Kì thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia năm học 2008 - 2009 môn toán

sở giáo dục và đào tạo tuyên quang
Kì thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia Năm học 2008 - 2009
 Đề chớnh thức
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài : 180 phút ( không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang
Câu 1 (3 điểm). Giải phương trình : 
Câu 2 (3 điểm). Cho tam giác ABC, các điểm D, E, G xác định bởi: 
 , , 
Chứng minh rằng: B, G, E thẳng hàng;
AG cắt BD tại M. Chứng minh rằng: M là trung điểm BD. 
Câu 3 (3 điểm). Cho đa thức 
Chứng minh rằng phương trình có không quá 2008 nghiệm 
nguyên phân biệt.
Câu 4 (3 điểm). Tìm tất cả các hàm số f: R R thoả mãn: 
f(x2 - y2) = xf(x) - yf(y); " x, y ẻ R
Câu 5 (3 điểm). Cho dãy số (xn) xác định bởi : 
Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn);
Tính giới hạn của dãy (xn).
Câu 6 (3 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) và ngoại tiếp 
đường tròn tâm (I). Gọi M,N,P,Q lần lượt là các tiếp điểm của (I) với các cạnh 
AB, CD, BC, DA. 	
Chứng minh rằng MN, PQ, AC, BD đồng quy tại một điểm K;
Chứng minh rằng .
Câu 7 (2 điểm). Cho A là tập hợp gồm 18 số tự nhiên đầu tiên từ 1 đến 18. Tìm số 
n nguyên dương lớn nhất thoả mãn tính chất : tồn tại tập con B gồm n phần tử 
phân biệt của tập A sao cho với 3 phần tử bất kỳ của B đều có 2 phần tử không 
nguyên tố cùng nhau.
...Hết