Giáo trình Phần I: Các bài toán về đa thức

, ta cũng được hình 3 lá nhỏ hơn.
a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) 
của tam giác ABC để được hình 6 lá còn lại.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa phần cắt bỏ 
và diện tích của tam giác ABC.
Giải: cũng là tam giác đều 
nhận O làm tâm (vì cũng là các đường cao, đường trung tuyến của ). 6 chiếc lá chỉ có điểm chung duy nhất là O, nghĩa là không có phần diện tích chung.
Mỗi viên phân có góc ở tâm bằng 600, bán kính bằng đường cao tam giác đều. Gọi S1 là diện tích 1 viên phân. Khi ấy S1 = =(2-3).
Ta có: =.
Gọi S là diện tích 3 lá lớn, S' là diện tích 3 lá nhỏ. Khi ấy:
 S =6S1 =(2-3)=(2-3). 
Gọi cạnh tam giác đều là b, tương tự ta cũng có:
 S'=(2-3) =(2-3).
Tổng diện tích 6 lá là: S + S' = (2-3)().
Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) là S''.
 S''=-(S + S')=- (2-3)(.
Tính : 33.3334(481.0290040)
Tính S'' : 73851233.33(229.4513446)
Vậy S'' 229,45 cm2.
ấn tiếp phím để tính : Kết quả: 47.70 
Đáp số: S'' 229,45 cm2; 47,70 %.
 Phần VI. Hình học không gian
Bài 15. (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996, vòng trường, lớp 10)
 1) Tính thể tích của hình cầu bán kính .
 2) Tính bán kính của hình cầu có thể tích .
Giải: 1) Ta có công thức tính thể tích hình cầu: .
Tính trên máy: 3.173343(133.8131596)
 2) Từ công thức suy ra .
áp dụng: 3137.45413(3.20148673)
Đáp số: ; .
A
B
C
D
I
G
Bài 16. (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB)
Tính góc trong phân tử mêtan (: Hydro, : Carbon). 
Giải: Gọi là tâm tứ diện đều cạnh là , là tâm 
tam giác đều. Góc trong phân tử mêtan chính là 
góc của tứ diện . Khi ấy ta có: . 
Suy ra 
 và . Gọi là điểm giữa . Khi ấy .
Tính:232()
Đáp số: .
Bài 17. (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB)
Cho hình chóp tứ giác đều , biết trung đoạn , góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích.
A
B
C
D
S
H
M
Giải: Gọi cạnh đáy của chóp tứ giác đều là , chiều cao là , là góc giữa cạnh bên và đáy. Khi ấy hay . Mặt khác,
 hay .
Suy ra và .
Thể tích tứ diện được tính theo công thức: 
.
Tính trên máy:
4233.41534217
1232(15.795231442)
Đáp số: .
 Phần VII. Phương pháp lặp giải gần đúng 
 phương trình 
Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng . Giải phương trình bằng phương pháp lặp gồm các bước sau: 
1. Đưa phương trình về phương trình tương đương . 
2. Chọn làm nghiệm gần đúng ban đầu. 
3.Thay vào vế phải của phương trình ta được nghiệm
gần đúng thứ nhất . Thay vào vế phải của phương 
trình ta được nghiệm gần đúng thứ hai . Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng
, , , ,...,, ...
Nếu dãy các nghiệm gần đúng , hội tụ, nghĩa là tồn tại thì (với giả thiết hàm là liên tục trong khoảng ) ta có:
.
Chứng tỏ là nghiệm đúng của phương trình và do đó cũng là nghiệm đúng của phương trình .
Tính hội tụ: Có nhiều phương trình dạng tương đương với phương trình . Phải chọn hàm số sao cho dãy xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm. Ta có tiêu chuẩn sau.
Định lý. Giả sử là khoảng cách ly nghiệm của phương trình và phương trình tương đương với phương trình . Nếu và là những hàm số liên tục sao cho thì từ mọi vị trí ban đầu dãy xây dựng theo phương pháp lặp sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất trong khoảng của phương trình . 
Thí dụ 1. Giải phương trình .
Phương trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng và tương đương với
. Do có đạo hàm thỏa mãn điều kiện trong khoảng nên dãy lặp hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo hàm : 
1
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? 
Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu bằng cách bấm phím . 
Khai báo dãy xấp xỉ : 
1
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là .
Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì có đạo hàm nên nó đồng biến trên 
toàn trục số. Hơn nữa, , nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng . 
Phương trình đã cho tương đương với . 
