Phương pháp giải hệ phương trình Đại số luyện thi đại học
* Có dạng:
với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x)
* Biến ñổi hệtheo x+y và x+y
Đặt S = x + y và P = xy
• Biến ñổi hệtheo S, P và giải hệtìm hai ẩn ñó
• Với mỗi nghiệm (S;P) ta giải pt X2– SX + P = 0 ñểtìm x, y
• Chú ý: với m ỗi bài toán phức tạp ta tìm cách ñặt ẩn phụcho x, y
− 4 33 ; 4 1 Ta có uuf 28)(/ −= 40)(/ =⇔= uuf Bảng biến thiên x 4 1 − 4 4 33 )(/ xf + 0 - WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 40 WWW.GiaitoanOnline.Com )(xf 16 16 33 − 16 33 − Dựa vào bảng biến ta thấy hệ đã cho có ít nhất một nghiệm 16 16 33 ≤≤−⇔ m Ví dụ 5. Cho hệ phương trình =+++ =+ )2(35 )1(3 myx yx Xác định m để hệ có nghiệm yx ≥ Giải: Điều kiện: 0;0 ≥≥ yx Đặt 0≥= yt Từ 96)1( 2 +−=⇒ ttx Khi đó (2) trở thành : )3(3146 22 mttt =+++− Do 0≥≥ yx nên 2 33 ≤⇔≥−⇒≥ tttyx Do đó, 2 30 ≤≤ t Hệ đã cho có nghiệm ⇔≥ yx phương trình (3) có nghiệm ∈ 2 3 ;0t Xét hàm số 3146)( 22 +++−= ttttf trên đoạn 2 3 ;0 Ta có 3146 3)( 22 / + + +− − = t t tt t tf ( ) − = −− = ⇔= )( 2 9135 2 1359 0)(/ nt lt tf Bảng biến thiên: x 0 2 9135 − 2 3 )(/ tf + 0 - )(tf 314 + 2 3f − 2 9135f Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ≤≤ − 2 3 2 9135 fmf thỏa điều kiện bài toán WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 41 WWW.GiaitoanOnline.Com VIII. Phương pháp hàm số: Kiến thức: Nếu hàm số )(xfy = đơn điệu và liên tục trên D thì phương trình kxf =)( nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên D và yxyfxf =⇔= )()( với mọi x, y thuộc D. Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện của hệ. Bước 2. + Biến đổi hệ đưa một phương trình của hệ về dạng )()( vfuf = (*) + Chứng minh )(xfy = là hàm số đơn điệu và liên tục trên D. Suy ra, (*) vu =⇔ + Ta tìm được điều kiện ràng buộc ẩn này qua ẩn kia. + Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm. Bước 3. Kết luận Ví dụ 1: Giải hệ phương trình =+ −=− )2(1 )1(44 66 44 yx yyxx Giải: Từ (2) 1,1 ≤≤−⇒ yx . Đặt [ ]1;1,4)( 4 −∈−= ttttf . Ta có [ ]1;1044)( 3/ −∈∀≤−= tttf và 10)(/ =⇔= ttf . Suy ra, )(tf đơn điệu trên đoạn [ ]1;1− . Do đó, yxyfxf =⇔=⇔ )()()1( . Thay vào (2) ta được 6 2 1±=x . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: −− 6666 2 1 ; 2 1 , 2 1 ; 2 1 . Ví dụ 2: Giải hệ sau =++− −=+−+ )2(04912 )1(1212 22 yxyx yxyx Giải: Điều kiện: −≥ −≥ 2 1 2 1 y x WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 42 WWW.GiaitoanOnline.Com Từ (2) 0. >⇒ yx (*) Đặt tttf −+= 12)( với ∞+−∈ ; 2 1 t . Ta có )3()()()1( yfxf =⇔ Laị có 1 12 1)(/ − + = t tf 00)(/ =⇔= ttf ( nhận) Suy ra, )(tf đồng biến trên − 0; 2 1 và nghịch biến trên ( )∞+;0 . Do (*) nên ta có các trường hợp sau TH1: −∈ 0; 2 1 , yx yx =⇔⇒ )3( TH2: [ )+∞∈ ;0, yx yx =⇔⇒ )3( Như vậy cả hai trường hợp đều dẫn đến x = y, tức là yx =⇔)1( thay vào (2) ta được 242 2 =⇔= xx .) 