Đề thi HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Huyện Lương Tài (Có đáp án)

 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024
 Môn thi: Toán- Lớp 8
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2024
 I. PHẦN CHUNG (dành cho tất cả các thí sinh)
 Bài 1. (4,0 điểm) 
 x2 x x 1 1 2 x2 
 1) Rút gọn biểu thức: với (x 0; x 1)
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:;x4 5x2 4
 243
 3) Cho 4x2 10x 3 0 . Tính giá trị của biểu thức: Q 32x5 .
 32x5
 Bài 2. (3,0 điểm) 
 1) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn điều kiện: x2 2y2 2xy y 2 .
 2
 2) Tìm các số tự nhiên n để n2 8 36 là số nguyên tố.
 Bài 3. (3,0 điểm) 
 1) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x 3 dư 2; f x chia cho x 4 dư 9 và 
 f x chia cho x2 x 12 được thương là x2 3 và còn dư.
 2) Giải phương trình: 2x 5 3 2 x 3 x -3 3 x -3 7x2 2052x 2054 
 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường caoAD; BE và CF cắt nhau tại H . Qua 
 B kẻ đường thẳng song song vớiCF cắt tiaAD tại K . 
 1) Chứng minh AEF đồng dạng ABC
 HD HE HF
 2) Chứng minh AB2 AD.AK và 1
 AD BE CF
 3) Gọi I là trung điểm BC . Tia HI cắt BK tại N. Chứng minh AN vuông góc EF
 II. PHẦN RIÊNG
 1. Dành cho thí sinh bảng A
 Bài 5. (4,0 điểm) 
 28 1
 1) Cho x 0, y 0 và x 3 y . Tìm GTNN của biểu thức: A 2x2 y2 2023
 x y
 2) Cho tam giác ABC,M là điểm di chuyển trên đoạn BC.Từ M kẻ MD song song với 
 AC,ME song song với AB (D thuộc AB; E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác 
 ADME lớn nhất.
 3) Giải bóng đá của một trường THCS có 10 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai 
 đội bất kỳ đều thi đấu với nhau một trận và phân rõ thắng - thua ). Biết rằng đội thứ nhất thắng a1 
 trận và thua b1 trận, đội thứ hai thắng a2 trận và thua b2 trận, ... , đội thứ 10 thắng a10 trận và thua 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 b10 trận. Chứng minh rằng: a1 a2 a3 ... a10 b1 b2 b3 ... b10 .
 2. Dành cho thí sinh bảng B
 Bài 5. (4,0 điểm) 
 1) Cho đa thức f (x) ax2 bx c nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên chứng minh rằng 
 2a ;b a và c là các số nguyên và ngược lại.
 2) Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
 1 1 2
 1 x2 1 y2 1 xy
 ---------- Hết ----------
 Họ và tên thí sinh:.................................................................... ; Số báo danh:.................... HƯỚNG DẪN CHẤM
 Thang 
 Bài 1 Hướng dẫn giải
 điểm
 1.1
 (1,5điểm)
 x2 x x 1 1 2 x2 
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 2 2
 x(x 1) x 1 x 2 x 0,25 đ
 P 2 : 
 (x 1) x(x 1) x(x 1) x(x 1) 
 x(x 1) x 1
 P : 0,25 đ
 (x 1)2 x(x 1)
 x(x 1) x(x 1)
 P . 0,5 đ
 (x 1)2 x 1
 x2
 P 
 x 1
 0,5 đ
 x2
 Vậy P ( với x 0; x 1; x 1)
 x 1
 1.2 x4 5x2 4
(1,5điểm) x4 4x2 x2 4
 0.5
 x4 4x2 x2 4 
 2 2 2 0.25
 x x 4 x 4 0,25
 x2 4 x2 1 
 0,25
 x 2 x 2 x 1 x 1 0,25
 1.3 +Ta thấy x = 0 thì VT 3 VP x 0 không phải là nghiệm của phương 
(1,0 điểm) trình 4x2 10x 3 0 (1). Do đó x 0 .
 3 3
 (1) 2x 5 0 2x 5
 2x 2x 0.25
 a 2x
 a b 5
 Đặt : 3 
 b a.b 3
 2x
 5 0.25
 5 243 5 3 5 5
 Mà: Q 32x 5 2x a b
 32x 2x 
 *a2 b2 a b 2 2ab 19
 0,25
 *a3 b3 a b 3 3ab a b 80
 Q a5 b5 a2 b2 a3 b3 a2b2 a b 19.80 32.5 1475
 0,25
 Bài 2 Hướng dẫn giải Thang điểm
 x2 2y2 2xy y 2
 4x2 8y2 8xy 4y 8
 (2x 2y)2 (2y 1)2 9 0,5 đ
 Mà 9 = 02 + 32
 Mà 2y 1 là số nguyên lẻ nên 2y 1 3 0,5 đ
 * Trường hợp 1:
 2.1 2y 1 3
(1,5điểm)
 y 1
 Suy ra x 1 0,5 đ
 * Trường hợp 2:
 2y 1 3
 y 2
 Suy ra: x 2
 Vậy x 1; y 1 hoặc x 2; y 2
 n2 – 6n + 10)(n2 + 6n + 10)
 - Để (n2 – 8)2 + 36 là số nguyên tố thì:
 n2 – 6n + 10 = 1 hoặc n2 + 6n + 10 = 1 0,5 đ
 2
 2.2 Xét n2 - 6n + 10 = 1 Û (n - 3) = 0 Û n = 3
 0,5 đ
(1,5điểm) Khi đó (n2 – 8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố (thoả mãn)
 2
 Xét n2 + 6n + 10 = 1 Û (n + 3) = 0 Û n = - 3(loại do n là số tự 0,5 đ
 nhiên)
 Vậy n = 3 thoả mãn bài toán.
 Bài 3 Nội dung
 1) Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là 
 x2 3 còn dư nên ta có : f x x 4 x 3 x2 3 a.x b
 0.5
 3.1. 
 Cho x 4 f x 4a b 9
(1,5điểm) 
 0.5
 Cho x 3 f x 3a b 2
 4a b 9 a 1
 Khi đó ta có hệ: 0,5
 3a b 2 b 5
 3.2 Ta có 2x 5 3 2 x 3 x -3 3 x -3 7x2 2052x 2054 
(1,5điểm) Áp dụng hằng đẳng thức a3 b3 a b 3 3ab a b vào vế trái 
 phương trình với a 2x 5;b 2 x ta được:
 0,5
 2x 5 3 2 x 3 = x 3 3 3 2x 5 2 x x 3 
 Khi đó phương trình trở thành
 3 2x 5 2 x x 3 x 3 7x2 2052x 2054 
 2 2 
 x 3 7x 2052x 2054 3 2x 9x -10 0
 0,5
 3 x x2 2025x 2024 0 Bài 3 Nội dung
 3 x x 1 x 2024 0
 x 3
 0,5
 x 1
 x 2024
 Câu 4 Nội dung
 A
 J
 E
 M
 F
 H
 B D I C
 K
 N
 · 0
 Ta có BE  AC nên AEB 90 0,25
 · 0
 Ta có CF  AB nên AFC 90 0,25
 Xét AEB và AFC có ·AEB ·AFC 900 ; B· AC chung
 0,5
 Suy ra AEB AFC (G-G)
 AE AB AE AF
 AF AC AB AC 0,25
 4.1.
 Xét AEF và ABC có: 
(2,0 điểm)
 B· AC chung 
 0,5
 AE AF
 (Chứng minh trên)
 AB AC
 Suy ra AEF ABC (C-G-C)
 0,25
 Ta có 
 4.2.
 · 0
(2,0 điểm) BK / /CF mà CF  AB Suy ra BK  AB ABK 90 0,25 Câu 4 Nội dung
 AD  BC ·ADB 900
 0,25
 ·ABK ·ADB 900
 Xét ABD và AKB có
 ·ABK ·ADB 900 
 0,25
 B· AK chung
 Suy ra ABD AKB (g-g)
 AB AD
 AB2 AD.AK (đpcm) 0,25
 AK AB
 Ta có 
 HD S
 HBC ( HBC và ABC có chung cạnh đáy BC) 0,25
 AD SABC
 HE S
 AHC ( AHC và ABC có chung cạnh đáy AC)
 BE SABC 0,25
 HF S
 HAB ( HAB và ABC có chung cạnh đáy AB) 0,25
 CF SABC
 HD HE HF SHBC SAHC SHAB SABC
 1 (đpcm) 0,25
 AD BE CF SABC SABC
 Ta có CF / /BN (GT) suy ra I·BN I·CH (hai góc so le trong)
 Xét IBN và ICH có 
 B· IN C· IH (đối đỉnh) 0,25
 IB IC (GT)
 I·BN I·CH (chứng minh trên)
 Do đó IBN ICH G C G 0,25
 IH IN (hai cạnh tương ứng)
 0,25
 I là trung điểm HN
 Gọi J là trung điểm AH
 4.3. Xét AHN có
 I là trung điểm HN (Chứng minh trên) 0,25
 (2,0 điểm)
 J là trung điểm AH (cách vẽ)
 IJ là đường trung bình của AHN
 Suy ra IJ / / AN (1) 0,25
 BC 
 Chỉ ra IE IF 
 2 
 0,25
 AH 
 Chỉ ra JE JF 
 2 
 IJ là trung trực của EF . Suy ra IJ  EF (2) 0,25
 Từ (1) và (2) suy ra AN vuông góc EF (đpcm) 0,25
Câu 5 Nội dung 28 1
 Ta có A 2x2 y2 2023
 x y
 28 1 2 2
 7x y 2x y 7x y 2023
 x y 
 28 1 2 2
 7x y 2x 8x 8 y 2y 1 x y 2014
 x y 
 1. 28 1 2 2 0,75
 7x y 2 x 2 y 1 x y 2014
 (1.5đ) x y 
 Áp dụng BĐT AM- GM cho hai số không âm ta được 
 1 1 28 28
 y 2 .y 2 ; 7x 2 .7x 28 
 y y x x
 Lại có 2 x 2 2 0, y 1 2 0, x y 3 suy ra A 2047
 0,75
 Dấu bằng xảy ra khi x 2, y 1. Vậy GTNN của A là 2047 tại x 2, y 1
 2
(1,5điểm) A
 D
 E
 a2
 b2
 B M C
 2 2
 Đặt SABC S; SBDM a ; SCME b
 Chứng minh BDM : BAD
 2 2 0,25
 SBDM BM a
 Suy ra 
 SBAC BC S
 2 2 0,25
 SCME CM b
 Tương tự: 
 SBAC BC S
 a b BM CM
 Suy ra 1
 S S BC BC 0,25
 Suy ra: S a b 2
 2
 a b 1
 Suy ra S 2ab S 0,5
 ADME 2 2 ABC Dấu “=” xảy ra khi a = b, khi M là trung điểm BC. 0,25
 Vì 10 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều thi đấu với 
 3
 nhau một trận), nên mỗi đội bóng sẽ lần lượt thi đấu với 9 đội bóng còn lại. Các 
 (1điểm)
 trận đấu luôn có 1 đội thẳng, 1 đội thua, Do đó:
 + Mỗi đội bóng sẽ thi đấu 9 trận ai bi 9 1 i 10;i N bi 9 ai .
 10.9
 + Tổng số trận đấu là 45 trận, Tổng số trận thắng của 10 đội bằng tổng số 
 2
 0,5
 trận đấu a1 a2 ... a10 45.
 2 2 2 2 2 2 2 2
 Xét: b1 b2 b3 ... b10 9 a1 9 a2 9 a3 ... 9 a10 
 2 2 2 2
 81 18a1 a1 81 18a2 a2 81 18a3 a3 ... 81 18a10 a10
 2 2 2 2
 810 18 a1 a2 a3 ... a10 a1 a2 a3 ... a10
 2 2 2 2 2 2 2 2
 810 18.45 a1 a2 a3 ... a10 a1 a2 a3 ... a10 .
 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5
 Vậy a1 a2 a3 ... a10 b1 b2 b3 ... b10 .
 2ax(x 1) 0,5
 f (x) (b a)x c
 2
 1,0
(2.5 điểm) *Vì đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nên chọn x lần lượt các giá trị 
 0;1;-1 ta có 2a; b- a; c nguyên
 * Ngược lại 1,0
 x nguyên; 2a nguyên; b-a nguyên; c nguyên thì đa thức nhận giá trị nguyên với 
 mọi x nguyên ( chú ý x(x+1) chia hết cho 2
 1 1 2
 1 
 1 x2 1 y2 1 xy
 1 1 1 1 
 2 2 0
 1 x 1 xy 1 y 1 xy 
 0.5
 x y x y x y 
 0
 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy 
(1.5 điểm) 0.5
 y x 2 xy 1 
 0 2 
 1 x2 1 y2 
 Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 (2) 0.5
 BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng . Dấu " " xảy ra khi x y