Đề thi HSG cấp Huyện Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Huyện Tự Nghĩa (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
 HUYỆN TƯ NGHĨA Năm học: 2023 - 2024
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 ( Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1. (4,0 điểm)
 1. Cho biểu thức A n3 2025n2 2024n . Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi số 
 nguyên n 
 2. Tìm số tự nhiên n để biểu thức A n 2 2n 12 là số chính phương
 3. Tìm các số nguyên dương a, b, c sao cho a2 = 2(b + c) và a3 + b3 +c3 = 3abc 
Bài 2. (5,0 điểm)
 2
 a 2a 4 3 a 2 a 4 2
1. Cho biểu thức: P : a 8 3 . 2 . a 4 
 a 2 a 8 a 2 a 4 
 a) Rút gọn P.
 b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.
2. Giải phương trình : (x2 - 1)(x2 +4x + 3) = 192
3. a. Một thùng mì mua gốc giá 80000 đồng, giá bán 88000 đồng. Hỏi tiền lãi một thùng là bao 
nhiêu phần trăm so với giá gốc? 
 b. Khi mua 50 thùng thì được đại lý giảm giá 1% trên tổng số tiền trả. Hỏi người bán vẫn muốn 
lời 8000 đồng/ thùng thì phải bán với giá bao nhiêu một thùng?
Bài 3 (4 điểm):
 3 2
1. Cho đa thức: H (x) x + ax bx c với a, b,c là các số thực. Biết đa thức H(x) chia cho đa 
thức x + 1 dư – 4 và chia cho đa thức x – 2 dư 5. Tính giá trị của biểu thức:
 2025 2025 2025 2025 2025 2025
 A (a b )(b c )(c a ) .
2. Bốn bạn An , Bình , Nam và Hoa ngồi một cách ngẫu nhiên vào một cái bàn vuông , mỗi người 
ngồi một phía. Tính xác xuất để An và Nam ngồi đối diện nhau .
Bài 4. (5,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lượt các 
điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Gọi M là giao điểm của CE và DF. 
 a) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông
 1 1 1
 b) Chứng minh : 
 CD2 GD2 CM2
 c) Xác định vị trí của điểm E trên cạnh AB để diện tích hình vuông EFGH đạt giá trị nhỏ 
 nhất.
Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Từ điểm M thuộc cạnh AC, kẻ các đường thẳng song song 
với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình 
bình hành BEMF có diện tích lớn nhất.
 ........... HẾT...............
 ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SBD .........) HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1. (4,0 điểm)
 1. Cho biểu thức A n3 2025n2 2024n . Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi số 
 nguyên n 
 2. Tìm số tự nhiên n để biểu thức A n 2 2n 12 là số chính phương
 3. Tìm các số nguyên dương a, b, c sao cho a2 = 2(b + c) và a3 + b3 + c3 = 3abc 
 Câu Tóm tắt cách giải Điểm
 1 Cho biểu thức A n3 2025n2 2024n . Chứng minh rằng A chia hết 
 (1,5 cho 6 với mọi số nguyên n 
 điểm) A n3 2025n2 2024n 0,5
 n3 n 2025 n2 n 
 0,5
 Ta có: n3 n n n 1 n 1 là tích của 3 số nguyên liên tiếp
 n n 1 n 1 2
 3 20253 2 0,5
 n n 1 n 1 3 n n 6 và 2025(n n)6 A6 
 n(n 1)2
 UCLN(2,3) 1 
 2 Để biểu thức A là số chính phương thì A n2 2n 12 m2 với 
 (1,5 m N
 điểm) (n 1)2 11 m2 , đặt k n 1,k N 0,5
 k 2 11 m2 (m>k)
 (m k)(m k) 11 0,5
 Mà m k m k 0;m k m k;m,k N
 m k 1
 2k 10 k 5
 m k 11
 Ta lại có n 1 k n 1 5 n 4 0,5
 Vậy n 4 thì A n2 2n 12 là số chính phương.
 3 a3 + b3 + c3 = 3abc =>( a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -bc - ca)=0
 (1điểm) => a2 + b2 + c2 - ab -bc - ca = 0 ( vì a,b,c >0)
 => (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 0,5
 => a = b =c 
 Ta có : a2 = 2(b + c) => a2 = 4a => a =4 ( vì a>0)
 => b + c = 8 => a = b =c = 4 0,5
 Vậy a = b = c = 4
Bài 2. (5,0 điểm)
 2
1. Cho biểu thức: 푃 = 2 4 :( 3 + 8) + 2 . + 4 .( 2 ― 4)
 2 3 8 2 2 4
 c) Rút gọn P.
 d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.
