Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế

 (6.63) 
Mô hình này tuân theo giả thiết: tác ñộng của dư thừa mức cung tiền 
tệ so với mức cầu tiền tệ (Ms > Md) sẽ làm tăng tốc ñộ lạm phát p và 
không có tác ñộng ñến mức giá cả P. Do ñó việc loại bỏ sự dư thừa trên 
trong thị trường tiền tệ sẽ làm cho tốc ñộ lạm phát ổn ñịnh, chứ không 
làm cho giá cả ổn ñịnh. 
Nếu chúng ta giả thiết thêm rằng mức cầu về tiền tệ tỉ lệ với tổng sản 
phẩm quốc dân thì tỉ lệ cầu – cung tiền tệ Md/Ms ñược viết như sau: 
d
s s
M aPQ
M M
µ = = , với a > 0. 
Lấy ñạo hàm theo t cả hai vế, chúng ta sẽ có: 
s
s
dM / dtd / dt da / dt dP / dt dQ / dt
a P Q M
µ
= + + −
µ
 = p + q – m, (6.64) 
y y’ = 0 
x’ = 0 
x 
+ – 
O 
+ 
– 
Hình VI.11d. Các ñng qu ño 
pha vi nút trung tâm E 
E 
y’ = 0 
x’ = 0 
x 
+ – 
y 
O 
– 
+ 
Hình VI.11c. Các ñng qu ño 
pha vi nút tiêu ñi
m E 
E 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..182 
trong ñó p, q và m là các tốc ñộ lạm phát, tốc ñộ tăng trưởng (ngoại sinh) 
sản phẩm quốc dân và tốc ñộ mở rộng qui mô cung tiền tệ. Các phương 
trình (6.63) và (6.64) dẫn tới hệ phương trình sau: 
p h(1 )
(p q m) .
′ = − µ

′µ = + − µ
 (6.65) 
Do h > 0 nên p’ = 0 khi và chỉ khi 1 – µ = 0. Do µ > 0 nên µ’ = 0 khi 
và chỉ khi p + q – m = 0. Vậy các ñường ranh giới của p’ = 0 và µ’ = 0 là 
các ñường sau: 
1
p m q.
µ =
= −
 (6.66) 
Theo (6.65) ta có: 
p h 0
′∂
= − <
∂µ
 và 0.
p
′∂µ
= µ >
∂
 (6.67) 
Trường hợp 1. Giả sử m = const. Do các ñường ranh giới là các 
ñường thẳng và dấu của các ñạo hàm riêng thu ñược như trong biểu thức 
(6.67) nên chúng ta có thể áp dụng các phân tích tương tự như trên hình 
VI.11d, với p’ ñóng vai trò của x’ và µ’ ñóng vai trò của y’. Do ñường 
ranh giới µ’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trái và phải với các dấu – 
và +, còn ñường p’ = 0 phân mặt phẳng thành hai phần trên và dưới với 
các dấu – và +, nên chiều mũi tên trên các quỹ ñạo pha là ngược chiều 
kim ñồng hồ. Lúc này ñiểm E có tọa ñộ p = m – q và µ = 1 chính là ñiểm 
nút trung tâm. Trên hình VI.12a, ta thấy: khi thời gian thay ñổi các ñiểm 
(p, µ) sẽ chạy vòng quanh E, tức là ñiểm cân bằng E (tại ñó p’ = 0 và µ’ 
= 0) sẽ không bao giờ xảy ra trừ khi nền kinh tế có xuất phát ñiểm tại E. 
Trường hợp 2. Giả sử m = m(p’), với m’(p’) < 0 do p’ càng tăng thì 
nhà nước sẽ ñiều chỉnh ñể m giảm (ñây là quy tắc thông thường trong 
việc ñiều chỉnh mức cung tiền tệ). Lúc này, (6.65) trở thành: 
p h(1 )
[p q m(p )] .
′ = − µ

