Giáo trình Tổ hợp và xác suất

 phối phối xác suất của X 
X 1 2 3 
P 11
120
79
120
1
4
Kì vọng E(X) = 
11 79 1 2591 2 3
120 120 4 120
× + × + × = 
2.65. a) Được bi đỏ thì X = 12 + 16 = 28 
Được bi trắng thì X = 12 – 12 = 0 
Tổ hợp và xác suất 55
Được bi xanh : - được bi đỏ thì X = 12 + 8 = 20 
 - được bi trắng thì X = 12 – 2 = 10 
 - được bi xanh thi X = 12 + 0 = 12 
Vậy X { }0,10,12, 20, 28∈ 
b) P(X = 28) = 
3 1
12 4
= , P(X = 0) = 4 1
12 3
= , P( X = 20) = 23 5 512 48
× = , 
P( X = 10) = 2
4 5 5
12 36
× = , P(X = 12) = 25 25( )
12 144
= 
X 0 10 12 20 28 
P 1
3
5
36
25
144
5
48
1
4
c) Kì vọng E(X) = 
1 5 25 5 10 10 12 20 28 12,55
3 36 144 48 4
× + × + × + × + × = 
2.66. Gieo 2 con xúc sắc cùng một lúc ta có các trường hợp sau đây: 
 1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
Số trường hợp tổng hai nút xuất hiện lớn hơn hay bắng 8 là 15 
 P = 
12
5
36
15 = 
Ta có { }5,4,3,2,1∈X và P(X = k) = kkC )
12
5(5 với k = 1,2,3,4,5 
Vậy E(X) = 
12
25
12
55 =× 
2.67. Theo định nghĩa ta có : 
2 2 2
1 1
( ) ( ) ( 2 )
n n
i i i i i i i
i i
D X x p x p x p pμ μ μ
= =
= − = − +∑ ∑ với 
1
n
i i
i
x pμ
=
=∑ 
 = 2 2
1 1 1
2
n n n
i i i i i
i i i
x p x p pμ μ
= = =
− +∑ ∑ ∑ 
Tổ hợp và xác suất 56
vì 
1
1
n
i
i
p
=
=∑ 
Vậy D(X) = 2 2
1
n
i i
i
x p μ
=
−∑ 
2.68. E(X) = 1,40 kg cà chua 
D(X) = 0,64 
2.69. Cuôc chơi vô tư khi giá bán mỗi vé số bằng kì vọng của giải trúng 
E(X) = (1/1000)(500 + 2.100 + 50.10 ) = 1,20 
Vậy mỗi vé bán 1200 đồng thì cuôc chơi vô tư 
2.70. a) Xác suất để có ít nhất một tai nạn là biến cố đối của biến cố không xảy ra tai 
nạn nào .Vậy P = 1 – 0,2 = 0,8 
b) E(X) = 0×0,2 + 1×0,15 + 2×0,1+ 3×0,3+4×0,2 + 5×0,05 = 1,05 
 D(X) = 02 ×0,2 + 12 ×0,15 + 22 ×0,1 + 32 ×0,3 + 42 ×0,2 + 52 ×0,05 –[E(X)]2 
 = 6,6 
σ (X) = ( )D X = 2,56 
2.71. a) P(A) = 7 7 310 (0,75) (0,25) 0,25C × × = 
P(B) = 1 – (0,25)10 = 1 
b) X { }0,1, 2,3, 4,5∈ 
X 0 1 2 3 4 5 
P (0,25)5 15C × (0,75) 
× (0,25)4 
2
5C × (0,75)2
× (0,25)3 
3
5C × (0,75)3
× (0,25)2 
4
5C × (0,75)4 
× (0,25) 
(0,75)5 
E(X) = 0× (0,25)5 + 1×5× (0,75) × (0,25)4 + 2×10× (0,75)2 × (0,25)3 
 + 3×10× (0,75)3 × (0,25)2 + 4×5× (0,75)4× (0,25) + 5× (0,75)5 
D(X) = E(X2) – [E(X)]2 
2.72. a) P = 1 – (0,4)2 = 0,84 
b) Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X 
X 0 1 2 3 4 5 
P 0,01 0,07 0,23 0,35 0,26 0,08 
E. Câu hỏi trắc nghiệm cuối chương 
Câu 1 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? 
