Giải toán hình học không gian - Lâm Tấn Dũng

 kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện SABC.
 Hướng Dẫn: / 2 , 21 / 6d a R a 
Bài 50 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích toàn phần và thể
tích hình chóp SABCD. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
 Hướng Dẫn: 3 2 / 6 , tan 2 2V a   
Bài 51 Cho hình chóp SABC có ABC là tam giác đều cạnh a, mp(SAB) vuông góc với mp(ABC), góc
giữa hai mặt bên (SBC) và (SAC) với mp(ABC) cùng bằng 600. Tính thể tích hình chóp SABC. Xác
định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
 Hướng Dẫn: 3 3 /16 , 1333 / 72V a R a 
Bài 52 Cho hình trụ bán kính đáy R nội tiếp trong lăng trụ tứ giác đều có đường chéo hợp với đáy
một góc α. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ và tính thể tích của lăng trụ ngoại tiếp
 Hướng Dẫn: 3 2 32 2 tan , 4 2 tan , 8 2 tanHT xq LTV R S R V R      
Bài 53 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có cạnh bằng 2a; hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), Gọi I là trung điểm cạnh BC. Mặt phẳng (P) qua A
vuông góc với SI cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Biết rằng: VSAMN = 1/4 .VSABC , Hãy tính: VSABC (VSAMN ,
VSABC lần lượt là thể tích các khối chóp SAMN và SABC).
 Hướng Dẫn: V = a3
Bài 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA 
(ABCD). Cho biết góc giữa (SAD) và (SCD) bằng 600. Tính thể tích hình chóp.
 Hướng Dẫn: 3 15 / 6V a
Bài 55 Cho hình chóp ABCD có AB = x (x > 0), các cạnh còn lại đều bằng 3 . Tính độ dài đoạn
vuông góc chung của AB và CD. Tính thể tích của hình chóp. Tìm điều kiện của x để bài toán có
nghĩa .
 Hướng Dẫn: 23 . 9 / 12 , 0 3V x x x   
Bài 56 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Biết AB = AC = AA’. M là
điểm di động trên AC’, N là điểm di động trên BC sao cho M ≠ A và AM = BN.
1. Chứng minh: MN // (ABB’A’)
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 20
2. Xác định vị trí của MN sao cho độ dài MN ngắn nhất.
 Hướng Dẫn: M là trung điểm của AC’, N là trung điểm của BC, 2 / 2Min MN a
Bài 57 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, SA (ABC) và SA = 2a.
Gọi I là trung điểm của SC và M là điểm bất kì trên cạnh SB. Tính diện tích tam giác AIM khi (AIM)
 (SBC)
 Hướng Dẫn: 2 14 /10S a
Bài 58 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, trong đó ABC không phải tam giác cân. Dựng nửa
đường thẳng Ax vuông góc mặt phẳng (P) và S là điểm trên Ax. Gọi D, E tương ứng là hình chiếu của
A trên SB và SC.
1. Chứng minh DE không song song với BC.
2. Chứng minh rằng khi S di động trên Ax (S ≠ A) thì tồn tại điểm cố định cách đều năm điểm A,
B, C, D, E.
 Hướng Dẫn: 2. Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC
Bài 59 Cho đường tròn đường kính AB bằng 2R và C là một điểm chạy trên đường tròn. Trên đường
thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng của đường tròn, lấy điểm S sao cho SA = a < 2R.
1. Giả sử  là góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC). Đặt  = BAC . Hãy tìm sin  theo: a, R,
 .
2. Gọi E và F tương ứng là các trung điểm của AC, SB. Xác định vị trí của C trên đường tròn sao
cho EF là đường vuông góc chung cùa AC và SB.
 Hướng Dẫn: 1. 2 2 2 2 2sin os . 4 / 4 osc a R a R c    
2. C là giao điểm của đường tròn đã cho với đường tròn tâm B bán kính a, luôn có 2 vị trí của C.
Bài 60 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi B’, D’ là hình chiếu của A
lên SB, SD.
1. Giả sử: SC (AB’D’) = C’. Chứng minh: AB’C’D’ là tứ giác nội tiếp.
2. Giả sử ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’.
 Hướng Dẫn: 2. V = 16a3 / 45
Bài 61 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Hai nửa đường thẳng Bx, Dy
vuông góc với mặt phẳng (P) và ở về cùng một phía đối với (P). M và N tương ứng là hai điểm trên
Bx và Dy. Đặt: BM = u, DN = v.
1. Tìm mối liên hệ giữa u, v để (MAC) ⊥ (NAC) .
2. Giả sử các đại lượng u, v thỏa mãn điều kiện ở câu 1. Chứng minh rằng: (AMN) ⊥ (CMN).
 Hướng Dẫn: 1. 2uv = a2.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 21
Bài 62 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân ABC với AB = AC, BAC = α . Gọi M là
trung điểm của AA’ và giả sử mặt phẳng (C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc  .
1. Chứng minh: 'C BC =  .
2. Tìm mối liên hệ giữa  và  để C’MB là tam giác vuông.
 Hướng Dẫn: 2. tan(α/2) = cosβ
Bài 63 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Có một hình cầu đi
qua A và tiếp xúc với SB, SD tại các trung điểm của chúng.
1. Xác định tâm O và tính bán kính hình cầu ấy.
2. Tính thể tích hình chóp S.OBCD.
 Hướng Dẫn: 33 2 / 8 , 5 2 / 48R a V a 
Bài 64 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Trên AB lấy điểm H. Từ H
kẻ đường vuông góc với AB cắt nửa đường tròn trên tại M. Gọi I là trung điểm của HM. Nửa đường
thẳng vuông góc với (P) tại I cắt mặt cầu đường kính AB tại K.
