Đề cương ôn tập Toán 8 (Kết nối tri thức) - Học kì II

 
 PHÂN DẠNG TOÁN 8 
KẾT NỐI TRI THỨC KÌ 2 
 Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023 CHƯƠNG 6. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
 BÀI 21.PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phân thức đại số
 Định nghĩa :
 A
 Một phân thức đại số ( hay còn gọi là phân thức ) là một biểu thức có dạng , rong đó A,B là hai
 B
 đa thức và B là đa thức khác 0.
 A được gọi là tử thức ( hoặc tử) và B được gọi là mẫu thức ( hoặc mẫu) .
 Nhận xét :
 Mỗi đa thức cũng được gọi là môt phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt số 0 và số 1 cũng là
 những phân thức đại số.
 Ví dụ 1: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có cùng mẫu thức?
 −11x 4x3 4x − 10 4x − 10 6x − 12 42− x
 a, và ; b, và c, và 
 3y2 6y2 x2 +1 x2 −1 48x − 4(x − 2)
 Hưỡng dẫn giải 
 42−−xx 42 6x − 12 42− x
 c, = nên hai phân thức và có cùng mẫu thức.
 4(xx−− 2) 4 8 48x − 4(x − 2)
2. Hai phân thức bằng nhau
 A C
 Quy tắc : Hai phân thức và gọi là bằng nhau nếu AD= BC
 B D
 AC
 = nếu AD= BC
 BD
 Ví dụ 2: Khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao? 
 11x +
 =
 xx23−+11 x +
 Hưỡng dẫn giải 
 11x +
 = đúng vì 1.(x32+ 1) = ( x + 1)( xx −+ 1)
 xx23−+11 x +
3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức tại một giá trị đã cho của biến
 Giá của phân thức : Khi thay các biến trong một phân thức đại số bằng các số, ta được một biểu thức
 số ( nếu mẫu số nhận được là số khác 0). Giá trị của biểu thức đó gọi là giá trị của phân thức tại các
 giá trị đã cho của biến.
 Như vậy để tính giá trị của phân thức tại những giá trị cho trước của biến ta thay các giá trị cho trước
 của biến vào phân thức đó rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.
 1 A
 + Điều kiện xác định của phân thức : là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0. 
 B
 Chú ý : Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức . 
 x + 3
 Ví dụ 3: Viết điều kiện xác định của phân thức và tính giá trị của phân thức tại x = 5 
 x − 3
 Hưỡng dẫn giải 
 + ĐKXĐ : Ta có : x −≠30⇒≠x 3
 x + 3 53+ 8
 + Với x = 5( tmđkxđ) thì = = = 4
 x − 3 53− 2
 Ví dụ 4: Trong một cuộc đua xe đạp các vận động viên phải hoàn thành ba chặng đua bao gồm 10km 
 leo dốc; 8km xuống dốc và 36 km bằng phẳng .Vận tốc trung bình của một vận động viên trên chặng 
 đường bằng phẳng hơn vận tốc leo dốc là 5 km/h và kém vận tốc xuống dốc là 10 km/h. Nếu biết 
 vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là 30 km/h , hãy tính thời gian vận động 
 viên đó hoàn thành mỗi chặng đua và tính tổng thời gian để hoàn thành chặng đua. 
 Hưỡng dẫn giải 
 Vận tốc trung bình của một vận động viên trên chặng đường leo dốc là : 
 30−= 5 25(km / h )
 Vận tốc trung bình của một vận động viên trên chặng đường xuống dốc là : 
 30+= 10 40(km / h ) 
 Thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng bằng phẳng là : 
 36 :30= 1,2 ( giờ) 
 Thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng leo dốc là : 10 : 25= 0,4 (giờ) 
 Thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng xuống dốc là : 8:40= 0,2(giờ) 
 Tổng thời gian hoàn thành cuộc đua là : 1,2++= 0,4 0,2 1,8( giờ). 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Xác định phân thức, tìm giá trị của phân thức.
a, Phương pháp giải : 
 A
 + Một phân thức đại số ( hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là 
 B
 hai đa thức và B là đa thức khác 0. 
