Đại số tổ hợp - Phạm Văn Luật

û ô đầu tiên). 
Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách. 
Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách. 
Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự).
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
20) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Kết quả: 9.9.9.9.9=59049.
21) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác 
nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Kết quả: 1.3. 25A =60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và 25A cách xếp 2,3,4,5,6 
vào 2 vị trí còn lại).
22) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số 
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Kết quả: a) 45A =120 b)60X155554 = 9333240
23) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số 
khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 
24) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 
0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625
25) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ 
số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Đại số tổ hợp - Trang 7 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
26) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết tổng ba chữ số 
này bằng 8. Kết quả: Có 2 tập có tổng 3 phần tư ûbằng 8. Vậy có 2.3!=12 số
27) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự 
nhiên :
a) Gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn Kết quả: 5.4.3.1+4.4.3.2=156
b) Gồm 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3000 Kết quả: 2.5.4.3=120
c) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4 
 Kết quả: 1 2 3 4 3 4a a a a 4 a a 4⇔M M . 
Có 72 số
d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Kết quả: 108
e) Gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 Kết quả: 216
28) Cho 5 quả cầu trắng bán kính khác nhau và 5 quả cầu xanh bán kính khác nhau. 
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu đó thành 1 dãy từ trái sang phải, sao cho 
không có 2 quả cầu cùng màu đứng cạnh nhau? Kết quả:28800
29) Hội đồng quản trị của 1 xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ 
hội đồng quản trị đó người ta muốn lập ra1 ban thường trực, trong đó ít nhất 1 người 
nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thương trực có 3 người? 
Kết quả: 161
30) Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng 
và 1 bó hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm 
bình. Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất : 
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung .
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung .
Kết quả: a)10800 b)15000
31) Lúc khai mạc 1 hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau. 
Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Kết quả: 10
32) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài 
sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau?
Kết quả: 24
33) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả 
thảy ? Kết quả: 63=216
Đại số tổ hợp - Trang 8 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
34) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. 
Muốn đi từ X đến Z phải qua Y .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng 
những con đường khác nhau?
Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
35) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi?
Kết quả: 35
36) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song 
song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo được?
Kết quả: 150C.C 26
2
5 =
37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng :
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy 
trong P thẳng hàng? 
Kết quả: 310C 120=
b) Cũng câu hỏi như câu a) nếu trong P có đúng 4 điểm thẳng hàng.
Kết quả: 3 310 4C C 116− =
38) Một nhóm gồm 10 học sinh ( 7 nam và 3 nữ ) . Có bao nhiêu cách xếp 10 học 
sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau 
Kết quả: 4!.7!=120960
39) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ 
ở địa điểm A; 2 người ở địa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn . Có bao nhiêu cách 
phân công? Kết quả: 3 29 6C .C .1 1260=
40) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) . Một đề thi gồm có 3 câu có 
cả lý thuyết và bài tập. Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có 2 t.h)
41) Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh 
. Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Kết quả: 340C =9880
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425
42) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư 
và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao 
nhiêu cách làm như vậy. Kết quả: 3 3 3 36 5 6 5C .C .3! C .A=
 =1200
Đại số tổ hợp - Trang 9 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
43) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số 
khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2?Kết quả:720−240=480 số.
44) Tìm n sao cho:
 a) .48. 12 =−nnn CA 
 b) 23
24
CA
A
4n
n
3
1n
4
n
=
−
−
+
. 
 c) n
6
n
5
n
4 C
1
C
1
C
1
=− .
 d) 210AP
P
4n
1n3
2n
=
−
−
+ . 
 e) 6
1
P
PP
1n
1nn
=
−
+
− .
Kết quả: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3
45) Giải các phương trình:
a) 8x.Px.P 322 =− .
b) Nx,A50A2 2x22x ∈=+
c) x
2
7CCC 3x
2
x
1
x =++ . 
Kết quả: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 4
46) Giải các phương trình:
a) 2 2x2 1x3 1x A3
2CC
−−−
=−
b) 1
4x
2
1x
1
x C6
7
C
1
C
1
++
=−
Kết quả: a) x=9, b) x = 3 V x = 8
47) Giải phương trình 2nn3n CA −+ =14n. Kết quả:n=5.
48) Giải phương trình 4n3n C2A − = 3 2nA Kết quả: n=6 V n=11
49) Giải hệ phương trình: 

