Đề thi chọn học sinh năng khiếu Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Tam Nông (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
 TAM NÔNG NĂM HỌC 2023 - 2024
 Môn: Toán 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 (Đề thi gồm: 02 trang)
 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (16 câu - 8,0 điểm) 
 (Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Phân tích đa thức x2 4x 5 2025(x 5) thành nhân tử được kết quả là
 A. (x 5)(x 2024). B. (x 5)(x 2024). C. (x 5)(x 2025). D. (x 5)(x 2026).
Câu 2: Đa thức f (x) 8x2 (a 1)x b 2 chia hết cho x 1. Giá trị a b là
 A. 9. B. 9. C. 10. D. 11.
Câu 3: Cho x2 y2 1 xy x y . Giá trị (x 2)2023 (2 y)2025 là
 A. 2. B. 4. C. 2. D. 0.
Câu 4: Cho x, y thỏa mãn x3 y3 2 và x2 y2 x y . Giá trị x y là
 A. 2. B. 2. C. 1. D. 1.
 x2 x x 1 1 2 x2 ax2 bx c
Câu 5: Rút gọn P 2 : 2 , (x 1, x 0) được kết quả là P .
 x 2x 1 x x 1 x x x 1
 Khi đó giá trị a2 b2 c2 là
 1
 A. 3. B. 2. C.1. D. .
 4
 2
 1 
Câu 6: Cho phương trình 3x 4 . Tổng các nghiệm của phương trình là
 2 
 5 1 1 1
 A. . B. . C. . D. .
 6 6 3 3
Câu 7: Số giá trị m để đồ thị hàm số y (m2 1)x 4 m song song với đường thẳng y 5x 2 là
 A. 2. B. 1. C. 2. D. 2.
Câu 8: Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc ba lần liên tiếp, xác suất để số chấm ba lần gieo đều là các số 
 chẵn là
 1 1 1 3
 A. . B. . C. . D. .
 2 8 16 216
Câu 9: Hình thang cân ABCD (AB / / CD) , DA AB BC, D· AB 120o . Số đo D· BC là
 A. 90o. B. 60o. C. 70o. D. 45o.
Câu 10: Cho tứ giác ABCD có D· AB 110o , B· CD 70o , Bx là tia đối của tia BA . Tia phân giác của 
 ·ADC và phân giác góc C· Bx cắt nhau tại I ( tia DI nằm giữa hai tia DB và DC). Số đo D· IB là
 A. 110o. B. 100o. C. 90o. D. 70o.
Câu 11: Cho tam giác ABC , M là một điểm trên cạnh BC , kẻ ME / / AC và MD / / AB
 (E AB, D AC) . Khi đó: 
 ME MD ME MD ME MD 3 ME MD 4
 A. 1,2. B. 1. C. . D. .
 AC AB AC AB AC AB 2 AC AB 3
Câu 12: Cho hình thang ABCD (AB / /CD). P, Q lần lượt là trung điểm của DB và AC, khi đó: 
 AB CD 2AB CD AB CD 3 AB CD
 A. PQ . B. PQ . C. PQ . D. PQ . 
 2 2 2 4
 3
Câu 13: Một hình thoi có cạnh 10cm , tỉ số hai đường chéo là . Diện tích hình thoi là
 4
 A. 96 cm2. B. 54 cm2. C. 48 cm2. D. 24 cm2.
 Toán 8 - Trang 1/2 Câu 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên đường 
 thẳng BM , khi đó 
 4 5 3
 A. BM.BD AC 2. B. BM.BD AC 2. C. BM.BD AC 2. D. BM.BD AC 2.
 3 4 2
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy 2 cm. Tam giác SBD đều (Như hình vẽ),
 thể tích hình chóp S.ABCD là 
 S
 A B
 D C
 2 6 4 6
 A. 2 6 cm3. B. 4 6 cm3. C. cm3. D. cm3.
 3 3
Câu 16: Để lập một đội tuyển năng khiếu về bóng chuyền của một trường. Thầy thể dục đưa ra quy định: 
 Mỗi bạn dự tuyển phải phát bóng đủ 10 lần, lần phát bóng đạt yêu cầu được cộng 3 điểm; lần 
 phát bóng không đạt yêu cầu bị trừ 2 điểm. Bạn nào có số điểm từ 20 điểm trở lên sẽ được chọn 
 vào đội tuyển. Nếu muốn vào đội tuyển phải phát bóng ít nhất bao nhiêu lần đạt yêu cầu
 A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
 II. PHẦN TỰ LUẬN (4 Câu - 12,0 điểm) 
Câu 1 (3,5 điểm)
 a) Tìm các số nguyên x, y biết y 2 xy 2x 1 0.
 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n4 16n2 100 là một số nguyên tố.