′ ′µ = + − µ
 (6.68) 
Do ñó, các ñường ranh giới sẽ là: 
p 0 1
0 p m(p ) q.
′ = ⇔ µ =
′ ′µ = ⇔ = −
 (6.69) 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..183 
Theo (6.68) ta có: 
p h 0
′∂
= − <
∂µ
 và 0.
p
′∂µ
= µ >
∂
 (6.70) 
Từ phương trình thứ hai của (6.69), tức là trên ñường µ’ = 0, chúng ta có: 
dp dp
m (p ) m (p )( h) 0.
d d
′
′ ′ ′ ′= = − >
µ µ
Theo ñịnh lí hàm ngược, trên ñường µ’ = 0 sẽ có dµ/dp > 0. Lúc này, 
với p’ ñóng vai trò của x’ (ñường ranh giới p’ = 0 chính là ñường thẳng 
nằm ngang µ = 1), với µ’ ñóng vai trò của y’, chúng ta có thể áp dụng các 
phân tích tương tự như trên hình VI.11c. Do ñường ranh giới µ’ = 0 phân 
mặt phẳng thành hai phần trái và phải với các dấu – và +, còn ñường p’ = 
0 phân mặt phẳng thành hai phần trên và dưới với các dấu – và +, nên 
chiều mũi tên trên các quỹ ñạo pha là ngược chiều kim ñồng hồ. Lúc này 
ñiểm E có tọa ñộ p = m(0) – q (do p = m(p’) – q = m(0) –q khi p’ = 0) và 
µ = 1 chính là nút tiêu ñiểm. Trên hình VI.12b, ta thấy: khi thời gian thay 
ñổi các ñiểm (p, µ) sẽ chạy vòng quanh và cuốn vào ñiểm E, tức là ñiểm 
cân bằng E (tại ñó p’ = 0 và µ’ = 0) sẽ ñạt ñược sau một thời gian ñủ lớn. 
1 p’ = 0 
µ’= 0 
E 
m – q 
– 
+ 
– + 
Hình VI.12a 
µ’= 0 
1 E 
m(0) – q 
– 
+ 
– + 
Hình VI.12b 
p’= 0 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..184 
Chú ý. ðể phân tích ñịnh lượng mô hình (6.62), hệ (6.62) có thể ñược 
tuyến tính hóa bằng cách áp dụng khai triển Taylor cho tới vi phân toàn 
phần cấp một tại ñiểm cân bằng E( x, y ). Lúc ñó ta có hệ phương trình 
tương ñương sau ñây: 
x y x y
x y x y
x f (x, y)x f (x, y)y f (x, y)x f (x, y)y
y g (x, y)x g (x, y)y g (x, y)x g (x, y)y.
′ − − = +

′
− − = +
 (6.71) 
Bằng cách phân tích nghiệm bù của hệ (6.71) nhận ñược thông qua 
giải hệ thuần nhất 
( )
x y
x y
x,y
f fx x 0
y g g y 0
 ′     
− =      
′       
 (6.72) 
chúng ta có thể khảo sát ñược tính ổn ñịnh ñộng của nghiệm của hệ (6.62). 
Bài tập Chương VI 
Bài 1. Hãy tìm mức giá cân bằng liên thời và cho biết nó có ổn ñịnh ñộng 
không, nếu biết các hàm cung cầu trong mô hình Cobweb sau ñây: 
Qdt = 18 – 3Pt, Qst = –3 + 4Pt–1, 
Qdt = 19 – 6Pt, Qst = –5 + 6Pt–1. 
Bài 2. Xét mô hình thị trường ñược biểu diễn bởi hệ phương trình sai 
phân sau: 
dt st
dt t
st t
t t 1 t 1 t 1
Q Q
Q P ( , 0)
 Q P ( , > 0)
P P (P P ) (0 < 1).
∗
∗ ∗ ∗
− − −
=

= α − β α β >

= −γ + δ γ δ

= + η − η ≤
Trong mô hình trên: tP
∗
 là kì vọng giá tại giai ñoạn t, phương trình 
thứ tư mô tả tính “thích nghi” của kì vọng giá. 
Phát biểu ý nghĩa kinh tế của phương trình thứ tư. 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..185 
Hãy cho biết mô hình Cobweb (6.8) có phải là trường hợp riêng của 
mô hình trên hay không? 
Chứng tỏ rằng mô hình ñã cho có thể ñược biểu diễn bởi phương 
trình sai phân: ( ) ( )t 1 tP 1 / P / .+ − − η − ηδ β = η α + γ β 
 Tìm ñường quỹ ñạo thời gian của giá cả và chứng minh rằng: nếu 1 
– 2/η < –δ/β thì ñường biến ñộng giá cả có dạng dao ñộng tắt dần. 
Bài 3. Xét mô hình thị trường với hàng tồn kho: 
dt t
st t
t 1 t st dt
dt st
Q 21 2P 
Q 3 6P 
P P 0,3(Q Q ) 
Q Q .
+
= −

= − +

= − −
 =
Hãy tìm quỹ ñạo thời gian của giá cả Pt và cho biết nó có dạng hội tụ 
hay không? 
Bài 4. Xét mô hình thị trường với hàng tồn kho: 
dt t
st
t 1 t st dt
dt st
Q P (
Q k
P P (Q Q ) (
Q Q .
+
= α −β α β