(I) Nếu A và B là 2 biến cố đối nhau thì P(A) + P(B) = 1 
Tổ hợp và xác suất 57
(II) Nếu P(AB) = 0 thì A và B là hai biến cố xung khắc 
 (III) Nếu P(A) > 0 và P(B) > 0 thì A và B là hai biến cố độc lập 
a) Chỉ (I) b) chỉ (I) và (II) c) chỉ (III) d) cả 3 (I) (II) (III) 
Câu 2 . Cho P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 và P(AB) = 0,3 thì câu nào sau đây đúng? 
b) A và B là hai biến cố xung khắc 
c) A và B là hai biến cố độc lập 
d) A và B là hai biến cố không độc lập và không xung khắc 
e) A và B là hai biến cố đối 
Câu 3 . Rút ngẫu nhiên một là bài trong cổ bài 32 lá.Xác suất để được lá già hay lá 
bích là : 
a) 
1
4
 b) 
11
32
 c) 
1
16
 d) đáp số khác 
Câu 4 . Gieo 3 con xúc sắc cùng một lúc.Xác suất để đựợc số 421 là: 
a) 
1
36
 b) 
1
16
 c) 0,7 d) đáp số khác 
Câu 5. Rút ngẫu nhiên 8 là bài trong cổ bài 32 lá thì xác suất để được ít nhất một lá xì 
là : 
a) 0,3 b) 0,5 c) 0,7 d) 0,2 
Câu 6 :Xác suất để sanh con trai và con gái bằng nhau .Môt cặp vợ chồng đã có một 
cháu gái thì xác suất để có cháu gái thứ hai là bao nhiêu? 
a) 0,5 b) 0,25 c) 0,4 d) không tính được 
 Câu 7 Trong trò chơi gieo ngẫu nhiên đồng xu nhiều lần liên tiếp,hỏi phải gieo bao 
nhiêu lần để xác suất được mặt ngửa nhỏ hơn 1/100 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 
Câu 8 Trong một nhóm 100 học sinh trong đó 10 học sinh giỏi Toán 8 học sinh giỏi 
Văn và 2 học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn . Chọn ngẫu nhiên một học sinh .Xác 
suất để học sinh đó giỏi Văn biết rằng học sinh đó giỏi Toán là : 
 a) 0,3 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,5 
Câu 9 : Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau: 
X 0 1 2 3 
P 0,03 0,27 0,48 0,22 
Kì vọng E(X) gần bằng số nào sau đây : 
a) 1,20 b) 2,1 c) 2,2 d) 1,89 
Câu 10 : Gieo ngẫu nhiên một đồng xu . Gọi X là biến ngẫu nhiên bằng số lần mặt 
ngửa xuất hiện thì phương sai của X là : 
a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5 d) số khác 
Tổ hợp và xác suất 58
Câu 11 : Môt xúc sắc được gieo 6 lần .Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 4 
hiện ra ít nhất 5 lần là : 
a) 6
1( )
2
 b) 6
16 ( )
2
× c) 617 ( )
2
× d) số khác 
Câu 12 : Trong hệ trục Oxy chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có trị 
tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 3 .Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau 
thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc O nhỏ hơn hoặc bằng 1 là 
: 
a) 
5
49
 b) 
5
81
 c) 
5
64
 d) số khác 
Câu 13 . Ba thẻ đánh số 1,2,3 được bỏ vào bình .Rút ra một thẻ và ghi số của nó sau đó 
trả thẻ này vào bình.Tiến trình được lập lại hai lần nữa.Biết mỗi thẻ đều có cơ hội được 
rút như nhau . Nếu tổng ba số ghi được ở 3 lần rút là 7 thì các suất để rút được thẻ số 3 
hai lần là : 
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) số khác 
Câu 14 Xác suất để biến cố A xảy ra là 0,75 ; xác suất để biến cố B xảy ra là 0,66.Gọi 
x là xác suất để cả hai A và B cùng xảy ra.Giá trị nhỏ nhất của x là : 
a) 0,41 b) 0,3 c) 0,35 d) 0,2 
Câu 15 Gieo một con xúc sắc ba lần liên tiếp biết rằng tổng số trong hai lần gieo đầu 
bằng số thứ ba .Xác suất để có ít nhất mộtsố 3 xuất hiện là : 
a) 
8
15
 b) 
1
4
 c) 
7
12
 d) 
7
15
Câu 16 Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc liên tiếp .Xác suất để được số 6 là trong lần 
gieo thứ 3 là : 
a) 3
1( )
6
 b) 2
5 1( )
6 6
× c) 25 1( )
6 6
× d) số khác 
Câu 17 Giáo viên chủ nhiệm chọn một học sinh trong lớp làm trưởng lớp .Mỗi học sinh 
đều có cơ hội được chọn ngang nhau và xác suất để một nữ sinh được chọn bằng ¼ xác 
suất để một nam sinh được chọn .Tỉ số giữa số nam sinh trong lớp và số học sinh của 
lớp là : 
a) 
4
5
 b) 
3
4
 c) 
2
5
 d) số khác 
Câu 18 Một túi đựng 36 hạt bắp trắng và 12 hạt bắp vàng .Biết rằng chỉ có ½ số hạt 
bắp trắng khi rang sẽ nở tung và 2/3 số hạt bắp vàng nở tung .Chọn ngẫu nhiên một 
hạt bắp trong túi ,đem rang nó nở tung thì xác suất để hạt bắp đã chọn là hạt trắng 
bằng : 
a) 
2
3
 b) 
4
7
 c) 
9
13
 d) 
5
9
Tổ hợp và xác suất 59
Câu 19 Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong nhóm 7 học sinh có 2 anh em. 