1. Chứng minh rằng khi H di động thì mặt phẳng (KAB) tạo với (P) một góc không đổi.
2. Chứng minh rằng khi H di động thì tâm S mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABKI nằm trên một đường
thẳng cố định
 Hướng Dẫn
Bài 65 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Từ B và C về cùng một phía của (P)
dựng hai nửa đường thẳng Bx, Cy vuông góc với (P). Trên Bx và Cy lần lượt lấy hai điểm M, N. Đặt:
BM = u, CN = v.
1. Tìm hệ thức giữa u, v để MAN là tam giác vuông tại M.
2. Giả sử AMN = 900 và v = 2u. Gọi  là góc của hai mặt phẳng (AMN) và (BCMN). Tính giá
trị của  .
 Hướng Dẫn: 1. 2uv = a2 + 2u2 2. α = 450
Bài 66 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đoạn SA = 2a vuông góc với (P)
tại A. Điểm M và N di động trên BC và CD. Đặt: BM = u, DN = v.
1. Tìm mối liên hệ giữa u và v để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 450.
2. Giả sử M, N di động nhưng thỏa mãn điều kiện ở câu 1. Hãy xác định vị trí của M, N để tứ diện
SAMN có thể tích lớn nhất.
 Hướng Dẫn: 1. a(u + v) + uv = a2 2. M ≡ B, N ≡ C hoặc M ≡ C, N ≡ D.
Bài 67 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đặt:
AM = x. Qua M vẽ đường thẳng  vuông góc với (P). Lấy S trên  sao cho MS = MA.
1. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (ABC).
2. Gọi I là trung điểm của BC. Mặt phẳng (SMI) cắt AC kéo dài tại N (NA > NC).
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 22
Tìm x để hệ có hệ thức: VSMBI + VSCNI = VSABC.
 Hướng Dẫn: 1. os 21 / 7c   2.  5 1 / 2x a 
Bài 68 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a.
Với giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích của hình chóp là nhỏ
nhất. Tính giá trị bé nhất ấy.
 Hướng Dẫn: 3os 3 / 3 , 2 3Minc V a  
Bài 69 Cho tứ diện ABCD có: BC = a, AB = AC = b, BD = DC = c
1. Với điều kiện nào của b, c thì đường thẳng nối I, J là đường vuông góc chung của BC và
AD ở đây I, J tương ứng là các trung điểm của BC và AD. Chứng minh rằng khi ấy hình cầu
đường kinh CD qua I và J.
2. Gỉả sử: b = c = √ . Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và DBC. Tìm α để hình cầu
đường kính IJ tiếp xúc với CD.
 Hướng Dẫn: 1. b = c 2.    sin / 2 6 2 / 2  
Bài 70 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các mặt (SAB), (SBC),
(SCA) lần lượt tạo với đáy (ABC) các góc α, β, γ .
1. Tìm thể tích hình chóp S.ABC.
2. Tìm khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAB).
 Hướng Dẫn:  
3 / 2sin cot cot cot , 3 .sin / 2V a h a       
Bài 71 Cho tứ diện OABC trong đó OA vuông góc với mặt phẳng (OBC). Giả sử: OA = OB = OC =
a, BOC = 120 . Tìm bán kính hình cầu nội và ngoại tiếp tứ diện OABC.
 Hướng Dẫn:  5 / 2 , 3 / 3 4 3 15tpR a r V S a    
Bài 72 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc của mặt bên và đáy bằng 60 .
Dựng thiết diện với hình chóp đi qua CD và tạo với mặt phẳng đáy góc 30 .
1. Tìm diện tích thiết diện
2. Giả sử thiết diện cắt SA, SB tương ứng tại N, M. Tìm thể tích hình chóp tứ giác S.CDNM.
 Hướng Dẫn: 2 33 3 / 8 , 3 /16S a V a 
Bài 73 Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = a, BC = b, (BCD) ⊥ (ABC), BDC = 90 . Xác định tâm và
tính bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 23
 Hướng Dẫn: 2 2 2/ 4R a a b 
Bài 74 Cho hình chóp tam giác S.ABC. Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán kính R (O nằm trên
chiều cao hình chóp) tiếp xúc với cả sáu cạnh của hình chóp.
1. Chứng minh S.ABC là hình chóp đều
2. Cho SC = R√3. Tính chiều cao hình chóp.
 Hướng Dẫn: 4 3 / 9SH R
Bài 75 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b (b > a). Một hình cầu
tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) tại A vì tiếp xúc với cạnh SB. Tìm bán kính hình cầu này.
 Hướng Dẫn:  
2 23 2 / 2 3R a b a b a  
Bài 76 Cho hình chóp tứ giác đếu S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua
trung điểm của SA. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AE, BC.
1. Chứng minh: MN ⊥ BD
2. Tìn khoảng cách theo a giữa hai đường thẳng MN, AC
 Hướng Dẫn: 2 / 4d a
Bài 77 Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Dựng đoạn SA ⊥ (P). Qua A dựng mặt
phẳng (Q) ⊥ SC. Mặt phẳng này cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
1. Chứng minh AB’ ⊥ SB, AD’⊥ SD và SB’.SB = SC’.SC = SD’.SD.
2. Gọi I là trung điểm của SA, còn M, N tương ứng là trung điểm của AB, DC. Chứng minh:
IB’⊥ (B’MN).
 Hướng Dẫn:
Bài 78 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Dựng đoạn SA = a√2, SA⊥
(ABCD). Qua A dựng mặt phẳng (Q) ⊥ SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
1. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
2. Chứng minh các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên một mặt cầu. Tính bán kính mặt
cầu ấy.
 Hướng Dẫn: 3 2 / 9 , 2 / 2V a R a 