=

= − σ − σ
 =
víi , > 0)
víi > 0)
Hãy khảo sát sự biến ñộng của giá cả theo thời gian. Cần ñưa ra ñiều 
kiện nào cho tham số k ñể mô hình có ý nghĩa? 
Bài 5. Giả sử ñường pha (xem lại mục 2.3) có dạng chữ U ngược và cắt 
ñường phân giác của góc phần tư thứ nhất tại hai ñiểm phân biệt L (bên 
trái) và R (bên phải). Hãy cho biết: 
Trường hợp này có dẫn tới nhiều ñiểm cân bằng hay không? 
ðường quỹ ñạo thời gian yt có dạng như thế nào nếu giá trị ban ñầu 
y0 nằm giữa L và R? bên trái L? bên phải R? 
Có thể ñưa ra kết luận như thế nào về tính ổn ñịnh ñộng của các mức 
cân bằng tại L và tại R? 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..186 
Bài 6. Giá trị xoắn k (hoành ñộ của giao ñiểm giữa ñường giá Pt+1 = f(Pt) 
và ñường Pt+1 = ˆP ) cho phép tìm Pt+1 trong mô hình thị trường với giá 
trần như sau: 
 Pt+1 = 
t
t t
ˆP (khi P k)
P (khi P k).
≤
α + γ δ
− >β β
Hãy chứng minh rằng: ˆk P.α + γ β= −
δ δ
Bài 7. Xét mô hình tương tác với nhân tử tăng tốc Samuelson và hình 
VI.9. Hãy cho biết các cặp giá trị (α, γ) sau ñây thuộc vào vùng nào (từ 
1C cho tới 4D) và mô tả ñịnh tính các quỹ ñạo thời gian tương ứng của 
mức thu nhập quốc dân Yt: 
α = 3,5; γ = 0,8; 
α = 0,2; γ = 0,9. 
Hãy tìm phương trình các ñường quỹ ñạo thời gian với các cặp giá trị 
(α, γ) trong các câu a) và câu b). 
Bài 8. Hãy khảo sát tiếp các trường hợp 2 và 3: ∆ = 0 và ∆ < 0 khi giải 
phương trình sai phân (6.29): 
t 2 t 1 t
1 hj (1 j)(1 k ) 1 j(1 h) j kmp p p
1 k 1 k 1 k+ +
+ + − + β − − β
− + =
+ β + β + β . 
Từ ñó cho biết cần ñưa ra các ñiều kiện nào ñể mức tăng trưởng giá 
sẽ dần ổn ñịnh trong các trường hợp trên. 
Bài 9. Xét mô hình tương tác lạm phát – thất nghiệp với thời gian rời rạc 
sau ñây: 
 t t tp T U h= α − −β + pi (với α, β > 0, 0 < h ≤ 1) 
 t 1 t t tj(p )+pi − pi = − pi (với 0 < j ≤ 1) 
 t 1 t tU U k(m p )+ − = − − (với k > 0). 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..187 
Tìm phương trình sai phân ñối với pt và phân tích tính ổn ñịnh của 
nghiệm. 
Cho h = j = 1. Tìm các ñiều kiện ñể phương trình ñặc trưng rơi vào 
các trường hợp 1, 2 và 3 (tương ứng với ∆ > 0, ∆ = 0 và ∆ < 0). 
Bài 10. Xét mô hình cân ñối liên ngành ñộng hai ngành hàng “trễ một 
giai ñoạn” (6.44), với: 
A = 
1/10 4/10
3 /10 2/10
 
 
 
 và a) dt = 
t
t
(12 /10)
(12 /10)
 
 
  
 hoặc b) d(t) = 
t /10
t /10
e
2e
 
 
  
. 
Tìm các ñường quỹ ñạo thời gian với các ñiều kiện ban ñầu sau ñây: 
x1,0 = 187/39, x2,t = 72/13 (áp dụng hệ phương trình sai phân), 
x1(0) = 53/6, x2(0) = 25/6 (áp dụng hệ phương trình vi phân). 
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế ..188 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Alpha C. Chiang, Fundamental methods of mathematical economics, 
McGraw–Hill Book Company, New York, 1984. 
2. Alpha C. Chiang and Kevin Wainwright, Fundamental methods of 
mathematical economics, McGraw–Hill Book Company, New York, 2005. 
3. Michael W. Klein, Mathematical methods for economics, Addison–
Wesley Higher Education Group, 2002. 
4. Hoàng ðình Tuấn, Lí thuyết mô hình toán kinh tế (dành cho sinh viên 
ngành toán kinh tế và toán tài chính), Nxb. Khoa học và Kĩ thuật, 2003. 
5. Nguyễn Hải Thanh, Toán ứng dụng, Nxb. ðại học Sư phạm Hà Nội, 2005. 
6. Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa, Nxb. Bách khoa, ðại học Bách khoa 
Hà Nội, 2006. 
7. Nguyễn Hải Thanh, Một số vấn ñề về tính toán tối ưu trong lĩnh vực 
nông nghiệp, Tạp chí ứng dụng Toán học, Tập IV, Số 2, trang 33−50, 2006. 
8. Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hoàng ðình Tuấn, Giáo trình mô 
hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), Nxb. Giáo dục, 2002. 
9. Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hóa trong kinh tế, Nxb. 
Khoa học và Kĩ thuật, 1997.