Đáp án - Thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 Môn thi: Toán Lớp 12

Sở giáo dục và đào tạo
 bắc giang
Đề chính thức
Đáp án-thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 12 THPT
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Đáp án-thang điểm có 4 trang
Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
Câu
Phương pháp giải – kết quả
điểm
Câu I
5 điểm
1. (2 điểm) TXĐ của hàm số là R\. 
Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x khi hệ phương trình ẩn x
 có nghiệm
 có nghiệm x ≠ 1
Trừ vế theo vế của (2) và (3) ta được (m -1)x = m(m - 1).
Nếu m = 1 phương trình có nghiệm x = 1(loại)
Nếu m ≠ 1 thì hệ (2) và (3) luôn có nghiệm x ≠ 1 (thỏa mãn).
Vậy m ≠ 1 thì d tiếp xúc với đồ thị hàm số (1)
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
2. (3 điểm) m = 2 hàm số (1) trở thành có đồ thị là (C).
 Gọi A(xA; yA) B(xB; yB) (C) và đối xứng nhau qua d.
 Vì AB d nên phương trình AB có dạng y = x + n
 xA, xB là nghiệm của phương trình
 , x ≠ 1.
Theo Vi-et ta có 
Gọi I là trung điểm AB xI = .
Do A, B đối xứng qua d nên I d 
Với n = 4 thì xA; xB là nghiệm phương trình x2 -3x = 0 
Vậy các điểm cần tìm là (0; 4) và (3; ).
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu II
4 điểm
1. (2 điểm) Điều kiện x 1.
Với điều kiện đó phương rình đã cho tương đương với 
Vì x 1 nên VT(1) ≤ và VP(1) > 2
 Nên (1) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
2. (2 điểm) Điều kiện sin2x 0 
 Nếu cot x > 0 phương trình đã cho trở thành
Nếu cot x < 0 phương trình đã cho trở thành
 cos x = -1 (l).
KL ...
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu III
5 điểm
1. (2 điểm) Vì B d B(a; 3) và C Ox C(b; 0). 
 ABC đều AB2 = BC2 = CA2
 (Điều kiện a, b 1)
 Đặt b -1 = t(a - 1) do b - 1 0 
 Hệ phương trình trở thành 
Chia vế thêo vế của hai phương trình của hệ ta được 
+) thay vào hệ được kết quả: vô nghiệm.
+) thay vào hệ ta thu được 
Vậy các điểm cần tìm là 
 hoặc 
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
2. (3 điểm) 
 a) (1 điểm) Tính được khoảng cách từ S đến BE bằng .
 b) (2 điểm) H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD) 
 Học sinh chứng minh được H là trực tâm tam giác SBD.
 Gọi các đường cao của tam SBD là SM, BN, DP
 Từ đó ta có α = 
 Ta có cos
 Tương tự ta chứng minh được: 
 Mặt khác ta chứng minh được 
 Suy ra 
 Ta dễ dàng chứng minh được =3
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1 đ
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu IV
4 điểm
1. (2 điểm) Ta có I = 
 +) I1 = 
 Đặt x = -t, ta tính được I1 = 0.
 +) I2 = = = 
Vậy I = I1 + I2 = . 
0,5
0,5
0,75
0,25
2. (2 điểm) Điều kiện 10 - 3x > 0 , n 3, n N.
 Số hạng thứ 6 trong khai triển Niutơn củanhị thức là:
 (1)
 Theo giả thiết (chỉ có n = 7 thỏa mãn). 
 Với n = 7 thì (1) trở thành 
 Giải phương trình trên ta được x = 2 hoặc x = 0
Kết luận: ...
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu V
2 điểm
Do x, y, z dương nên theo BĐT Cô - si, ta có
=
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
0,5
0,5
0,5
0,5