=
=
12A
6C
y
x
y
x
Kết quả:x=4 và y=2
50) Tìm n biết: 8CA 1n2n <−
Kết quả: n = 2 V n = 3
Đại số tổ hợp - Trang 10 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
51) Giải hệ phương trình:
 

=
=
−
−−
1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
C3C5
Kết quả: x = 7 và y = 4
52) Tính hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển của: 
743 )1x()1x3()1x2()x(P +++−+= .
Kết quả:−65
53) Khai triển của 
n
x
1x 


− có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. Tìm số hạng 
thứ 5 của khai triển đó.
Kết quả:126x
54) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của:
10
x
1x2 


− .
Kết quả: −8064
55) Khai triển: (x+2)4 Kết quả: x4+8x3+24x2+32x+16
56) Tìm hệ số a5b3 trong khai triển (a + b)8. Kết quả:56.
57) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x3 – xy)15. 
Kết quả: T8= − 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8
58) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:
12
x
1x 



+ Kết quả:T9=495
59) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:
).3n(7CC : biếtx
x
1 n
3n
1n
4n
n
5
3
+=−


+ +
+
+ Kết quả: n = 12 và a9=495
60) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là 
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 . Tính hệ số a9. Kết quả:3003
61) Xét khai triển của: .)xyx( 153 + Tính hệ số của hạng tử chứa .yx 1221 Kết quả: 455
62) Tìm n biết trong khai triển ( x +
2
1
 ) n thành đa thức đối với biến x, hệ số của 
x6 bằng bốn lần hệ số của x4 Kết quả: n=10
63) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 12
1( )x
x
+ 
Kết quả: 495
Đại số tổ hợp - Trang 11 - Người soạn: Phạm Văn Luật 
64) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x2+ x3
1
)10 
Kết quả: k=4 ⇒C410 = 210
65) Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x−3y)200 
Kết quả: 99101
99
200
3.2.C
66) Chứng minh rằng:
 a) C0n2 +C2n2 +…..+C n2n2 = C1 n2 +C3n2 +…+C 1n2n2 − 
Hướng dẫn: Khai triển (a+b)2n với a = 1 , b = −1 
 b) C1n +2C2n +3C3n +…+nCnn = n2n−1.
Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)n rồi thay x=1.
67) Chứng minh rằng: nn2n2
3
n2
2
n2
1
n2
0
n2 4C...........CCCC =+++++
68) Chứng minh rằng:
1n
12C
1n
1...C
3
1C
2
1C)b
x)(1f(x) với (1)''f'(1)'f' Lấy :dẫn Hướng
2)nn(Cn...C3C2C1)a
1n
n
n
2
n
1
n
0
n
n
2n2n
n
23
n
22
n
21
n
2
+
−
=
+
++++
+=+
+=++++
+
−
69) Tính S= 0 1 66 6 6...C C C+ + + 
Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1.Kết quả: 64
70) Tính T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 55 5 5 5 5 52 2 2 2 2C C C C C C+ + + + + 
Hướng dẫn: xét với (1+x)5 với x=2 Kết quả: 243
71) Viết khai triển của biểu thức ( 3x –1 ) 16 . Từ đó chứng minh rằng 
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C− + − + = .
Hướng dẫn: Thay x=1
72) Tìm các số âm trong dãy số:
n2n
4
4n
n P4
143
P
A
x −=
+
+ . 
Kết quả:
4
63x1 −= , 8
23x 2 −=
73) Tìm k∈N để k14C , 1k14C + , 2k14C + lập thành một cấp số cộng.
 Kết quả: k=4 V k=8
74) Tìm số tự nhiên x sao cho: 8x
9
x
10
x A9AA =+ Kết quả: x=11