 A được gọi là tử thức ( hoặc tử) và B được gọi là mẫu thức ( hoặc mẫu) . 
b, Ví dụ : 
 52x −
Bài 1: Viết tử thức và mẫu thức của phân thức : 
 31x +
 2 Hưỡng dẫn giải 
 Tử thức 52x − ; mẫu thức 31x + 
 Bài 2: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau? 
 −22x −7x 32x − 32x − x + 2 x + 3
 a) và b) và c) và
 3y2 5y2 x2 +1 x +1 36x + 3(x + 2)
 xx++33x + 2 x + 3
Ta có : = nên và có cùng mẫu thức
 3(xx++ 2) 3 6 36x + 3(x + 2)
 2. Dạng 2. Hai phân thức bằng nhau :
 a,Phương pháp giải: 
 AC
 + Để chứng minh đẳng thức = ta cần chứng minh AD..= BC. 
 BD
 A C
 + Để kiểm tra phân thức có bằng phân thức không thì ta xét các tích AD. và BD. 
 B D
 AC
 Nếu AD..= BCthì kết luận = . 
 BD
 A C
 Nếu AD..≠ BC thì kết luận không bằng . 
 B D
 AC
 + Để tìm mẫu thức ( tử thức ) chưa biết trong phân thức bằng nhau = ⇔=AD.. BC
 BD
 b, Ví dụ 
 Bài 1: Vì sao các kết luận sau đúng ? 
 −63y x++33 xx2 5xx (4+− 1) 5 x
 a) = ; b) = ; c) =
 42yy− 2 44x 16xx2 −− 1 1 4
 Hưỡng dẫn giải 
 −63y
 a) = vì −−6.( 2y22 ) = 3 yy .4 = 12 y. 
 42yy− 2
 x++33 xx2
 b) = vì (x+ 3).4 xxxx = 4(22 +=+ 3 ) 4 12 x
 44x
 5xx (4+− 1) 5 x
 c) = vì 5xx (4+ 1)(1 − 4 x ) =− 5 x (16 x23 −=− 1) 90 x + 5 x 
 16xx2 −− 1 1 4
 3. Dạng 3. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa, bằng 0, khác 0.
 a) Phương pháp giải
 3 A
+ Điều kiện để phân thức có nghĩa là mẫu thức B ≠ 0 . 
 B
 A
Chú ý : Trước khi tìm điều kiện để có nghĩa ta cần phân tích mẫu thức B thành nhân tử . 
 B
 A A=0
+ Để phân thức = 0thì {B≠0
 B
 A A≠0
+ Để phân thức ≠ 0 thì {B≠0
 B
b) Ví dụ
 xx2 +−2
Bài 1: Viết điều kiên xác định của phân thức . Tính giá trị của phân thức trên lần lượt tại 
 x3 + 3
 x=0; xx = 1; = 2. 
 Hưỡng dẫn giải 
Ta có : x3 +≠30⇒x3 ≠−3 ⇒x ≠±3 3 
ĐKXĐ: x ≠±3 3 
 xx22+−2 0 +− 02 − 2
Với x = 0 ( tmđkxđ) ⇒==
 x33++3 03 3
 xx22+ −2 1 +− 12
Với x =1( tmđkxđ) ⇒==0 
 x33++3 13
 xx22+−2 2 +− 22 4
Với x = 2 ( tmđkxđ) ⇒==
 x33++3 2 3 11
 0 A
Bài 2: Cho A là một đa thức khác 0 tùy ý . Hãy giải thích tại sao = 0 và =1
 A A
 Hưỡng dẫn giải 
 0 00
 Ta có : = 0 hay = vì A.0= 0.1 = 0 
 A A 1
 A A 1
 Ta có : =1 hay = vì A.1= 1. AA = 
 A A 1
4. Dạng 4. Áp dụng bài toán phân thức vào thực tế
a) Phương pháp giải:
+ Dựa vào đề bài viết các phân thức thể hiện mối liên hệ.
+ Tìm điều kiện xác định của phân thức
+ Tính giá trị của phân thức .
 4 b) Ví dụ
Bài 1: Một ô tô chạy với vận tốc trung bình là x ( km/h) . 
a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô ( tính bằng giờ) chạy hết quãng đường 80 km.
b) Tính thời gian ô tô đi được 240 km trong trường hợp vận tốc trung bình của ô tô là 60 km/h.