2. Giải phương trình : (x2 - 1)(x2 +4x + 3) = 192
3. a. Một thùng mì mua gốc giá 80000 đồng, giá bán 88000 đồng. Hỏi tiền lãi một thùng là bao 
nhiêu phần trăm so với giá gốc? b. Khi mua 50 thùng thì được đại lý giảm giá 1% trên tổng số tiền trả. Hỏi người bán vẫn 
muốn lời 8000 đồng/ thùng thì phải bán với giá bao nhiêu một thùng?
 Câu Tóm tắt cách giải Điểm
 ĐKXĐ: a ≠ ± 2 0,25
 2
 푃 = 2 4 :( 3 + 8) + 2 . + 4 .( 2 ― 4) 
 2 3 8 2 2 4
 2 2
 = 2 4 . 1 + 2 . 2 4 .( 2 ― 4)
 2 ( 2)( 2 2 4) ( 2)( 2 2 4) ( 2)( 2)
 1
 = 1 + 1 .( 2 ― 4)
 (2,0 ( 2)( 2) ( 2)2 0,75
 điểm) 2 2 
 = = .
 ( 2)2( 2)( + 2)( ― 2) 2
 2 4
 Ta có: P = = 2 - .
 2 2 0,5
 Để P nhận giá trị nguyên thì 4 ⋮ (a + 2).
 Suy ra (a + 2) ∈ {±1; ±2; ±4}
 Ta có bảng sau: 
 a + 2 -4 -2 -1 1 2 4 0,5
 a -6 -4 -3 -1 0 2 (L)
 Vậy, a ∈ {-6; -4; -3; -1; 0}.
 (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192 0,5
 2 (x + 1)2(x – 1)(x + 3) = 192
 (1,5 (x2 + 2x + 1)(x2 +2x - 3)=192
 điểm) Đặt a = x2 + 2x + 1 (a≥ 0), phương trình trở thành: 0,5
 a(a - 4) = 192
 a2 – 4a + 4 = 196
 (a - 2)2 = 196
 a = 16 ; (vì a ≥ 0)
 Suy ra x2 + 2x + 1 = 16, do đó x = 3 hoặc x = -5 0,5
 Vậy S = {-5; 3}.
 3 0,5
 a. Phần trăm tiền lãi so với giá gốc là 8000:80000.100% = 10%.
 ( 1,5 
 điểm) b. Khi mua 50 thùng thì được đại lý giảm giá 1% trên tổng số tiền trả. Vậy một 
 thùng được giảm giá 1% so với lúc đầu.
 Gọi x (đồng) là số tiền bán một thùng (chưa giảm giá) mà vẫn lời 8000 đồng 
 (x>0).
 Số tiền được giảm 1% là 1%.x = 0.01x đồng.
 0,5
 Số tiền bán một thùng (đã giảm giá) là x-0,01x = 0.99x đồng.
 Theo đề bài ta có 0.99.x = 88000 x 88889 (thỏa mãn).
 Vậy người bán vẫn muốn lời 8000 đồng mỗi thùng thì phải bán với giá 
 88.889 đồng một thùng. 0,5 Bài 3 (4 điểm):
 3 2
1. Cho đa thức: H (x) x + ax bx c với a, b,c là các số thực. Biết đa thức H(x) chia cho đa 
thức x + 1 dư – 4 và chia cho đa thức x – 2 dư 5. Tính giá trị của biểu thức:
 2025 2025 2025 2025 2025 2025
 A (a b )(b c )(c a ) .
2. Bốn bạn An , Bình , Nam và Hoa ngồi một cách ngẫu nhiên vào một cái bàn vuông , mỗi 
người ngồi một phía. Tính xác xuất để An và Nam ngồi đối diện nhau .
