Phương pháp giải hệ phương trình Đại số luyện thi đại học

* Có dạng:

 

với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)

* Biến ñổi hệtheo x+y và x+y

Đặt S = x + y và P = xy

• Biến ñổi hệtheo S, P và giải hệtìm hai ẩn ñó

• Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt X2– SX + P = 0 ñểtìm x, y

• Chú ý: với m ỗi bài toán phức tạp ta tìm cách ñặt ẩn phụcho x, y

pdf48 trang | Chia sẻ: hainam | Lượt xem: 1426 | Lượt tải: 2download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Phương pháp giải hệ phương trình Đại số luyện thi đại học, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút TẢI VỀ ở trên


−
4
33
;
4
1
Ta có uuf 28)(/ −= 
 40)(/ =⇔= uuf 
Bảng biến thiên 
 x 
4
1
− 4 
4
33
)(/ xf + 0 - 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 40 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 )(xf 16 
16
33
− 
16
33
− 
Dựa vào bảng biến ta thấy hệ đã cho có ít nhất một nghiệm 16
16
33 ≤≤−⇔ m 
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình 




=+++
=+
)2(35
)1(3
myx
yx
Xác định m để hệ có nghiệm yx ≥ 
Giải: 
Điều kiện: 0;0 ≥≥ yx 
Đặt 0≥= yt 
Từ 96)1( 2 +−=⇒ ttx 
Khi đó (2) trở thành : )3(3146 22 mttt =+++− 
Do 0≥≥ yx nên 
2
33 ≤⇔≥−⇒≥ tttyx 
Do đó, 
2
30 ≤≤ t 
Hệ đã cho có nghiệm ⇔≥ yx phương trình (3) có nghiệm 



∈
2
3
;0t 
Xét hàm số 3146)( 22 +++−= ttttf trên đoạn 



2
3
;0 
Ta có 
3146
3)(
22
/
+
+
+−
−
=
t
t
tt
t
tf 
( )






−
=
−−
=
⇔=
)(
2
9135
2
1359
0)(/
nt
lt
tf 
Bảng biến thiên: 
 x 0 
2
9135 −
2
3
)(/ tf + 0 - 
 )(tf 314 + 





2
3f 
 







−
2
9135f 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 




≤≤






−
2
3
2
9135 fmf thỏa điều kiện bài toán 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 41 WWW.GiaitoanOnline.Com 
VIII. Phương pháp hàm số: 
Kiến thức: Nếu hàm số )(xfy = đơn điệu và liên tục trên D thì phương trình 
kxf =)( nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên D và yxyfxf =⇔= )()( với 
mọi x, y thuộc D. 
Cách giải: 
Bước 1: Tìm điều kiện của hệ. 
Bước 2. 
+ Biến đổi hệ đưa một phương trình của hệ về dạng )()( vfuf = (*) 
+ Chứng minh )(xfy = là hàm số đơn điệu và liên tục trên D. 
Suy ra, (*) vu =⇔ 
+ Ta tìm được điều kiện ràng buộc ẩn này qua ẩn kia. 
+ Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm. 
Bước 3. Kết luận 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 




=+
−=−
)2(1
)1(44
66
44
yx
yyxx
Giải: 
Từ (2) 1,1 ≤≤−⇒ yx . 
Đặt [ ]1;1,4)( 4 −∈−= ttttf . 
Ta có [ ]1;1044)( 3/ −∈∀≤−= tttf và 10)(/ =⇔= ttf . 
Suy ra, )(tf đơn điệu trên đoạn [ ]1;1− . 
Do đó, yxyfxf =⇔=⇔ )()()1( . 
Thay vào (2) ta được 
6 2
1±=x . 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 











−−
6666 2
1
;
2
1
,
2
1
;
2
1
. 
Ví dụ 2: Giải hệ sau 




=++−
−=+−+
)2(04912
)1(1212
22 yxyx
yxyx
Giải: 
Điều kiện: 






−≥
−≥
2
1
2
1
y
x
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 42 WWW.GiaitoanOnline.Com 
Từ (2) 0. >⇒ yx (*) 
Đặt tttf −+= 12)( với 



∞+−∈ ;
2
1
t . 
Ta có )3()()()1( yfxf =⇔ 
Laị có 1
12
1)(/ −
+
=
t
tf 
00)(/ =⇔= ttf ( nhận) 
Suy ra, )(tf đồng biến trên 





− 0;
2
1
 và nghịch biến trên ( )∞+;0 . 
Do (*) nên ta có các trường hợp sau 
TH1: 




−∈ 0;
2
1
, yx yx =⇔⇒ )3( 
TH2: [ )+∞∈ ;0, yx yx =⇔⇒ )3( 
Như vậy cả hai trường hợp đều dẫn đến x = y, tức là yx =⇔)1( thay vào (2) ta 
được 
242 2 =⇔= xx .)
2
1( −≥xDo 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là 




