Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2010 – 2011 môn thi: toán

PHÒNG GD&ĐT PHONG THỔ
TRƯỜNG THCS NẬM XE
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN 
(Thời gian làm bài 150 phút)
 Đề số 1
Câu 1 ( 6 điểm)
Cho biểu thức: 
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tính giá trị của P với 
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 2 ( 3 điểm)
 Cho phương trình: 
a. Tìm để phương trình có 2 nghiệm , thỏa mãn điều kiện: 
b. Tìm để biểu thức có giá trị nho nhất.
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào .
Câu 3: ( 3 điểm)
 Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
Câu 4 ( 3 điểm)
 Cho tam giác cân ở ,nội tiếp đường tròn. Điểm di động trên đáy . Vẽ hình bình hành (thuộc , thuộc ). Gọi là điểm đối xứng với qua đường thẳng . Chứng minh rằng di động trên một cung tròn cố định.
Câu 5 (5 điểm)
 Cho đường tròn đường kính và một điểm di động trên đường tròn. Gọi là hình chiếu của trên , trên bán kính lấy điểm sao cho bằng . Tìm quỹ tích của điểm .
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 
Câu
Đáp án
Thang điểm
ĐKXĐ 
0.25
1
a. 
1
1
b. 
1
0.75
c. 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy khi và chỉ khi 
0.5
1
0.5
a. 
 Ta có: 
	x2 - x1 =17 (1)
	S = x2 + x1 = -(4m +1) (2)
	P = x1x2 = 2(m – 4) (3)
Từ (1) và (2) ta được :
	x2 = -2m + 8
	x2 = - 2m – 9
	Thế vào (3) : 4m2 – 64 = 0 Þ m = ± 4
0.5
0.5
0.5
0.5
2
b. 
Dấu “=” xảy ra 
(khi và chỉ khi )
1
3
a. Chia cả 2 vế cho rồi nhóm lại được 
Đặt 
Ta có: 
0.5
0.25
0.25
Với ta có: 
Với ta có: 
Vậy 
0.25
0.25
b. 
Đặt 
Ta được 
Thế vào ta được:
Thế vào ta được: 
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
4
	nt (O)
M di động BC
N đx M qua DE
gt
kl	N di động trên 1 cung tròn cố định
CHỨNG MINH
Xét hình vẽ trên với điểm M trên BC sao cho BM > .
Các điểm D và E nằm trên đường trung trực của MN nên :
 (1)
Mặt khác : (2) (Vì ADME là HBH theo gt)
0.5
0.25
Từ (1) và (2) ð (T/c bắc cầu) (3)
0.25
Xét hai tam giác : EAN và DNA có :
ðEAN=DNA (c.g.c)
0.25
 ð
0.25
Ta có DNC=B=C1(các góc đồng vị) ð DMC cân tại D
ðDM=DC
Từ (1) và (4) ð DC=DN
	ð DNC cân tại D
	ð DNC=DCN
0.5
Ta có:ANC + B =AND + DNC + C1
	=EAN + DCN + C1
	= EAN + BCN =
Vậy tứ giác ANCB nội tiếp đường tròn => N nằm trên đường tròn tâm O
0.5
Khi điểm M di động tới điểm C thì điểm N di động tới C;
Khi điểm M di động tới trung điểm BC thì điểm N di động tới A;
Khi điểm M di động tới điểm B thì điểm N di động tới B
0.25
Vậy điểm N di động trên cung BAC của đường tròn O
0.25
	Đường tròn (O); dây cung AB
GT	C di động, E thuộc (O)
	H thuộc AB; CHAB
	M thuộc OC; OM =CH
KL	Tìm quỹ tích của điểm M
Chứng minh
1. Phần thuận
Vẽ đường kính EFAB(E thuộc đường tròn có điểm C). Nối ME như hình vẽ
1
0.5
5
Xét ∆: ∆MOE và ∆HCO có: 
=>∆MOF = ∆HCO (c.g.c)
=>OMF=CHO=900
Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính OE
0.5
Tương tự, khi C di đông trên nửa đường tròn còn lại thì F thuộc nửa đường tròn có điểm C nối với MF
0.5
Ta cũng có:
Xét 2∆: ∆MOF và ∆HCO có: 
=> ∆MOF = ∆HCO (c.g.c) => OMF=CHO =900
0.5
2. Phần đảo
Lấy điểm M’ bất kì trên đường tròn đường kính OE hoặc OF (xét điểm M bất kì trên đường tròn đường kính OE).
