (IJK) với các mặt của tứ diện
ý tưởng ví dụ 20: Ta sẽ làm bài về tứ diện, lấy 4 điểm trên bốn cạnh (trở về hình chóp đáy tứ giác) (bốn điểm trên 4 cạnh cùng nhìn một cạnh)
Ví dụ 20:Cho tứ diện ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh BC, H là một điểm cố định trên AC. Mặt phẳng (P) di động chứa HK, cắt cạnh BD và AD lần lượt tại M, N
a/ Giả sử M không là trung điểm của BD, hãy xác định điểm N
b/ Tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng HM và KN khi M di động trên cạnh BD
1/ Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là hai điểm cố định trên các cạnh AB và AC sao cho EF không song song với BC. Điểm M di động trên cạnh CD
a/ Xác định giao điểm N của (MEF) với BD
b/ Tìm tập hợp giao điểm I của EM và FN
2/ Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm P trên đường thẳng BD sao cho P không nằm trên đoạn BD. Trong (ABD) đường thẳng qua P cắt AB , AD lần lượt tại E, F. Trong (BCD) đường thẳng qua P cắt BC, CD lần lượt tại M, N
a/ Bốn điểm E, F, M, N có đồng phẳng không
b/ Gọi O là giao điểm BN và DM, I là giao điểm của BF và DE, J là giao điểm của EN và FM. Chứng minh A, O, J thẳng hàng và C, I, J thẳng hàng
c/ Giả sử EM và FN cắt nhau tại K. Chứng minh A, K, C thẳng hàng
3/ Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc (ABC). Gọi I là điểm trên cạnh SA và L là điểm nằm trên đường thẳng AC và nằm ngoài đoạn thẳng AC. Đường thẳng d đi qua L và cắt BA. BC lần lượt tại M, L. Tìm giao tuyến của (I, d) với các (SCA), (SAB), (SBC)
4/ Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
Tìm giao tuyến của (BPQ) và (DMN)