Đặt thì nên . 
Do đó dãy lặp hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo : 3
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? 
Khai báo giá trị ban đầu : 12 và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến
.
Vậy nghiệm gần đúng là .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu : 12 và bấm phím . 
Khai báo dãy xấp xỉ : 3
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là 
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bước lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đưa phương trình về dạng thì có đạo hàm không thỏa mãn điều kiện 
nên ta chưa thể nói gì được về sự hội tụ của dãy lặp.
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát ([2], trang 62) thì cần nhiều bước lặp hơn.
Dùng lệnh solve để giải phương trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
 -LambertW(exp(3)) + 3
Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW. 
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh:
> evalf(",30);
 .79205996843067700141839587788 
Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì là một hàm đồng biến ngặt trên . Hơn nữa và nên phương trình có duy nhất nghiệm trên khoảng . 
Phương trình đã cho tương đương với . 
Vì nên với mọi nên dãy lặp hội tụ.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo : 
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu : 
12 và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . Vậy nghiệm gần đúng là .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: 
Khai báo giá trị ban đầu : 12 và bấm phím . 
Khai báo : 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy nghiệm gần đúng là .
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì có đạo hàm và chỉ bằng tại một số điểm rời rạc nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do và nên phương trình có duy nhất nghiệm trong khoảng . 
Hiển nhiên với mọi với đủ nhỏ nên dãy hội tụ trong khoảng .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
ấn phím (tính theo Radian). 
Khai báo : 
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến .
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS: 
Bấm phím (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS. 
Khai báo giá trị ban đầu : 1.5 và bấm phím . 
Khai báo : 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Thí dụ 5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình .
Vì , , , và là phương trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng , ,. 
Phương trình trên tương đương với . Xét khoảng .
 Đặt . Ta có nên dãy hội tụ trong khoảng .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
ấn phím (tính theo số thực). 
Khai báo : 31
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu : 1 và bấm phím . 
Khai báo : 31
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy một nghiệm gần đúng là .
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phương trình bậc hai ta tìm được hai nghiệm còn lại là: và .
Chú ý: Để tính nghiệm ta không thể dùng phương trình tương đương như trên vì không thỏa mãn điều kiện trong khoảng và dãy lặp không hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu và thực hiện dãy lặp theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới ). 
Nhận xét 1: Có thể giải phương trình trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chương trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau: 
Vào giải phương trình bậc ba: 
Khai báo hệ số: 
Máy hiện đáp số . 
Bấm tiếp phím , máy hiện .
Bấm tiếp phím , máy hiện .
Vậy phương trình có ba nghiệm thực 
;; .
Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành (chính xác đến ). 
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành chính là nghiệm của phương trình .
Vì , , , và nên phương trình có 3 nghiệm trong các khoảng ,và .
Phương trình tương đương với . 
Đặt thì và . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Bấm phím (tính theo số thực). 
Khai báo : 31
Bắt đầu tính toán bằng máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu và bấm phím . 
Sau đó thực hiện dãy lặp ta đi đến nghiệm .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu : 2.7. 
Khai báo : 31
Sau đó thực hiện dãy lặp ta cũng đi đến . 
Vậy một nghiệm gần đúng là .
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng phương pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng phương pháp lặp.
Bài tập
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau đây:
1) ; 	2) ; 	3) .
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996). 
Giải phương trình (tìm nghiệm gần đúng của phương trình):
1) ;	 2) ;	 3);
4); 	5); 	6); 
7) ; 	8) ; 	9) Cho . 
Tìm một nghiệm gần đúng của ;
(Câu hỏi thêm cho trường chuyên Lê Hồng Phong): 
10a) ; 10b) .
Bài tập 3 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996). 
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình: 
1) ; 	 2) ; 	 	 3) ;
4) ; 	5) ; 	6) ;
7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của phương trình: ;
8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: .
Bài tập 4 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998). 
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình:
1) ;	2) ; 	3) ; 	4) .
Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998). 
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình:
1) ; 	 2) ;
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của phương trình: ;
4) (Câu hỏi thêm cho trường chuyên Lê Hồng Phong):
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình .
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình trên máy tính điện tử bỏ túi: 
; 	2) ; 	3);
4) ; 	5) ; 	 6) ; 
7) ;	8) ; 	9) ;
; 	11) ; 	12); 
13); 	14) ; 	15) 
16) ;	17) ; 	18) ; 	
19) ; 	20) ; 	21); 22) .