 Hưỡng dẫn giải 
 80
a) Biểu thức biểu thị thời gian ô tô chạy hết quãng đường 80 km là : (h) 
 x
 240
b) Thời gian ô tô đi được 240 km khi vận tốc của o tô là 60 km là : = 4(h )
 60
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 21.1 ( Dạng 1) : Tính giá trị của phân thức : 
 xx2 ++21 xy+ 3 y2
a) tại xx=−=3; 1; b, tại xy=3, = − 1 
 x + 2 xy+
Bài 21.2 ( Dạng 1) : Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức : 
 31x + xx+
a) b) 9xx2 −+ 5 3; c) 
 21x + 32x +
Bài 21.3 ( Dạng 2) : Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao ? 
 xy2 xy xy+ y xy+ x
a) và ; b) và 
 xy− y x −1 x y
Bài 21.4 ( Dạng 3) : Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau : 
 1 xy3
a) ; b)
 28a + xy− 2
Bài 21.5 ( Dạng 4 ) : Giá thành trung bình của một chiếc áo khoác được xí nghiệp sản xuất cho bởi 
 0,0002xx2 ++ 120 1000
biểu thức Mx()= , trong đó x là số áo được sản xuất và M tính bằng nghìn 
 x
đồng. Tính giá trị của M khi xx=100, = 1000 . 
Bài 21.6 : Tìm đa thức A trong các đẳng thức sau : 
 21xA+ xx2 + 2 A
a) = ; b, = . 
 xx−−112 x32+8 xx −+ 24
 5 BÀI 22. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tính chất cơ bản của phân thức
Tính chất : 
-Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng
phân thức đã cho.
 A AM.
 = ( M là một đa thức khác 0) 
 B BM.
-Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó
ta được một phân thức bằng phân thức đã cho .
 A AN:
 = ( N là một nhân tử chung) 
 B BN:
Ví dụ 1: Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 
 40xy2 ( x− y ) 2 y
 =
 60()3()xyxy−−2 xy
 Hưỡng dẫn giải 
 40xyxy22 (− ) 40 xyxy ( −− ) : 20 xyxy ( ) 2 y
Ta có : = =
 60()60():20()3()xyxy−22 xyxy − xyxy −− xy
 40xy2 ( x− y ) 2 y
Do đó = là đúng . 
 60()3()xyxy−−2 xy
 −xx
Ví dụ 2: Giải thích vì sao : =
 11−−xx
 Hưỡng dẫn giải 
 −xx −xx −−.( 1) x
Ta có : = vì = =
 11−−xx 1−xx (1 −− ).( 1) x − 1
Chú ý : 
Ta có quy tắc đổi dấu : Nếu đổi cả tử và mẫu của phân thức thì ta được một phân thức bằng phân thức 
đã cho . 
 6 AA−
 =
 BB−
 2. Vận dụng
 a) Rút gọn phân thức
 Quy tắc : Muốn rút gọn phân thức đã cho ta làm như sau: 
 - Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử ( nếu cần) để tìm nhân tử chung ;
 - Chia cả tử cả mẫu cho nhân tử chung đó.
Ví dụ 3: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống sau: “liệu có phân thức nào đơn giản hơn phân thức 
 xy+
 không nhỉ?”
xy33+
 Hướng dẫn giải 
 xy++ xy ()()xy++: xy 1
Ta có: = = = 
 xy33+ ()xyx+()22 −+ xyy() xyx +() 22 −+ xyy: () xy + x22−+ xy y
 xy+ 1
Nên phân thức đơn giản hơn là
 xy33+ x22−+ xy y
Ví dụ 4: Thử thách nhỏ: 
 ax2 − ax 4x
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau: và 
 x2 −1 x +1
 Hướng dẫn giải 
ĐKXĐ: x ≠±1 
 ax2 − ax ax() x −1 ax()() x−−1: x 1 ax
Ta có: = = =
 x2 −1 ()()xx−+11()()()xx−+1 1: x − 1 x +1
 ax2 − ax4 x ax4 x
Do đó = hay = khi x = 4 
 xx2 −+11xx++11
b, Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức 
Quy tắc: 
Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau: 
- Phân tích các mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia mẫu thức chung cho mẫu thức đó.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng
 1 1
Ví dụ 5: Quy đồng mẫu thức hai phân thức và 
 22x2 − x2 −1
 Hướng dẫn giải 
Ta có: 2x2 −= 22()() xx − 1 + 1; x2 −=1()() xx − 11 + 
 7 Ta có mẫu thức chung 21()()xx−+ 1 
 1
 −+ −+=
Nhân tử phụ của phân thức 2 là: 21()()()()xx 1:2111 xx
 22x −
 1
 −+ −+=
Nhân tử phụ của 2 là: 211:112()()()()xx xx
 x −1
Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ ta có: 
 1 1.1 1
 = =
22211211x2 −()() xx −+()() xx −+
 1 1.2 2
 = =
x2 −1211211()() xx −+()() xx −+
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1.Dạng 1: Xác định hai phân thức bằng nhau, điền vào chỗ trống
a, Phương pháp giải
 - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng
đa thức đã cho. 