Câu 2 (3,5 điểm)
 a) Giải phương trình 6x 4 7 x 3 5x 2 x 2 0.
 a2 b2 1
 b) Cho các số thực x, y 0; x y 0 thỏa mãn: và a b 1.
 x y x y
 8
 8 
 Chứng minh a b 2
 8 .
 x y x y 
Câu 3 (4,0 điểm)
 Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. P là một điểm di động trên đoạn thẳng 
 OB ( P khác O và B ). M là điểm đối xứng của C qua P , kẻ ME vuông góc với đường thẳng 
 AD tại E và kẻ MF vuông góc với đường thẳng AB tại F .
 a) Chứng minh: MA song song với BD và AB là tia phân giác của M· AC .
 b) Chứng minh E, F, P thẳng hàng.
 2
 EF 
 c) Chứng minh không đổi khi P di động trên đoạn thẳng OB.
 MF 
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 2
 xy yz xz 
 P 4(xy yz zx) .
 z x y 
 ----------HẾT---------
 Họ và tên thí sinh:...........................................................; Số báo danh............................
 Toán 8 - Trang 2/2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN KS NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN
 TAM NÔNG NĂM HỌC 2023 - 2024
 Môn: Toán 8
 (HDC gồm: trang)
A. Một số chú ý khi chấm bài.
- Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách; khi chấm thi giám khảo cần bám sát 
yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp lôgic.
- Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương 
ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và biểu điểm.
I. Trắc nghiệm(Mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
 Đ/án A B D A C D B B A D B C A D D C
 II. Tự luận. (12,0 điểm)
 Câu Hướng dẫn chấm Điểm
 Câu 1 (3,5 điểm)
 a) Tìm x; y nguyên biết: y 2 xy 2x 1 0.
 b) Tìm số tự nhiên n sao cho : n4 16n2 100 là một số nguyên tố.
 Câu 1 (3,5 điểm)
 a) Tìm x; y nguyên biết: y 2 xy 2x 1 0.
 y 2 xy 2x 1 0 y 2 x( y 2) 1 0
 y 2 4 x( y 2) 3 0 ( y 2)( y 2) x( y 2) 3 0 0,25
 ( y 2)( y 2 x) 3 0,25
 1a
 Vì x; y nguyên y 2; y 2 x là các số nguyên và 0,25
 (1,75đ)
 y 2; y 2 x U (3) 1;1; 3; 3 0,25
 Ta có bảng: 
 y 2 -1 1 -3 3
 y 2 x 3 -3 1 -1 0,5
 y -3 -1 -5 1
 x -8 0 -8 0
 Vậy (x; y) là ( 8; 3) , ( 8; 5) , (0; 1) , (0;1) . 0,25
 Toán 8 - Trang 3/2 b) Tìm số tự nhiên n sao cho : n4 16n2 100 là một số nguyên tố.
 Ta có : n4 16n2 100 n4 20n2 102 36n2 0,25
 2
 n2 10 (6n)2 (n2 6n 10)(n2 6n 10) 0,5
 1b Ta có: 0 n2 6n 10 n2 6n 10 (n N) 0,25
 (1,75đ)
 mà n4 16n2 100 là số nguyên tố nên n2 6n 10 1 n2 6n 9 0
 0,5
 (n 3)2 0 n 3 0 n 3
 Thử lại: n 3 thì n4 16n2 100 37 là số nguyên tố 0,25
 Vậy n 3
Câu 2 (3,5 điểm)
 a) Giải phương trình: 6x 4 7 x 3 5x 2 x 2 0.
 a2 b2 1
 b) Cho các số thực x, y 0; x y 0 thỏa mãn: và a b 1.
 x y x y
 2024
 2024 
 Chứng minh rằng: a b 1
 2024
 x y x y 
 a) Giải phương trình: 6x 4 7 x 3 5x 2 x 2 0.
 a) 6x 4 7 x 3 5x 2 x 2 0 6x 4 3x 3 10x 3 5x 2 10x 2 5x 4x 2 0
 3x 3 (2 x 1) 5x 2 (2 x 1) 5x(2 x 1) 2(2 x 1) 0
 (2 x 1)(3x 3 5x 2 5x 2) 0 0,5
 (2x 1)(3x 3 2x 2 3x 2 2x 3x 2) 0
 2a (2x 1)(x 2 (3x 2) x(3x 2) 3x 2) 0
 (1,75đ)
 (2x 1)(3x 2)(x2 x 1) 0(1) 0,5
 1 3
 x2 x 1 (x )2 0 x 0,25
 2 4
 Pt (1) (2x 1)(3x 2) 0 2x 1 0 hoặc 3x 2 0
 1 2
 x hoặc x . 0,5
 2 3
 a2 b2 1
 2b b) Cho các số thực x, y 0; x y 0 thỏa mãn: và a b 1.
 x y x y
 Toán 8 - Trang 4/2 8
 (1,75đ) 8 
 Chứng minh rằng: a b 2
 8
 x y x y 
 a2 b2 1 a2 b2 (a b)2
 0,25
 x y x y x y x y
 2 2 2 2
 a b 2 2 2 a y b x 2 2
 (x y) (a b) a b a b 2ab 0,25
 x y x y
 a2 y b2x
 2ab a2 y2 b2x2 2abxy 0 (ay bx)2 0 0,25
 x y
 a b a b 1
 ay bx 0 ay bx 0,5
 x y x y x y
 8 8 8
 a b 1 1
 8 0,25
 x y x y (x y)
 8
 8 
 a b 2 .