=
=
2
2
y
x
. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 
( ) ( )




=−++
=−−++
)2(74324
)1(025314
22
2
xyx
yyxx
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2010) 
Giải: 
Điều kiện: 
2
5≤y và 
4
3≤x . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )yfxfyyxx 25225125214)1( 2 −=⇔−+−++⇔ (*) 
Với ( ) ( )tttf 12 += 
Ta có tttf ∀>+= 013)( 2/ , suy ra )(tf đồng biến trên R. 
Do đó (*)





−
=
≥
⇔−=⇔
)3(
2
45
0
252 2xy
x
yx 
Thế (3) vào (2) ta được )4(074322
2
54
2
22
=−−+





−+ xxx 
+ Ta thấy 0=x và 
4
3
=x không phải là nghiệm của (4). 
+ Xét hàm số 074322
2
54)(
2
22
=−−+





−+= xxxxg 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 43 WWW.GiaitoanOnline.Com 
Ta có ( ) 0
43
4344
43
42
2
588)( 22/ <
−
−−=
−
−





−−=
x
xx
x
xxxxg 
Suy ra hàm số )(xg nghịch biến. 
Ta lại có 0
2
1
=




g , do đó (4) có nghiệm 
2
1
=x ; suy ra 2=y 
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 




 2;
2
1
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 
( ) ( )




=+
+=+
)2(13
)1(11
22
22
yx
yxxy
Giải: 
Từ 0)1( >⇒ xy (*) 
Từ (2) 11 ≤≤−⇒ x và 11 ≤≤− y 
Ta có 
y
y
x
x 22 11)1( +=+⇔ ( ) ( )yfxf =⇔ 
Với 
t
t
tf 1)(
2 +
= với [ ]1;1−∈t 
Ta có 
t
t
tf 1)(
2
/ −
= 
Nên hàm số )(tf nghịch biến trên mỗi nữa khoảng [ )0;1− và ( ]1;0 . 
Do (*) nên ta có các trường hợp sau 
TH 1: [ )0;1, −∈yx ( ) yxyfxf =⇔=⇒ )(
2
1
==⇒ yx 
TH 2: ( ]1;0, ∈yx ( ) yxyfxf =⇔=⇒ )(
2
1
−==⇒ yx 
 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 





2
1
;
2
1
 và 





−−
2
1
;
2
1
. 
Ví dụ 5: 
Cho hệ phương trình: 




=−++
=−++
)2(13
)1(13
mxy
myx
Xác định m để hệ có nghiệm. 
Giải: 
Điều kiện: 



≤≤−
≤≤−
13
13
y
x
Trừ (1) cho (2) ta được: 
3 1 3 1x x y y+ − + = + − −
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 44 WWW.GiaitoanOnline.Com 
)()( yfxf =⇔ (*) Với tttf −−+= 13)( với 13 ≤≤− t 
Xét hàm số tttf −−+= 13)( với 13 ≤≤− t 
 [ ]1;30
12
1
32
1)(/ −∈∀>
−
+
+
= t
tt
tf 
Suy ra hàm số f(t) tăng trên trên [ ]1;3− . 
Do đó, (*) yx =⇔ . 
Thay x = y vào (1) ta được: )3(13 mxx =−++ 
Hệ đã cho có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm [ ]1;3−∈x 
Xét hàm số xxxg −++= 13)( 
xx
xg
−
−
+
=
12
1
32
1)(/ 
 10)(/ −=⇔= xxg 
Bảng biến thiên 
 x -3 - 1 1 
)(/ xg + 0 - 
 )(xg 22 
 2 2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 222 ≤≤ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình: 
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 0 (2)
x y y x
x x y y m

− + − − =

+ − − − + =
có 
nghiệm thực. 
Giải: 
Điều kiện: 
2
2
1 0 1 1
0 22 0
x x
yy y

− ≥ − ≤ ≤
⇔  ≤ ≤
− ≥ 
Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2. 
Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: 
(1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 
 Do đó, (2) ⇔ 2 22 1 0x x m− − + = 
Đặt 21v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 = m. 
Hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 
Ta có g/(v) = 2v + 2 
/ ( ) 0 1g v v= ⇔ = − (loại) 
Bảng biến thiên 
 v 0 1 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 45 WWW.GiaitoanOnline.Com 
/ ( )g v + 
 ( )g v 2 
 -1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
 −1 ≤ m≤ 2 
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 
3 2 1 0 (1)
(3 ) 2 2 2 1 0 (2)
x y
x x y y
 − + =