 A AM.
 = ( M là một đa thức khác đa thức 0) 
 B BM.
 -Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó
 ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:
 AN: A
 = ( N là một nhân tử chung, N ≠ 0 ) 
 BN: B
b, Ví dụ 
Bài 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng? 
 32
 ()xx−−33() 11−−xx
a, = b, =
 xx2 − 3 x −+5xx 15 − 1
 Hướng dẫn giải 
 32 3 2
 ()x−3() x − 3()() xx −− 3: 3() x − 3
a, = = =
 x2 −3 x xx() − 3 xx()() −− 3: x 3 x
 11−−xx−−()1 x
b, = =
 −+51x −−+() 51 xx 51 −
 yx− ?
Bài 2: Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu “?”: =
 55−−xx
 8 Hướng dẫn giải 
 yx−− xy
Ta có: = nên thay dấu “?” bằng biểu thức xy−
 55−−xx
2. Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị phân thức
a, Phương pháp giải
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần) để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
b)Ví dụ
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
 2 2
 5x + 10 45xx() 3− ()x −1
 a) b) 2 c) 
 30x2 + 60 15xx()− 3 ()xx++11()3
 Hướng dẫn giải 
 5xx++ 10 52()xx++ 52:5() 2
 a) = = =
 30x2 + 60 302302:562()xx22++() () x 2 +
 45xx() 3− −− 45() x 3 −−45xx()() 3 : 15 xx − 3 −3
 b) 23= = 3 = 2
 15xx()− 3 15 xx() − 3 15 xx()() − 3 : 15 xx −− 3() x 3
 2
 2 2 −+ 22 2
 ()x −1 ()()xx11 ()()xx−+11() x − 1
 c) = = 2 =
 ()xx+1()32 + 1()() xxxx + 11 +() −+ 1()x+11() xx2 −+ ()xx2 −+1
 22x +
Bài 2: Cho phân thức P = . 
 x2 −1
 a) Rút gọn phân thức đã cho, gọi Q là phân thức tìm được
 b) Tính P và Q tại x =10 , so sánh hai kết quả đó.
 Hướng dẫn giải 
 ĐKXĐ: x ≠±1 
 22x + 21()x + 2 2
 a) P = = = . Do đó Q =
 x2 −1()() xx −+ 11 x − 1 x −1
 2.10+ 2 22 2
 b) Với x =10 ta có: P = = =
 102 − 1 99 9
 22
 Với x =10 ta có: Q = =
 10− 1 9
 Vậy tại x =10 thì giá trị của P và Q là bằng nhau. 
