Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 7 giải dạng toán Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

hông âm do |A(x)|≥ 0 và |B(x)|≥ 0). Để học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được.
Phương pháp giải:
Cách 1: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối.
Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)
Ví dụ:
Ví dụ1: Tìm x biết |x+3| =|5-x|
|x+3| =|5-x|
Vậy x = 1
Ví dụ 2: Tìm x biết: |x-3| + |x+2| =7	
Bước 1: Lập bảng xét dấu:
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x – 3 = 0 => x = 3 ; x + 2 = 0 => x = -2
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn.
 Ta có bảng sau:
x
 -2 3
x – 3
 -
 - 0 +
x + 2
 - 0 + 
 +
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến. Khi xét các trương hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A>0 (ví dụ xét khoảng - 2<3)
 Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:
 + Nếu x<- 2 ta có x- 3<0 và x + 2<0
 nên ỗx- 3ờ= 3- x và ờx + 2ờ= -x – 2
Đẳng thức trở thành: 3- x – x –2 = 7
 -2x + 1 = 7
 -2x = 6
 x = -3 ( thoả mãn x<-2)
 + Nếu 2x<3 ta có ỗx- 3ỗ= 3- x và ỗx+ 2ỗ= x + 2
Đẳng thức trở thành: 3- x + x +2 = 7
 0x + 5 = 7 (vô lí)
 +Nếu x3 đẳng thức trở thành:
 x- 3 + x + 2 = 7
 2x – 1 = 7
 2x = 8
 x = 4 (thoả mãn x3)
 Vậy x = -3 ; x = 4
Lưu ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi cách giải. ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối (để nên ý thức lựa chọn phương pháp giải).
Ví dụ3: Tìm x biết:
 | x-1| -2| x-2| +3| x-3| = 4
Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trường hợp xảy ra, dài và mất nhiều thời gian. Còn giải bằng cách 2 thì nhanh gọn hơn rất nhiều, vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy ngay có 4 trường hợp xảy ra. Mặt khác, với cách giải 2 ( lập bảng xét dấu ) xẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng qui tắc lập bảng. Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp ³ trong khi xét các trường hợp xảy ra để thỏa mãn biểu thức ³ 0 ( tôi đưa ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ).
Ví dụ 4 : Tìm x biết | x-4 | + | x-9 | =5 
Lập bảng xét dấu 
x
4
9
x - 4
 - 0
+
+
x - 9
 -
-
 0 +
Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với x ³ 9 thì đẳng thức trở thành 
x-4+x-9 =5
x=9 thỏa mãn x ³ 9, như Vậy Nếu không kết hợp với x= 9 để x-9=0 mà chỉ xét tới x > 9 để x-9 > 0 thì xẽ bỏ qua mất giá trị x=9 
Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0
Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào?(cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
Phương pháp giải:
Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0.
Ví dụ:
Tìm x biết:
a) |x+3|+|x2+x| =0
 b)|x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
Bài giải:
a) 	|x+1| +|x2+x| = 0
	=> |x+1| = 0 và |x2+x| =0
	+ Xét |x+ 1| = 0 => x+1 = 0 => x= -1 (*)
	+ Xét |x2+x|= 0 => x2+ x = 0 => x(x+1) = 0
	=> x = 0 hoặc x+ 1 = 0
	=> x = 0 hoặc x = -1 (**)
	Từ (*) và (**) suy ra x = -1
b) |x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
	=> |x2-3x| = 0 và |(x+1)(x-3)| =0
 	=> x2- 3x = 0 và (x+1)(x-3)| = 0
+ Xét x2- 3x = 0 => x(x-3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3 (*)
+ Xét (x+1)(x-3) = 0 => x+1 = 0 hoặc x-3 = 0 => x= -1 hoặc x = 3 (**)
Từ (*) và (**) ta được x = 3
Lưu ý: 
ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải khi kết luận giá trị tìm được thì giá trị đó phải thoả mãn cả hai đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0.
Dạng mở rộng:
Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
 Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
Cách tìm phương pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trước hết tôi cũng hướng dẫn học sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách nào? Phải qua mấy lần? Và áp dụng các bỏ dấu giá trị tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ ngoài vào trong để đưa bài tập từ phức tạp đến đơn giản.)
Phương pháp giải:
Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong. Tuỳ theo đặc điểm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì ta áp dụng pgương pháp của dạng cơ bản đó.
Ví dụ:
Tìm x biết:
||x-5| +9|=10
||4-x|+|x-9||=5
Bài giải:
||x-5| +9|=10
=>|x-5| + 9 = 10 hoặc |x-5|+ 9 =-10
+ Xét |x-5| + 9 = 10 => |x-5| = 1 => x – 5 = 1 hoặc x – 5 = -1
=>x= 6 hoặc x = 4
+ Xét |x-5|+ 9 =-10 =>|x-5|=-19( loại vì |x-5|³ 0)
Vậy x = 6 hoặc x = 4.
||4-x|+|x-9||=5 (dạng |A| =m³0)
=>|4-x|+|x-9| = 5 hoặc |4-x|+|x-9|=-5
*Xét |4-x|+|x-9| = 5(1) ( Dạng chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối không rơi vào dạng đặc biệt).