 8 0,25
 x y x y 
Câu 3 (4,0 điểm)
 Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. P là một điểm di động trên đoạn 
 thẳng OB ( P khác O và B ). M là điểm đối xứng của C qua P . Kẻ ME,MF lần lượt vuông 
 góc với các đường thẳng AD, AB.
 a) Chứng minh: MA song song với BD và AB là tia phân giác của M· AC .
 b) Chứng minh: E, F, P thẳng hàng.
 2
 EF 
 c) Chứng minh: Tỉ số không đổi khi P di động trên đoạn thẳng OB.
 MF 
 B C
 P
 O
 0,75
 M F
 3a
 (2,0đ) I
 E A D
 Ta có: PM PC ( M đối xứng với C qua P) 0,25
 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật OA OC 0,25
 Toán 8 - Trang 5/2 PO là đường trung bình của tam giác AMC 0,25
 PO/ /AM AM / /BD 0,25
 Vì AM / /BD M· AB ·ABD (So le trong) (1) 0,25
 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật OA OB OC OD 0,25
 OAB cân tại O O· AB O· BA(2) 0,25
 Từ (1) và (2): M· AB ·ABD O· AB AB là tia phân giác của M· AC 0,25
 Tứ giác MEAF có M· FA M· EA E· AF 900 MEAF là hình chữ nhật
 0,25
 Gọi I là giao của hai đường chéo MA, EF I là trung điểm của MA và EF
 I là trung điểm của MA, P là trung điểm của MC IP là đường trung bình của 
 0,25
 3b tam giác MAC IP / /AC (3)
 (1,0đ)
 MEAF là hình chữ nhật IM IE IA IF IFA cân tại I I·FA I·AF
 I·AF B· AO(cm.a) I·FA B· AO IF / /AC (4) 0,25
 Từ (3), (4): I,F, P thẳng hàng
 0,25
 E,I,F, P thẳng hàng E,F, P thẳng hàng
 2 2
 EF EF 2 EA2 AF 2 AF 
 2 2 1 0,25
 MF MF AE AE 
 ·AFE B· FP (đối đỉnh)
 0,25
 B· FP B· AC (2 góc đồng vị và FP/ /AC) E· FA B· FP B· AC
 Xét tam giác AFE và tam giác BAC có
 3c
 · · 0
 (1,0đ) EAF ABC 90
 0,25
 E· FA B· AC (cmt)
 AFE : BAC (g.g)
 2 2 2
 AF AE AF BA EF AF BA 
 1 1 (Không đổi khi P di động 
 BA BC AE BC MF AE BC 0,25
 trên OB)
Câu 4 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. 
 2
 xy yz xz 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 4(xy yz zx) 
 z x y 
 Toán 8 - Trang 6/2 2
 xy yz zx 2 2 2
 Ta chứng minh: 3(x y z ) (*)
 z x y 
 2 2 2
 xy yz zx xy yz xy zx yz zx 2 2 2
 2 . 2 . 2 . 3(x y z )
 z x y z x z y x y
 2 2 2
 xy yz zx 2 2 2
 x y z
 z x y 
 Áp dụng bất đẳng thức: m2 n2 p2 mn np pm
 2 2 2 0,25
 xy yz zx xy yz yz zx xy zx 2 2 2
 . . . y z x
 z x y z x x y z y
 Vậy: bất đẳng thức (*) đúng.
 4
 2
 xy yz xz 
(1,0đ) P 4(xy yz zx)
 z x y 
 2
 xy yz xz (x y z)2 x2 y2 z2 
 4 0,25
 z x y 2 
 2
 xy yz xz 2 2 2
 2 2(x y z )
 z x y 
 3(x2 y2 z2 ) 2 2(x2 y2 z2 ) x2 y2 z2 2
 1 7
 (x y z)2 2 
 3 3 0,25
 1
 Dấu “=” xảy ra khi x y z 
 3
 7 1
 GTNN của P là khi x y z 0,25
 3 3
 Lưu ý: Trên đây chỉ là giải sơ lược. Học sinh có nhiều cách giải khác nhau, nếu đúng giám khảo 
 cho điểm tương ứng của phần đó.
 Toán 8 - Trang 7/2