Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Hà Nội năm học: 2011 – 2012 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2011 – 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho x 10 x 5A
x 25x 5 x 5
, với x 0 và x 25.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi x = 9.
3) Tìm x để A < 1
3
.
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do
mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian
quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao
nhiêu ngày?
Bài III (1,0 điểm)
Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9.
1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục
tung.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm
thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và
vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh  ENI EBI và MIN = 900.
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI.
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy
tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 14x 3x 2011
4x
.
www.VNMATH.com
BÀI GIẢI
Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ 0 và x 25 ta có :
1) x 10 x 5A
x 25x 5 x 5
 = ( 5) 10 5( 5)
25 25 25
x x x x
x x x
= 5 10 5 25
25 25 25
x x x x
x x x
= 10 25
25
x x
x
=
2( 5)
( 5)( 5)
x
x x
= 5
5
x
x
2) x = 9 A = 9 5 1
49 5
3) A < 1
3
5
5
x
x
 < 1
3
3 15 5x x
2 20x 10x 0 100x
Bài II: (2,5 điểm)
Cách 1: Gọi x (ngày) (x N*) là số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng
Theo đề bài ta có: 140 5 ( 1) 140 10x
x
 140x + 5x2 – 140
x
- 5 = 150 5x2 – 15x – 140 = 0 x = 7 hay x = -4 (loại)
Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày.
Cách 2: Gọi a (tấn) (a 0): số tấn hàng mỗi ngày,
 b (ngày) (b N*) : số ngày
Theo đề bài ta có :
. 140
( 5)( 1) 140 10
a b
a b
. 140
5 15
a b
b a
 5b2 – 15b = 140
 b = 7 hay b = -4 (loại). Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày.
Bài III: (1,0 điểm)
1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là:
x
2
 = 2x + 8 x2 – 2x + 8 = 0 (x + 2) (x – 4) = 0 x = -2 hay x = 4
y(-2) = 4, y(4) = 16
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2 là : (-2; 4) và (4; 16).
2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = 2x – m2 + 9
 x
2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1)
Ycbt (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu a.c = m2 – 9 < 0 m2 < 9
m < 3 -3 < m < 3.
www.VNMATH.com
Bài IV: (3,5 điểm)
1) Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là góc A, và góc E (đối nhau)
nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI.
2) Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường
kính IN. Vậy góc ENI = góc EBI (vì cùng chắn cung EI)
Tương tự góc EMI = góc EAI (vì cùng chắn cung EI)
Mà góc EAI + góc EBI = 900 ( EAD vuông tại E)
góc MIN = 1800 – (góc EMI + góc ENI)
 = 1800 – 900 = 900
3) Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN
Ta có góc NIB = góc IMA (góc có cạnh thẳng góc)
 chúng đồng dạng
AM AI
IB BN
AM.BN AI.BI (1)
4) Gọi G là điểm đối xứng của F qua AB. Ta có AM + BN = 2OG (2) (Vì tứ giác
AMNB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN)
Ta có : AI = R
2
, BI = 3R
2
Từ (1) và (2) AM + BN = 2R và AM.BN =
23R
4
Vậy AM, BN là nghiệm của phương trình X2 – 2RX +
23R
4
 = 0
AM = R
2
 hay BN = 3R
2
. Vậy ta có 2 tam giác vuông cân là MAI cân tại A và
NBI cân tại B MI = R 2 R
2 2
 và NI = 3R 2 3R
2 2
 S(MIN) =
21 R 3R 3R
. .
2 42 2
Cách khác góc AEF = 450 ( chắn cung AF ) mà góc AMI = góc AEI
suy ra góc AMI = 450 suy ra tam giác AMI cân tại A. Tương tự tam giác BNI cân tại B
 MI = R 2 R
2 2
 và NI = 3R 2 3R
2 2
 S(MIN) =
21 R 3R 3R
. .
2 42 2
Bài V: (0,5 điểm)
M
E
IA O B
F
G
N
www.VNMATH.com
M = 21 14( ) 2010
2 4
x x
x
12 . 2010 2011
4
x
x
khi x = 1
2
 ta có M = 2011. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2011.
TS. Nguyễn Phú Vinh
(Trường THPT Vĩnh Viễn - TP.HCM)
www.VNMATH.com