 Xác suất để hai anh em được chọn là : 
a) 0,29 b) 0,40 c) 0,72 d) 0,15 
Câu 20 Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 10 nữ sinh.Giáo viên toán chọn ngẫu 
nhiên 3 học sinh để hỏi bài.Xác suất để có đúng hai học sinh trong ba học sinh được 
hỏi bài gần bằng số nào nhất : 
a) 0,4 b) 0,45 c) 0,47 d) 0,50 
Đáp số 
1b 2c 3b 4a 5c 6a 7b 8b 9d 10c 
11c 12a 13b 14a 15d 16b 17a 18c 19a 20c 
Hướng dẫi giải 
1b (I) và (II) đúng 
2c A và B là hai biến cố không xung khắc vì P(AB) = 0,3 ≠ 0 
A và B là hai biến cố không độc lập vì P(AB) ≠ P(A)×P(B) 
3b Được lá già hay lá bích có 11 trường hợp xảy ra.Vậy P = 
11
32
4a Gieo 3 con xúc sắc liên tiếp thì không gian mẫu là 63 
Số trường hợp xảy ra là số hoán vị { }1, 2, 4 
Vậy P = 
3! 1
6! 36
= 
5c Xác suất để được 8 lá bài không có lá xì là P1 = 
8
28
8
32
C
C
Vậy xác suất để được ít nhất một lá xì là P = 1 – P1 = 0,7 
6a Xác suất là 0,5 
7b Xác suất để gieo n lần được mặt ngửa là 
1( )
2
n < 1/100 
Vậy n = 7 vì (1/2)7 = 0,0078 
 8b P = 0,2 
 9d E(X) = 1,89 
10c D(X) = 0,5 
11c Gọi A là biến cố được ít nhất bằng 4 là 
3 1
6 2
= .Trong 6 lần gieo xác suất để A hiện 
ra 6 lần là (
1
2
)6 
Xác suất để được A đúng 5 lần và hỏng một lấn là : 5 6
1 1 16 ( ) 6 ( )
2 2 2
× × = × 
Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 4 ít nhất 5 lần trong 6 lần gieo là 
Tổ hợp và xác suất 60
617 ( )
2
× 
12a Có 7×7 = 49 điểm mà trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 3 trong đó 5 điểm cách O 
một khoảng nhỏ hơn hay bằng 1 
Vậy xác suất là 
5
49
13b Tổng số bằng 7 xuất hiện trong các trường hợp (1,3,3) , (3,1,3) , (3,3,1) , (2,2,3) 
,(2,3,2) , (3,2,2) .Do đó xác suất để được hai lần thẻ số 3 là 
3 0,5
6
= 
 14 a Ta có P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,75 + 0,66 - x 
 mà 0,75 ≤ P(A∪B) ≤ 1 ⇔ 0,75 ≤ 0,75 + 0,66 – x ≤ 1 
⇔ 0,41≤ x≤ 0,66 
 15d Có 15 trường hợp trong đó tổng số trong hai lần gieo đầu bằng số thứ ba : 
 (1,1,2) ; (2,1,3) ; (3,1,4) ; (4,1,5) ; (5,1,6) ; (1,2,3) ; (2,2,4) ; (3,2,5) ; (4,2,6) ; 
 (1,3,4) ; (2,3,5) ; (3,3,6) ; (1,4,5) ; (2,4,6) ; (1,5,6) 
Có 7 lần xuất hiện ít nhất số 3 .Vậy P = 
7
15
16b P = 2
5 1( )
6 6
× ( 2 lần đầu không được và lần thứ ba được số 6) 
17a Gọi s là số học sinh trong lớp và n là số nam sinh thì s – n là số nữ sinh 
Theo giả thiết 
1
4
s n n
s s
− = × Vậy 4
5
n
s
= 
18c Số hạt bắp nở tung là 26 .Do đó xác suất để số hạt bắp nở tung là hạt trắng 
là P = 
18 9
26 13
= 
19a Ta có P = 
2
5
4
7
C
C
= 0,29 
20c Ta có : P = 
2 1
20 10
3
30
0, 47C C
C
× =