Lập bảng xét dấu:
x
4
9
4 – x
 + 0 -
-
x – 9
 -
-
0
+
Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra:
+ Với x Ê4 Ta có |4-x|= 4 –x và | x-9| = 9 –x thì (1) trở thành: 
4-x + 9 –x = 5
	13 -2x = 5
	 x = 4(TM)
+ Với 4<x<9 thì ta có: |4-x|=x-4 và |x-9|=9- x khi đó (1) trở thành:
x-4+9 –x = 5 => 5 = 5 (thoả mãn với mọi x)=> 4<x<9
+ Với x≥9 ta có: |4-x|=x-4 và |x-9|= x-9 khi đó (1) trở thành:
x-4 + x-9 = 5 => 2x -13 = 5 => x=9(TM)
Vậy 4≤x ≤ 9
*Xét |4-x|+|x-9|=-5 . Điều này không xảy ra vì |4-x|+ |x – 9|≥ 0
 Vậy 4≤x ≤ 9
Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên:
Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này có nên dùng cách xét các giá trị của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không? ( Không nên dùng vì cách đó rất lâu mà lại rối), vậy nên phá các giá trị tuyệt đối bằng cách nào nhanh , gọn hơn? ( Lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối).
Phương pháp giải: 
	Với dạng này học sinh nên xét các khoảng giá trị, lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ:
 Tìm x biết: | x-1| -2| x-2| +3| x-3| = 4 (1)
Bài giải :
Xét x- 1 = 0 => x = 1; x – 2 = 0 => x = 2; x – 3 = 0 => x = 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1; x-2; x-3 sau:
x
 1 2 3
x-1
 - 0 +
 +
 +
x-2
 -
 - 0 +
 +
x-3
 -
 -
 - 0 +
*Xét: x≤1 (1)=> 1-x -2(2 – x) + 3( 3 – x) =4
	 1 –x – 4 + 2x + 9 – 3x = 4 => x =1( TM)
*Xét 1 x-1-2(2-x)+3(3-x) =4 => x-1-4+2x+9-3x = 4 =>0x=0(Thoả mãn với mọi x) => 1<x≤2
*Xét 2 x- 1 -2(x-2)+ 3(3-x) =4=> x-1 -2x+4+9 -3x = 4 => x=2( loại)
*Xét x>3 (1) => x-1 -2(x-2)+3(x-3) = 4=> x-1- 2x + 4 +3x - 9 = 4 => x=5 (TM)
Vậy: 1 ≤ x ≤ 2 và x =5
3. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải:
Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh: 
Phương pháp giải dạng toán “tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”:
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất |A| = |-A| và |A| ³ 0 để giải các dạng |A|=|-A| và |A(x)| =|B(x)|, |A(x)| =B(x).
Phương pháp 2: Xét khoảng giá trị của biến(dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, thường sử dụng để giải đối với dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)|=|B(x)|+C( nhưng đây là dạng cơ bản nhất để giải loại toán này – phương pháp chung nhất).
Phương pháp 3: Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để xét các trường hợp xảy ra, áp dụng đối với đẳng thức chứa từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
Cách tìm tòi phương pháp giải: 
	Cốt lõi của đường lối giải bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đó là tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
+ Trước hết xác định được dạng bài rơi vào dạng đặc biệt không? (Có đưa về dạng đặc biệt được không). Nếu là dạng đặc biệt |A|=B (B³0) hay |A|=|B| thì áp dụng tính chất về giá trị tuyệt đối(giải bằng cách đặc biệt – phương pháp 1 đã nêu) không cần xét tới điều kiện của biến.
+ Khi đã xác định được dạng cụ thể nghĩ cách nào làm nhanh gọn hơn để lựa chọn.
Phần THứ BA: Kết luận Và KHUYếN NGHị
	Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh lớp tôi dạy đã biết cách làm các dạng bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách nhanh và gọn. Học sinh không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này. Cụ thể khi làm phiếu điều tra hai lớp 7A và 7B trường THCS Nậm Mười với đề bài sau:
Tìm x biết: 
|5x+4|+7 = 26
8 - |4x+1| = x+2
|17x-5|-|17x+5| = 0
Kết quả nhận được như sau: 
Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng dạng bài trên.
Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn.
Hầu hết đã trình bày được lời giải chặt chẽ.
Kết quả cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu và kém
7A
3
10%
5
16,7%
19
63,3%
3
10%
7B
2
6,9%
5
17,2%
18
62,1%
4
13,8%
	Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Những bài học đó là:
	1 – Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy.
	2 – Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó.
	3 – Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập. 
	4 – Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán.
	Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh khá, giỏi giải một dạng toán. Rất mong được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi có những kinh nghiệm nhiều hơn trong việc dạy các em học sinh giải toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nậm Mười, ngày 10 tháng 10 năm 2009
Người viết
Nguyễn Hữu Điệp
Tài liệu tham khảo
Vũ Hữu Bình – Nâng cao và phát triển Toán 7- NXB Giáo Dục – 2003
Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7- NXB Giáo dục – 2004
Sách giáo khoa Toán 7 – NXB Giáo dục – 2007
Vũ Hữu Bình – Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7- NXB Giáo dục – 2004.
Phụ lục:
Đánh giá, xếp loại của hội đồng khoa học cấp trường
Đánh giá, xếp loại của hội đồng khoa học cấp cơ sở