 9 6x ax() x −1
Bài 3. Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau: và 
 x +1 ()()11−+xx
 Hướng dẫn giải 
 ax() x−1 −− ax() x 11 −− ax() x −ax
Ta có: = = =
 ()()1111111−+−−+−+xx()() xx()() x x x +
 −ax6 x
Do đó = ⇒=−a 6
 xx++11
3. Dạng 3: Quy đồng mẫu thức các phân thức
a, phương pháp giải:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia mẫu thức chung cho mẫu thức đó.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
b)Ví dụ
Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
 1 3 x 1
 a) và b) và 
 x3 −8 42− x x2 −1 xx2 ++21
 Hướng dẫn giải 
 a) Ta có: x32−=8() x − 2() xx − 24 + ; 42−=−−xx 2() 2
 Mẫu thức chung: 2()x− 2() xx2 −+ 24nên ta có:
 11 2
 = = ; 
 x3 −8 ()x−2() xx22 −+ 242() x − 2() xx −+ 24
 2
 33− −3()xx −+ 24 −3xx2 +− 6 12
 = = =
 42−−xx 2() 2 2()x− 2() xx2 −+ 242()x− 2() xx2 −+ 24
 2
 b) Ta có: x2 −=1()() xx − 11 + ; xx2 +21 +=() x + 1
 2
 Mẫu thức chung: ()()xx−+11nên ta có: 
 xx xx()+1
 = = 2
 x2 −1()() xx −+ 11()()xx−+11
 1111()x − x −1
 =222 = =
 xx2 ++21()x+1()() xx −+ 11()() xx −+ 11
Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 
 1 x +1 3 1 3x x22−+ xy y
 a) ; và b) ; và 
 x + 2 xx2 ++44 2 − x 33xy+ xy22− x22−+2 xy y
 10 Hướng dẫn giải 
 2
 a) Ta có: xx2 +44 +=() x + 2; 22−=−−xx()
 2
 Mẫu thức chung: ()()xx−+22nên ta có: 
 1 ()()xx+−22()() xx +− 22
 = = 2 ; 
 x+2()()() xxx −++ 222()()xx−+22
 2
 xx++11()()xx+−12 33− −+32()x
 =22 = ; = = 2
 xx2 ++44()x+2()() xx −+ 2222−−xx ()()xx−+22
 2
 b) Ta có: 33x+= y 3() xy +; x22−=+ y()() xyxy −; x22−2 xy +=− y() x y
 2
 Mẫu thức chung: 3()()xyxy+−nên ta có: 
 22
 11 1()xy−−() xy
 = = 22= ; 
 33x++ y 3() xy 33()()xyxy+−()() xyxy +−
 33
 33xx 3x .3() xy− 3()xy+
 = = = 2
 x22− y()() xyxy −+()()() xyxy +−3 xy −3()()xyxy+−
 2 2 33
 x2222−+ xy y x −+ xy y ()x−+ xy y.3() x + y3() x + y
 = 22= = 2. 
 x22−+2 xy y ()xy−()() xy −.3 xy +3()() xyxy +−
 9xx2 −+ 31 xx2 − 4
Bài 2: Cho hai phân thức và 
 27x3 + 1 16 − x2
 a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
 b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a
 Hướng dẫn giải 
 9xx22−+ 31 9 xx −+ 31 1
 a) = = . 
 27xx3 ++ 1 ()31931x+() xx2 −+ 3 1
 2
 xx2 −−4 −−()xx4 −−xx()4 x
 = = =
 16 −x22 x −16()() xx −+ 4 4 x + 4
 b) Mẫu thức chung: ()()31xx++ 4nên ta có:
 14x + −x −+xx()31
 = ; =
 31x+()() 31 xx ++ 4x+4()() 31 xx ++ 4
III, BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 22.1 ( Dạng 1): Các phân thức sau có bằng nhau không? 
 11 xy32 x 1− x 1
 a) và b) và 
 xy23 y ()()xx−−13 x − 3
Bài 22.2 ( Dạng 2): Rút gọn các phân thức sau: 
 4
 3x2 yz 44xx2 − ab22− a b −−12()x 1
 a) b) c) d) 
 2xy3 z x −1 3aa2 + 18()x2 − 1
Bài 22.3 ( Dạng 3): Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 
 25 14 2x x − 2 5 3
 a) 2 ; 5 b) 2 ; 2 c) 2 ; 
 14xy 21xy ()x + 2 22xx()+ 3xx− 12 ()()24xx++ 3
 12 LUYỆN TẬP CHUNG 
I.BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
 3 7 5 1
 a) và b) và 
 4xy2 6xy2 4x2 − 36 xx2 ++69
 Hướng dẫn giải 
 39x 7 14y
 a) Mẫu thức chung: 12xy22ta có: = ; =
 4xy2 12 x 22 y 6xy2 12 xy 22
 2
 b) Mẫu thức chung: 43()()xx−+ 3ta có: 
 55 53()x + 1143()x −
 = = 2 ; =22 =
 4x2 − 36 4()() xx −+ 3 3 43()()xx−+ 3xx2 ++69()x+343()() xx −+ 3
 28xx2 −
Bài 2: Cho phân thức P = 2
 ()x + 2
 a) Viết điều kiện xác định của phân thức và tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn điều kiện này.
 b) Rút gọn phân thức P
 c) Tính giá trị của phân thức đã cho tại x = 98
 Hướng dẫn giải 
 a) ĐKXĐ: x ≠−2
 28xx3 − 22222xx()()−+ x xx() −
 b) P =22 = = . 
