Ma trận pauli và phương trình trị riêng

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí MinhKhoa Vật LýMa Trận Pauli và Phương Trình Trị Riêng SVTH :Nguyễn Phước Nguyễn Thùy Dung Nguyễn Thị Minh Thơ Lớp : Lý NT - ĐNCác toán tử hình chiếu spin Sx, Sy,Sz của electron lên các trục tọa độ tuân theo các hệ thức giao hoán giống như đối với các toán tử hình chiếu momen xung lượng quỹ đạo Lx, Ly, Lz.Giới thiệu: Để xác định trạng thái nội tại của hạt, ngoài ba biến tọa độ x, y, z và thời gian t, ta đưa vào biến spin σ. Trang 1Ta đặt:Vớigọi là các ma trận Pauli. (1)Suy ra các ma trận Pauli là các ma trận vuông cấp 2 và có dạng:(2)Thay (1) vàozyxSSS222hhh===,,Trang 2Ta được các hệ thức giao hoán sau đối với các ma trận Pauli , vàVì( 3)Trang 3VìMà Tương tự( 4 )=>Trang 4Mặt khác, ma trận có dạng tổng quát:( 5) Nên từTa cóTrang 5Từ đó dễ dàng suy ra:VàNếu sử dụng thêm tính chất (5)Vì là toán tử ecmite là toán tử ecmitethì ta có , do đó Trang 6( 6 )α số thực bất kỳ, có thể chọn , khi đó ma trận Pauli ( 6 ) có dạng đơn giản Lập luận tương tự trên, ta có thể tìm được dạng của ma trậnTrang 7Với lưu ý việc xác định giá trị của β khi đã chọn bây giờ được tính nhờ=>=>=>Trang 8Từ hệ thứcTrang 9Cuối cùng, chú ý rằng:Nên toán tử bình phương momen spinCó dạng ma trận:Và trị riêng của toán tử bằng:VớiTrang 10Kết luận Vậy qua việc tìm ma trận pauli giúp chúng ta. Cho biết rõ về sự tự quay quanh trục của hạt, mà các chương trước chưa đề cập. Các ma trận pauli cho ta biến các trạng thái tồn tại của hạt, khi xét nội tại của hạt.Cho biết dạng của từng spin S lên các trục x, y, z. BÀI TẬP VÍ DỤElectron có spin ĐặtTìm hàm riêng và trị riêng của các ma trậnTrang 11GiảiKý hiệu là các hàm riêng và là các trị riêng của ta có:Ta tìm các hàm riêng dưới dạng: Trang 12Từ phương trình ta có: Từ đây suy ra:hayTrang 13ứng với giá trị thì và hàm riêng tương ứng là có dạng:Ứng với giá trị thì và hàm riêng tương ứng có dạng: Trang 14Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ( hoặc hoặc )Suy rahay( là số thực bất kỳ )Trong đó là những số thực bất kì.Vậy:Trang 15Từ phương trình ta có:Từ đây suy ra:vàTrang 16Khi ta có và khi ta có . Các hàm riêng ứng với và là và :Trang 17Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:Từ đây suy ra Tương tự, từ điều kiện suy raVậy:Trong đó và là những số thực bất kì.Trang 18Từ phương trình ta có: Ta có:Suy ra: vàTrang 19Khi đó ta có:Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:=>=>=>Khi =>Trang 20Suy raVới là những số thực bất kì.Vậy:Nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính từ các nghiệm và Trang 21Từ điều kiện chuẩn hóa Dễ thấy rằngTrong đó q, k, là những số thực bất kì.Trang 22Hàm riêng tổng quát có dạng:Trong đó α và β và là những số thực bất kì. Trong trạng thái này hình chiếu spin không có giá trị xác định. Xác suất của giá trị spin 1/2 trên trục z bằng và xác suất của giá trị spin -1/2 trên trục z bằng Trang 23TÀI LIỆU THAM KHẢOVŨ VĂN HÙNG: Nhà xuất bản Sư Phạm. HOÀNG DŨNG: Nhà xuất bản Giáo Dục. NGUYỄN HỮU MÌNH: Nhà xuất bản Giáo Dục GOOD LUCK!CÁM ƠN THẦY VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI