Đề thi Olympic Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Huyện Thạch Thất (Có đáp án)

 UBND HUYỆN THẠCH THẤT KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HOÁ LỚP 8THCS
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THẠCH THẤT NĂM HỌC 2023-2024
 ================
 Đề thi môn: TOÁN.
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi gồm 02 trang)
 Bài 1 (5 điểm). Cho biểu thức: 
 x 2 1 10 x2 
 A 2 : x 2 với x ≠ 2 và x ≠ -2.
 x 4 2 x x 2 x 2 
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
 c) Tìm các giá trị của x để |A| = A.
 Bài 2 (3 điểm) Biểu đồ quạt tròn ở hình bên 
 biểu diễn cơ cấu thị trường xuất khẩu máy móc 
 và phụ tùng năm 2020 của Việt Nam (tính theo 
 tỉ số phần trăm).
 a) Tính giá trị của x.
 b) Xuất khẩu máy móc và phụ tùng năm 2020 
 của Việt Nam đến thị trường Hoa Kỳ gấp bao 
 nhiêu lần đến thị trường Nhật Bản (làm tròn đến Nguồn: Báo cáo xuất nhập khẩu Việt Nam 
 hàng đơn vị)? năm 2020- Bộ Công Thương)
 Bài 3 (3 điểm). Một siêu thị điện máy bán một máy tính với giá 10,5 triệu đồng chưa kể 
 thuế giá trị gia tăng (VAT). Chú Dũng mua chiếc máy tính đó cùng một thiết bị máy tính 
 ở ngoài và phải trả tổng cộng 12,65 triệu đồng, trong đó đã tính cả 10% thuế VAT. Giá 
 trị tiền thiết bị máy tính ở ngoài (không kể VAT) là bao nhiêu?
 x2 9
 Bài 4 (1,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 
 x2 3
 Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) , kẻ đường cao AH và đường 
 trung tuyến AM H, M BC . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC .
 a. Chứng minh rằng: DE 2 BH.HC .
 b. Chứng minh rằng: AH 2 AD.DB AE.EC .
 c. Chứng minh rằng: DE vuông góc với AM . d. Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 2 lần diện tích tứ giác ADHE . Chứng minh tam 
giác ABC vuông cân.
Bài 6 (1,5 điểm). Tìm x, y, z biết 10x2 + y2 + 4z2 + 6x - 4y - 4xz = - 5.
 ----------------------------------------Hết--------------------------------------------
 (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).
 Họ và tên thí sinh ....................................................................Số báo danh............... UBND HUYỆN THẠCH THẤT HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CÁC MÔN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĂN HOÁ LỚP 8THCS NĂM HỌC 2023-2024
 ================
 MÔN TOÁN
 Câu Đáp án Điểm
 a) Điều kiện: x 2, x 2 0,25
 Bài 1 (5đ) 
 x 2 1 10 x2 
 a) (2,75đ) A 2 : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 1,5
 x 2(x 2) (x 2) x 2
 .
 x2 4 x2 4 10 x2
 x 2(x 2) (x 2) x 2 1
 A . 
 x2 4 x2 4 10 x2 x 2 1
 1
 Vậy A với x 2, x 2. 
 2 x
 b) (1,25đ) b) A có giá trị nguyên suy ra 2- x = 1 hoặc 2- x = -1, do đó x = 1 hoặc x = 3 (thỏa mãn 1
 điều kiện).
 Với x = 1 hoặc x = 3 thì biểu thức A có giá trị nguyên. Vậy x = 1 hoặc x = 3 0,25
 c) (1đ) Ta có: nếu |A| = A thì A ≥ 0 và nếu A ≥ 0 thì |A| = A. 0,5
 1 0,5
 |A| = A khi và chỉ khi A ≥ 0 hay 0 , do đó x < 2 (thỏa mãn điều kiện). 
 2 x
 Vậy với x < 2 thì A ≥ 0.