 ()xx++22() x + 2
 2xx()−− 2 2.98() 98 2 4704
 c) Với x = 98 ⇒=P = =
 ()x ++2 98 2 25
Bài 3: Lúc 7 giờ sáng, bác Khánh lái ô tô xuất phát từ Cẩm Thủy ( Thanh Hóa) đi Thành phố Vinh. Khi 
đến Thành phố Thanh Hóa, cách Cẩm Thủy ( Thanh Hóa) khoảng 60km, bác Khánh dừng lại ăn sáng 
trong 20 phút. Sau đó, bác Khánh tiếp tục đi về Thành phố Vinh và phải tăng vận tốc thêm 10 km/h để 
đến nơi đúng dự định. 
 a) Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô đi trên quãng đường Cẩm Thủy (Thanh Hóa) – Thành phố Thanh Hóa.
 Hãy viết các phân thức biểu thị thời gian bác Khánh chạy xe trên các quãng đường Cẩm Thủy (
 Thanh Hóa) – Thành phố Thanh Hóa và Thành phố Thanh Hóa đến Thành phố Vinh, biết rằng quãng
 đường từ Cẩm Thủy ( Thanh Hóa) – Thành phố Vinh có chiều dài khoảng 200km
 13 b) Nếu vận tốc ô tô đi trên quãng đường Cẩm Thủy(Thanh Hóa) – Thành phố Thanh Hóa là 60
km/h thì bác Khánh đến Thành phố Vinh lúc mấy giờ?
 Lời giải 
 60
a) Thời gian đi từ Caamt Thủy (Thanh Hóa) đến thành phố Thanh Hóa: ()h . 
 x
 140
Thời gian đi từ thành phố Thanh Hóa đến Thành phồ Vinh là: ()h
 x +10
b) Thời gian bác Khánh đi từ Cẩm Thủy (Thanh Hóa) đến thành phố Vinh là:
 60 140
 +=3(h )
 60 60+ 10
Thời điểm bác đến Thành phố Vinh là: 7()hh++ 3() 20(phút) 10h 20' 
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 xx2 + 5 xx2 +10
Bài 1: Cho hai phân thức: và 
 ()x−10( xx2 ++ 10 25) xx42−100
a) Rút gọn hai phân thức đã cho. Kí hiệu P và Q là hai phân thức nhận được.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức P và Q.
Bài 2: Để loại bỏ x (tính theo %) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, ước
 1, 7 x
tính cần chi phí là (tỷ đồng). 
 100 − x
a) Nếu muốn loại bỏ 80% chất gây ô nhiễm từ khí thải nhà máy thì cần chi phí là bao nhiêu?
 1, 7 x
b) Viết điều kiện xác định của phân thức . Hỏi có thể loại bỏ được 100% chất gây ô 
 100 − x
nhiễm từ khí thải nhà máy hay không? 
 BÀI 23. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu
Quy tắc:
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức lại với nhau và giữ nguyên
 A B AB+
mẫu thức: +=
 MM M
Chú ý: kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường 
viết dưới dạng rút gọn. 
Ví dụ: Tính các tổng sau: 
 5xx+− 13 1 2xx−+ 21
a) + b) + 
 xy xy xx22++11
 14 Lời giải 
 513151318x+ x − xx ++ − x 8
a) += ==
 xy xy xy xy y
 2x−+ 212(21)1 x xx +−+
 b) += =. 
 xx22++11 x 2 + 1 x 2 + 1
 2. Cộng hai phân thức khác mẫu:
Quy tắc: Muố cộng hai phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có
cùng mẫu thức vừa tìm được.
