Phương pháp đưa về phương trình thuần nhất

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với x,y là phương trình có dạng , trong đó là các hằng số (đối với x,y). Cách giải : Ta xét trường hợp có phải là nghiệm hay không. Nếu , chia hai vế phương trình cho ta có phương trình (có bậc tối đa là 2) đối với . Giải phương trình này, ta tính được thương số . Cũng có thể làm tương tự với x.
Phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x,y là phương trình có dạng , trong đó là các hằng số (đối với x,y). Cách giải : Ta xét trường hợp có phải là nghiệm hay không. Nếu , chia hai vế phương trình cho ta có phương trình (có bậc tối đa là 3) đối với . Giải phương trình này, ta tính được thương số . Cũng có thể làm tương tự với x.
Bất phương trình có định nghĩa và cách giải tương tự
Điều đáng lưu ý là các phương trình và bất phương trình dạng này không có đề cập cụ thể trong Sách giáo khoa, nhất là thuần nhất bậc 3, cho nên đa số học sinh sẽ rất lúng túng khi gặp các dạng này. Bài viết này nhằm giúp đỡ học sinh bớt lúng túng khi gặp các dạng đó trong các kỳ thi Đại học.
Ví dụ 1: (A-2011): Giải hệ phương trình : 
Giải: Từ (2), bằng cách đưa về dễ dàng suy ra hoặc là .
Nếu , thay vào (1), ta dễ thấy .
Nhưng nếu , học sinh nào không thấy được rằng thay số 2 trong phương trình bỡi , ta được phương trình thuần nhất bậc 3 thì sẽ rất khó khăn cho việc giải tiếp theo !!! Thật vậy, nếu biết, ta sẽ có 
 (Thường thì hy vọng sẽ giải được phương trình bậc 3 bằng máy tính, có nghiệm tương đối “chẵn”)
Nếu , thay vào (1) ta có 
Nếu , thay vào (1), ta có 
Việc kết luận nghiệm dành cho bạn đọc
Ví dụ 2: (B-2012): Giải bất phương trình .
Giải (Theo tinh thần thuần nhất, dĩ nhiên đã có nhiều cách giải khác): ĐK: 
Đặt . Lúc đó bất phương trình trở thành (*) Nếu (không thỏa). Nếu thì (*) tương đương với (Với ). Kết hợp với điều kiện ta có đáp số . 
Ví dụ 3: (A-2010) Giải bất phương trình 
Giải: ĐK: . Nhận xét rằng nên mẫu số âm. Vậy Bất phương trình tương đương: . 
Đặt . 
Vậy Bất phương trình viết lại 
Ví dụ 4 : (Đại học khối D 2013) : Giải phương trình .
Giải : ĐK . BPT tương đương .
Nếu đặt thì ta có phương trình thuần nhất 
Tới đây bạn đọc tự giải tiếp.
Ví dụ 5: (Cao đẳng 2011): Giải phương trình .
Giải: ĐK: . BPT tương đương . Đặt thì và BPT viết lại . Đây là bất phương trình cơ bản của lớp 10, người đọc tự giải tiếp.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 
Giải: Hệ tương đương với . 
Đặt thì hệ tương đương với (thuần nhất bậc 3)
 với . Suy ra . Việc giải còn lại dành cho bạn đọc.
Ví dụ 7: Giải phương trình 
Giải: ĐK: . Đặt . Ta có 
Từ đó giải được các nghiệm .
BÀI TẬP
Giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau:
 . ĐK .
HƯỚNG DẪN: phân tích rồi đặt , ta có phương trình 
.
HƯỚNG DẪN: phân tích rồi đặt , ta có phương trình 
. ĐK .
Hướng dẫn: rồi đặt 
. 
Hướng dẫn rồi đặt. ta có phương trình 
Đào Văn Chánh
Giáo viên trường THPT TRẦN QUỐC TUẤN, Phú Yên