Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Đinh Quang Đạo

Phần I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT :
1)Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:
Câu 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) trên đoạn [0;2];
b) trên đoạn [-2 ;2] ;
c) trên đoạn [-2 ;2].
d) trên đoạn [-2;1];
e) trên đoạn [0;2] (ĐH2013D).
Câu 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) trên đoạn [0;3];
b) trên đoạn [1;8];
c) trên đoạn [0;1];
d) trên đoạn [-2;1];
e) trên đoạn [0;1];
g) trên đoạn [0;3];
h) trên đoạn [-2;0];
i) trên đoạn [-1;0];
k) trên đoạn [0;2];
l) trên đoạn [1;4];
m) trên đoạn [0;2].
n) trên đoạn [0;2].
p) trên đoạn [0;6].
q) trên đoạn [0;4].
(TN2004) trên đoạn [0;];
(TN2007) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2];
(TN2008) trên đoạn [2;4];
(TN2009) trên đoạn [-2;0];
(TN2012)Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;1] bằng -2.
(TN2013)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;2].
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :
a) ; 
 b);
c); 
 m)(HSG NA2007).
d); 
 n) (HSG NA 2006).
e); 
f) ;
g); 
h).
i) trên đoạn (GVG2011NA).
k) (HD: đặt )
2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: 
Câu 4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a); (ĐH2010-D)
b); 
c);
d); 
 đ)
e).
Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) ; 
 b); 
 c);
d); 
 e).
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) trên đoạn ; 
 b) ;
c); 
 d) ; (HSG NA 2004)
e); 
f);
g).
h) trên khỏang .
HD: Cách 1: Đặt , ta có .
Cách 2: Xét phương trình:.
h1) trên khoảng .
h.2) trên khoảng .
h.3) trên khoảng .
Câu 7. (THTT417) trên khoảng .
II.ỨNG DỤNG: 
1.Giải và biện luận nghiệm của phương trình: 
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
HD: Điều kiện . 
Xét hàm số và trên đoạn [2;4].
Ta có và .
Suy ra .
Vậy nghiệm của phương trình là.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thức phân biệt
 .
HD: Điều kiện . 
Xét hàm số trên đoạn [-1;8]. 
với -1<x<8 ,ta có .
Bảng biến thiên
Suy ra với là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ba gó thỏa mãn 
 .
 Chứng minh tam giác ABC đều.
HD: PT.
Xét hàm số trên đoạn (0;1).
Ta có .
Bài tập : 
1.1)Giải phương trình: 
a);
b);
c) (HSG NA 2010-2011)
(HD: xét hàm số , )
1.2)Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
a) ; 
b);
c); 
d) (ĐH2008A).
e).
1.3)Tìm m để phương sau trình có nghiệm thực :
a);
b) (HSG NA 2007-2008).
(HD: đặt ,. PT)
c); 
(HD: đặt )
d) (ĐH2007A) 
(HD: đặt , )
e)(HD: đặt ,);
g).
h).
i).
k).
l) (HSG_NA2012B)
1.4)Tìm m phương trình có nghiệm .
1.5)Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
 .
2.Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình:
Ví dụ 4: Cho hệ :.Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn .
HD: Điều kiện . Đặt , với .
Ta có (II).
Xét hàm số trên đoạn [3;4].
Hệ (II) có nghiệm .
Bài tập: 
2.1)Tìm m để hệ sau có nghiệm :
a) ; b); c) ; 
d) (HSG12-NA:2011)
e) .
g) (THTT418).
Hướng dẫn: 
(b) đặt . Ta có , 
Suy ra .
(c) điều kện .
Ta có : (II)
Với x=-1 hoặc y=-1 ta thấy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Với x=y=3 thì m=2.
Xét hàm số , .
Ta có . Suy ra đồng biến trên khoảng (-1;3).
Suy ra (II)(III).
Xét , .Ta có .
Suy ra hệ (III) có nghiệm khi và chỉ khi .
Vậy hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi .
(d) . Điều kiện: . . Xét hàm số . . Suy ra nghịch biến trên (3). Ta có và cùng thuộc đoạn và nên kết hợp (3) suy ra . Thay vào (2) ta có phương trình . Do đã hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) có nghiệm x thuộc đoạn [-2;2]. Đặt . ; ;. . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi .
(g) .