− − − − =
Giải: 
Điều kiện 12 à
2
x v y≤ ≥ 
 (2) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 1x x y y⇔ + − − = + − −       
 Xét hàm số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t 
 f’(t)= 3t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R. 
Vậy hàm số tăng trên R 
Do đó (2) ( ) ( )2 2 1 2 2 1f x f y x y⇔ − = − ⇔ − = − 
 ⇔ 2 – x = 2y – 1 ⇔ 2y = 3 – x 
 Thay vào (1) ta được: x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1. 
Vậy nghiệm của hệ là (1;1) 
Ví dụ 8. ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007) 
Giải hệ phương trình 
−
−
 + − + = +

 + − + = +
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
(I)
y y 2y 2 3 1
Giải: 
Đặt u = x − 1, v = y − 1 
 (I) thành 
 + + =

 + + =
2 v
2 u
u u 1 3
(II)
v v 1 3
 Xét hàm f(x) 2x x 1= + + 
 f ´(x) ++ += + = > ≥
+ + +
2
2 2 2
x xx x 1 x1 0
x 1 x 1 x 1
 Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. 
 Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ >v u3 3 ⇒ v > u ( vô lý ) 
 Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý 
 Do đó hệ (II)   + + = = + −⇔ ⇔ 
= =  
2 u u 2u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1)
u v u v
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 46 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 Đặt: g(u) u 23 ( u 1 u)= + − 
 
⇒ = + − + − 
 + 
u 2 u
2
ug '(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1
u 1
 ( ) ( ) Ru,0
1u
13lnu1u3u'g
2
2u ∈∀>






+
−−+= 
 Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R. 
 Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) 
 Nên (II) ⇔ u = 0 = v 
 Vậy (I) ⇔ x = y = 1. 
IX. Các bài tập tự làm: 
1. Giải hệ phương trình. 
 1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :
( )
2 2x xy y 3(x y)
32 2x xy y 7 x y

− + = −

 + + = −
, ( )x,y R∈ . 
 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : ( )( )
( )( )
2 2x y x y 13
2 2x y x y 25

− + =


 + − =

, ( )x,y R∈ . 
 3/ (Dự bị 2 khối A 2006) : ( )
3 3x 8x y 2y
2 2x 3 3 y 1

− = +

− = +
, ( )x,y R∈ . 
 4/ (Dự bị 1 khối A 2006) : ( ) ( )( )( )
2x 1 y y x 4y
2x 1 y x 2 y
 + + + =


 + + − =

, ( )x,y R∈ . 
 5/ (Dự bị 1 khối A 2005) : ( )
2 2x y x y 4
x x y 1 y(y 1) 2
 + + + =

+ + + + =
, 
 6/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 2x y 1 x y 1
3x 2y 4
 + + − + =

+ =
. 
 7/ (Dự bị 2 khối A 2007) : 
4 3 2 2x x y x y 1
3 2x y x xy 1

− + =

− + =
. 
 8/ ( ĐH KA-2008): 
( )
52 3 2x y x y xy xy
4
54 2x y xy 1 2x
4

+ + + + = −

 + + + = −

, ( )x,y R∈ . 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 47 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 9/ ( ĐH KB-2008): 
4 3 2 2x 2x y x y 2x 9
2x 2xy 6x 6
 + + = +

+ = +
, ( )x,y R∈ . 
 10/ ( ĐH KD-2008): 
2 2xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y
 + + = −

− − = −
, ( )x,y R∈ . 
 11/ ( ĐH KB-2002) 
3 x y x y
x y x y 2

− = −

+ = + +
 12/ (ĐH KD-2002) 
3x 22 5y 4y
x x 14 2 yx2 2

= −

+ +
 =
 +
 . 
 13/ ( ĐH Khối A -2003) 
1 1
x y
x y
32y x 1
− = −
= +





 . 
 14/ (ĐH KB- 03) 
2y 2
3y 2
x
2
x 2
3x 2y
+
=
+
=







; 
 15/ ( ĐH KA-2006) x y xy 3
x 1 y 1 4
 + − =

+ + + =
2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình, hệ bất phương 
trình có nghiệm. 
 1/ (Dự bị 1 khối B 2007) :Chứng minh rằng hệ phương trình 
yxe 2007
2y 1
xye 2007
2x 1

= −
−


= −

−
có đúng 
 hai nghiệm thỏa điều kiện x>0, y>0. 
 2/ ( ĐH K-D:2007) Tìm m để hệ 
1 1
x y 5
x y
1 13 3x y 15m 103 3x y

+ + + =


 + + + = −

có nghiệm thực . 
 3/ (CĐ Khối A+B+D: 2008) Tìm m để hệ phương trình x my 1
mx y 3
− =

+ =
có nghiệm (x;y) thỏa 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 48 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 Điều kiện x.y<0. 
 4/ ( ĐH KD-2004) x y 1
x x y y 1 3m
 + =

+ = −
 CHÚC BẠN THÀNH CÔNG 

File đính kèm:

  • pdfGiaitoanonline.com-chuyen de he phuong trinh LTDH.pdf