 Câu Tóm tắt cách giải Điểm
 1 Đa thức f(x) chia cho đa thức x + 1 dư – 4 nên f ( 1) 4 a b c 3 
 (1) 0.75
 Đa thức f(x) chia cho đa thức x - 2 dư 5 nên f (2) 5 4a 2b c 3(2)
 Từ (1) và (2)
 a b c 4a 2b c 3a 3b 0 a b
 a2025 b2025 ( b)2025 b2025 0 0,75
 2025 2025 2025 2025 2025 2025 0,5
 Vậy : A (a b )(b c )(c a ) 0
 Đánh số 1,2,3 và 4 theo chiều kim đồng hồ . Khi đó , vị trí số 1 đối 
 diện với vị trí số 3 và vị trí số 2 đối diện với vị trí số 4. 1
 Đầu tiên , có tất cả 4.3.2.1 =24 cách ngồi của bốn bạn An , Bình , Nam 
 và Hoa
 2 Để An và Nam ngồi đối diện nhau thì An và Nam phải ngồi ở vị trí số 1 
 và 3 hoặc vị trí số 2 và 4 . 1
 Có 4 cách ngồi để An và Nam ngồi đối diện nhau là . 
 4 1
 Xác xuất cần tìm là 
 24 6
Bài 4. (5 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lượt 
các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Gọi M là giao điểm của CE và DF. 
 a. Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông
 1 1 1
 b. Chứng minh : CE vuông góc với DF và 
 CD2 GD2 CM2
 c. Xác định vị trí của điểm E trên cạnh AB để diện tích hình vuông EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
 Câu Tóm tắt cách giải Điểm E 0,5
 A B
 F
 M
 H
 C
 D G
 a * Chứng minh 4 tam giác AHE; BEF; CFG; DGH bằng nhau ( c-g-c) 
 => HE = EF = FG = GH 0,5
 => EFGH là hình thoi
 * AHE BEF A· HE B· EF mà A· HE A· EH 900
 0,5
 => B· EF A· EH 900 H· EF 900 
 0,5
 Hình thoi EFGH có H· EF 900 nên EFGH là hình vuông
 b BEC CFD E· CB F· DC mà CDF vuông tại C nên:
 C· DF D· FC 900 D· FC E· CB 900 CMF vuông tại M hay 
 0,5
 CE  DF
 1 1
 S CD.CF CM.D F
 * CDF
 2 2 0,5
 CD.CF CM.D F
 1 1 CD2 CF2 DF2 1
 * 
 CD2 CF2 CD2CF2 CM2DF2 CM2
 Mà CF = GD
 1 1 1 0,5
 => 
 CD2 GD2 CM2
 c Đặt AE =x => AH = a – x 
 2 2 2 0,5
 SEFGH SEFGH 4S AEH a 2x(a x) 2x 2ax a
 2
 2 1 2 1 1 2 1 2
 2 x a x a 2 x a a a
 2 2 2 2 0,5
 1
 Dấu bằng xảy ra khi x a
 2
 Khi đó: E là trung điểm của AB 0,5
 Vậy diện tích hình vuông EFGH đạt giá trị nhỏ nhất khi E là trung điểm 
 của AB
Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song 
với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình 
bình hành BEMF có diện tích lớn nhất. Câu Tóm tắt cách giải Điểm
 A
 x
 F M
 I
 y
 B
 H E C
 Ta có tứ giác BEMF là hình bình hành. Kẻ AH  BC, AH cắt MF tại I, AI
  MF . Gọi S’ là diện tích hình bình hành BEMF và S là diện tích tam 
 giác ABC
 1
 S ' IH.MF và S .BC.AH
 2
 S ' IH.MF MF IH 0,5
 Ta có 2 . (1)
 1
 S .BC.AH BC AH
 2
 Đặt AM x và MC = y
 MF AM x IH MC y 0,5
 Vì MF//BC nên ta có: ; 
 BC AC x y AH AC x y
 S ' x y 2xy
 Thay vào (1) ta có: 2. . 
 S x y x y x y 2
 Vì x,y là 2 số không âm nên ta có: x y 2 xy x y 2 4xy 0,5
 S ' 2xy 2xy 1
 S x y 2 4xy 2
 S ' 1 1 1
 S ' S S ' S là lớn nhất
 S 2 2 2
 Dấu ”=” xảy ra khi x=y, tức khi M là trung điểm của cạnh AC thì diện 0,5
 1
 tích hình bình hành BEMF đạt giá trị lớn nhất là S không đổi
 2
Ghi chú :
 + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm 
tối đa theo từng câu, từng bài. Tổ chấm cần thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình 
huống làm bài của học sinh.
 + Điểm từng câu và toàn bài không làm tròn số.
 HẾT