 52
Ví dụ 2: Tính tổng: +
 2x2 (6 xy++ ) 5 xyxy (6 )
 Lời giải 
 5 2 25y4 x 25 yx+ 4
Ta có: += + =
 2x2 (6 xy+++++ ) 5 xyxy (6 ) 10 xyxy22 (6 ) 10 xyxy (6 ) 10 xyxy 2 (6 )
3. Trừ hai phân thức:
Quy tắc:
- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
- Muồn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức
có cùng mẫu thức vừa tìm được.
 −C C C
Chú ý: gọi là phân thức đối của phân thức và kí hiệu là − ; tổng của một phân thức
 D D D
và phân thức đối của nó bằng 0. 
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính sau: 
 53−+xx 15 11
a) − b) −
 xx−−11 46x22 y xy
 Lời giải 
 53−x 15 + x 53 − x −+ (15) xx − 8 + 4
a) −= =
 xx−−11 x − 1 x − 1
 1 1 1− 1 3y −− 2 x 32 yx
b) −=+= + =
 4xy2 6 xy 2 4 xy 2 6 xy 2 12 xy 22 12 xy 22 12 xy 22
chú ý: Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân 
 AC A− C
thức: −=+ . 
 BDB D
4. Cộng trừ nhiều phân thức đại số:
Quy tắc: 
 15 Cũng như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp. Vì 
vậy, khi làm tính với một biểu thức chỉ gồm các phép cộng phân thức ta có thể đổi chổ, 
nhóm(kết hợp) các số hạng một cách tùy ý. 
 111111 1 1
Chú ý: Ta có thể viết +−=−+=+=0
 xyxxxy yy
 22222
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức p =++−−.
 xyzxy
 Lời giải 
 2222222222 22
p =++−−=−+−+=++=00
 xyzxyxxyyz zz
Quy tắc rút gọn biểu thức có dấu ngoặc: 
- Nếu trước ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.
- Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-“ thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.
 2xx 22 2
Ví dụ 5: Em hãy tính nhanh: P =−+−
 x+2 xx ++ 22 x + 2
 Lời giải 
 2x 22222 x xx 22
P =−−+=−+−=0
 xxxxxxxx++++++++22222222
Ví dụ 6: Chú Mai lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 40 km, 
xe chạy trong thành phố với vận tốc x (km/h). Trên 80km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 
55 km/h. Ra khỏi cao tốc, xe chạy phải thêm 15 phút thì về đến quê. 
a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên cao
tốc.
b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Mai từ Hà Nội về quê.
 Lời giải 
 40
a) Thời gian xe chạy trong thành phố ()h
 x
 80
Thời gian xe chạy trên đường cao tốc ()h
 x + 55
 40 80 1
b) Phân thức biểu thị tổng thời gian chú Mai từ Hà nội về quê: ++()h
 xx+ 55 4
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Cộng trừ hai phân thức
a) phương pháp giải:
 16 + muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:
 A B AB+
 +=
MM M
+ Muốn cộng hai phân thức không cùng mẫu thức, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức
có cùng mẫu thức vừa tìm được.
+ Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
+ Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có
cùng mẫu thức vừa tìm được.
b) Ví dụ
Bài 1: Thực hiện phép tính:
 xx22−3151 + x −− x yx y 9
a) + b) + c) +
 44xx22 xy−+ xy 2x−− 623 xx()
 Lời giải 
 xx2−3151 + x −− xxx22 − 3151 ++ x −− x2 2 x 1
a) += ==
 4x22 4 x 4 x 2 42 xx 2
 y x yx()+− y xx() y x2 − xy
b) += + =
 xy− xy +()() xyxy −+()() xyxy −+()() xyxy −+
 y9 x−9 x22−9 xx −+ 93
c) +=+=+==
 262323232323232x−−−−−−− x() x() x xx() xx() xx() xx() x
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
 53−xx −+ 25 xy 3 23+ x
a) − b) − c) −
 2121xx++ xyxy−+ xx++113
 Lời giải 
 53−x −+ 25 x 53 − x 25 − xx − 8 + 7
a) − =+=
 2121x+ x + 2121 xx ++ 21 x +
 x y xx()+− y yx() y xy22+
b) −= − =
 xyxy− +()() xyxy −+()() xyxy −+()() xyxy −+
 2
 3 23+x31()xx−+ 23+xx−+3 1
c) −= − =
 xx++113 ()x+111111() xx22 −+() x +() xx −+() x +() xx 2 −+
Dạng 2: Cộng trừ nhiều phân thức 
a) Phương pháp giải:
+ Cũng như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp.