 Bài 2 (3đ) a) Dựa vào số liệu ở biểu đồ quạt tròn ở hình vẽ, ta suy ra
 a) (1,5đ) x = 100 – (44,9 + 11,5 + 7,5 + 6,8 + 7,5 + 12,1) = 9,7. 1,25
 Vậy giá trị của x là 9,7. 0,25
 b) (1,5đ) 44,9
 b) Ta có tỉ số của 44,9 và 7,5 là 5,9866 . 1
 7,5
 Vậy xuất khẩu máy móc và phụ tùng năm 2020 của Việt Nam đến thị trường Hoa Kỳ 
 0,5
 gấp 6 lần đến thị trường Nhật Bản (làm tròn đến hàng đơn vị).
 Gọi x (triệu đồng) là giá tiền không kể thuế VAT của thiết bị máy tính (x > 0). 
 Bài 3 (3đ)
 Số tiền (không kể thuế VAT) của máy tính và thiết bị máy tính là 10,5 + x (triệu đồng). 1
 Số tiền phải trả thuế VAT là (10,5 + x) . 10% (triệu đồng).
 Tổng số tiền chú Dũng phải trả là 12,65 triệu đồng, nên ta có phương trình: 
 0,75
 10,5 + x + (10,5 + x) . 10% = 12,65.
 Giải phương trình tìm được x = 1 (thoả mãn điều kiện). 
 1,25
 Vậy giá tiền không kể thuế VAT của thiết bị máy tính mua ở ngoài là 1 triệu đồng. 2
 x 3 12 12 2 12 12
Bài 4 (1,5đ) B 2 1 2 . Do x 3 3 x nên 2 4 1 2 3,x. 
 x 3 x 3 x 3 x 3 1,5
 Vậy min B 3 x 0. 
 Vẽ hình đúng 
Bài 5 (6đ)
a) (2đ)
 0,5
 a. Chứng minh: DE 2 BH.HC
 Xét AHB và CHA có: 
 ·AHB ·AHC 90 , Bˆ C· AH (vì cùng phụ với B· AH ) 
 AH HB 1,5
 AHB ∽CHA g-g AH 2 BH.CH
 CH HA
 Lại có HE  AC, HD  AB nên Eµ Dµ µA 90 
 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật DE AH DE 2 BH.CH
 b. Chứng minh: AH 2 AD.DB AE.EC
b) (1,5đ) 0,5
 Chứng minh HDB ∽ ADH HD2 AD.DB
 Chứng minh AHE ∽ HCE HE 2 AE.EC 0,5
 Mà tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên DH AE . 0,25
 Do đó HD2 HE 2 AE 2 HE 2 AH 2 AD.DB AE.EC ( Định lý Pytago áp 
 0,25
 dụng vào tam giác vuông AEH ).
 c. Chứng minh: DE  AM .
c) (1,5đ)
 Gọi O là giao điểm của AH và DE . Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên 
 OA OE OAE cân tại O H· AE ·AED
 1,5
 ABC vuông tại A , có M là trung điểm của BC nên 
 MA MB MC MAC cân tại M M· AC M· CA
 ·AED M· AC H· AE M· CA 90 DE  AM
 SAED 1
d) (1đ) d. Theo giả thiết SABC 2SADHE 4SADE hay (1) 
 SABC 4
 1 4
 SAED AE.AD AE.AC . AD.AB AH
 Ta có 2 2
 SABC AB.AC (AB.AC) (AB.AC)
 AH 4 AH 2 AM 2 1
 (2)
 (AH.BC)2 BC 2 BC 2 4
 AH 2 AM 2
 Từ (1) và (2) AH AM H  M nên ABC vuông cân 
 BC 2 BC 2
 tại A .
 Ta có 10x2 + y2 + 4z2 + 6x - 4y - 4xz + 5 = (3x+1)2 + (y - 2)2 + ( 2z - x)2 1
Bài 6 (1,5đ)
 10x2 + y2 + 4z2 + 6x - 4y - 4xz + 5 = 0 khi và chỉ khi đồng thời xảy ra các kết quả sau:
 1 1 0,5
 (3x+1)2 = 0, (y - 2)2 = 0, ( 2z - x)2 = 0 hay x , y = 2 và z .
 3 6
 Hết
 ( Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương; điểm toàn bài làm tròn đến 
 0,25điểm)