Vẽ bán kính OC’ đi qua M’; Vẽ C’H’AB.
Ta phải chứng minh OM’=CH
0.5
Xét 2∆: ∆C’H’O và ∆OM’E có:
(tính chất cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông)
(đpcm)
1
Kết luận : Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn đường kính OE và đường tròn đường kính OF.
0,5
PHÒNG GD&ĐT PHONG THỔ
TRƯỜNG THCS NẬM XE
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN 
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề số 2:
Câu 1( 3 điểm ): Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện abcd=1
Chứng minh rằng :
Câu 2( 3 điểm ): 
a. Cho biểu thức 
Chứng minh rằng A >1,99
Câu 3( 6 điểm ): Cho phương trình: (1)
a. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
c. Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình. Viết một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm nguyên không phụ thuộc vào m.
d. Tìm giá trị xác định của biểu thức x12+x22.
Câu 4 ( 4 điểm ): Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng .
Chứng minh: 
Câu 5 ( 4 điểm ): Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định. Gọi N là một điểm chuyển động trên đường tròn, I là trung điểm của AN, M là hình chiếu của điểm I trên BN. Tìm tập hợp các điểm M.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Đáp án
Thang điểm
1
Ta có (1)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm (Dấu “=” xảy raa = b = c = d = 1
0.5
1
1
0.5
2
Với a > 0, b > 0 ta có
(dấu “=” xảy ra a = b)
Ta có :
Vậy A > 
0.25
1
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
3
a.(1) có 2 nghiệm trái dấu 
0.5
0.5
0.25
b. (1) có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
3S + 4P = -2 hay 3(x1 + x2) – 4x1x2 = -2
d. Phương trình có 2 nghiệm   (*)
Gọi k là một giá trị của thế thì phương trình 
= k (2) phải có nghiệm
(2) 
Nếu k=2 thì m = thỏa mãn (*)
Nếu k 2 thì (2) có nghiệm 
Nên k = khi và chỉ khi m = thỏa mãn (*)
4
	ABC ; AB = AC
GT	BE = h ; C
KL 	 
Chứng minh
Xét ta có: sin= sin C = 
Kẻ AHBC ta có: HB = HC = BC = 
Xét tam giác vuông AHC, ta có: 
AH = HC.tgC = HC.tg= 
Vậy đpcm
0.5
0.5
1
1
1
5
GT (O); dây AB cố định; N (O), N chuyển động.
 I AN; NI = AI; MIBN tại M
KL Tìm tập hợp điểm M
 Chứng minh
1. Phần thuận 
Gọi giao điểm của BO với đường tròn (O) là P
Vậy P là điểm cố định
MI cắt AP ở Q, ta có NP//MQ(cùng vuông góc với BN)
QI là đường trung bình của APN.Mà A và P là điểm cố định nên Q là điểm cố địnhĐoạn thẳng BQ cố định
Mặt khác không đổi
Vậy M thuộc đường tròn đường kính BQ.
2. Phần đảo
Lấy điểm M thuộc đường tròn đường kính BQ
Tia BM’ cắt đường tròn (O) ở N’. Gọi I’ là giao điểm của AN’ và M’Q. 
Ta phải chứng minh I’ là trung điểm của AN’ và M’ là hình chiếu của I’ trên BN’
Kẻ PN’, xét APN’ có Q là trung điểm của AP ( theo chứng minh phần thuận)
Mặt khác QM’ = BN’
PN’//QM’ hay PN’//QI’
QI’ là đường trung bình của APN’
I’ là trung điểm của AM’ và M’ là hình chiếu của I’ trên BN’(đpcm)
Kết luận: Quỹ tích các điểm M là đường tròn đường kính BQ
0.5
0.5
1
0.5
1
0.5