Vì vậy, khi làm phép tính với một biểu thức chỉ gồm các phép cộng phân thức ta có thể đổi chổ,
nhóm (kết hợp) các số hạng một cách tùy ý.
 17 + Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.
+ Nếu trước dấu ngoặc có dấu “-“ thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.
b) Ví dụ
Bài 1: Thực hiện các phép tính
 5 2 75 2 7
a) + + −− −
 xx21++ x 2 xx 21 ++ x 2
 2x−− 1 1 x 3 12 −xx − 1 3
b) ++++−
 5xx 31+ x2 − 9 5 xxx 31 ++ 3
 Lời giải 
 52 752 75522 7 7
a) + + −− − =−+ − + − =0 
 xx21++ x 2 xx 21 ++ x 2 xxx 2121 + x ++ x 2 x + 2
 2x−− 1 1 x 3 12 −xx − 1 3
b) ++++−
 5xx 31+ x2 − 9 5 xxx 31 ++ 3
 21211xx− −− xx 1 − 3 3
=−+−+ −
 5x 5 xx 3131+ x +()() xx −+ 3 3 x + 3
 3 33()x − 3− 3xx + 9 −+ 3 12
=−==
 ()()xx−+33()() xx −+ 33()() xx −+ 33()() xx −+ 33
Bài 2: Thực hiện các phép tính 
 xx2 ++4 4 x 43 − x
a) ++
 x2 −4 2 −− xx 5 10
 xx32−   3 1 x− 2 
 −++− +
b) 22  
 x+1 xx + 64 +  x + 6 x ++ 14 x 
 Lời giải 
 2
 xx2 ++4 4 x 43 − x ()x + 2 x43− x
a) ++ = −+
 x2 −4 2 − xx 5 − 10()() x +− 2 x 2 x − 2 5() x − 2
 xx+−2 43 x52()x + 5 x 43− x14− 3x
=−+ = − + =
 xx−−2 252525252() x −() x −() x −() x −52()x −
 xx32−   3 1 x− 2 
 −++− +
b) 22  
 x+1 xx + 64 +  x + 6 x ++ 14 x 
 xx32−− 3 1 x 2
= −−+− −
 x22++1646 xxxx + + ++ 14 x
 x 1  33 xx−− 22  x − 1
= −  +−+−=  
 x22+1 x + 1  xx ++ 66  xx ++ 44  x2 + 1
Bài 3: Thực hiện các phép tính 
 18 xy− yz −− zx
 ++ xy
 a) b) 2 +
 xy yz zx ()xy− yx22−
 Lời giải 
 x− y y −− z z x zx()−−− y xy() z yz() x xz− yz xy − xz yz − xy
 a) ++= + + = + + =0 
 xy yz zx xyz zyz xyz xyz xyz xyz
 xyx y xy()+− x yy() x
 b) 2+= 2 + =22 +
 ()xy− y22− x ()yx− ()()yxyx−+()()yxyx+−()() yxyx +−
 xy+−+ x2 xy y 2 x 22 + y
 = 22=
 ()()yxyx+−()() yxyx +−
 3. Dạng 3: Áp dụng cộng trừ nhiều phân thức vào thực tế
 a) Phương pháp giải:
 + Viết các phân thức thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 + Sử dụng các quy tắc cộng, trừ phân thức.
b)Ví dụ
Bài 1:
 Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 30km , sau đó ngược dòng quay lại để trở về điểm xuất phát và kết 
 thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20km / h và vận tốc của dòng 
 nước là x() km/ h . 
 a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời
 gian tàu chạy.
 b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng chảy nước là 2/km h .
 Hướng dẫn giải 
 30
 a) Thời gain xuôi dòng: ()h
 20 + x
 30
 Thời gian ngược dòng: ()h
 20 − x
 30 30
 Tổng thời gian tàu chạy: + ()h . 
 20+−xx 20
 b)Tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng chảy nước là 3/km h .
 30 30
 +=3, 06 ()h . 
 20+−xx 20
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 23. 1 (Dạng 1): Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
 19