2 1( −≥xDo Vậy nghiệm của hệ đã cho là = = 2 2 y x . Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau ( ) ( ) =−++ =−−++ )2(74324 )1(025314 22 2 xyx yyxx ( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2010) Giải: Điều kiện: 2 5≤y và 4 3≤x . Ta có ( ) ( ) ( ) ( )yfxfyyxx 25225125214)1( 2 −=⇔−+−++⇔ (*) Với ( ) ( )tttf 12 += Ta có tttf ∀>+= 013)( 2/ , suy ra )(tf đồng biến trên R. Do đó (*) − = ≥ ⇔−=⇔ )3( 2 45 0 252 2xy x yx Thế (3) vào (2) ta được )4(074322 2 54 2 22 =−−+ −+ xxx + Ta thấy 0=x và 4 3 =x không phải là nghiệm của (4). + Xét hàm số 074322 2 54)( 2 22 =−−+ −+= xxxxg WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 43 WWW.GiaitoanOnline.Com Ta có ( ) 0 43 4344 43 42 2 588)( 22/ < − −−= − − −−= x xx x xxxxg Suy ra hàm số )(xg nghịch biến. Ta lại có 0 2 1 = g , do đó (4) có nghiệm 2 1 =x ; suy ra 2=y Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 2; 2 1 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau ( ) ( ) =+ +=+ )2(13 )1(11 22 22 yx yxxy Giải: Từ 0)1( >⇒ xy (*) Từ (2) 11 ≤≤−⇒ x và 11 ≤≤− y Ta có y y x x 22 11)1( +=+⇔ ( ) ( )yfxf =⇔ Với t t tf 1)( 2 + = với [ ]1;1−∈t Ta có t t tf 1)( 2 / − = Nên hàm số )(tf nghịch biến trên mỗi nữa khoảng [ )0;1− và ( ]1;0 . Do (*) nên ta có các trường hợp sau TH 1: [ )0;1, −∈yx ( ) yxyfxf =⇔=⇒ )( 2 1 ==⇒ yx TH 2: ( ]1;0, ∈yx ( ) yxyfxf =⇔=⇒ )( 2 1 −==⇒ yx Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 2 1 ; 2 1 và −− 2 1 ; 2 1 . Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: =−++ =−++ )2(13 )1(13 mxy myx Xác định m để hệ có nghiệm. Giải: Điều kiện: ≤≤− ≤≤− 13 13 y x Trừ (1) cho (2) ta được: 3 1 3 1x x y y+ − + = + − − WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 44 WWW.GiaitoanOnline.Com )()( yfxf =⇔ (*) Với tttf −−+= 13)( với 13 ≤≤− t Xét hàm số tttf −−+= 13)( với 13 ≤≤− t [ ]1;30 12 1 32 1)(/ −∈∀> − + + = t tt tf Suy ra hàm số f(t) tăng trên trên [ ]1;3− . Do đó, (*) yx =⇔ . Thay x = y vào (1) ta được: )3(13 mxx =−++ Hệ đã cho có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm [ ]1;3−∈x Xét hàm số xxxg −++= 13)( xx xg − − + = 12 1 32 1)(/ 10)(/ −=⇔= xxg Bảng biến thiên x -3 - 1 1 )(/ xg + 0 - )(xg 22 2 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 222 ≤≤ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = có nghiệm thực. Giải: Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 22 0 x x yy y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2. Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 Do đó, (2) ⇔ 2 22 1 0x x m− − + = Đặt 21v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 Ta có g/(v) = 2v + 2 / ( ) 0 1g v v= ⇔ = − (loại) Bảng biến thiên v 0 1 WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 45 WWW.GiaitoanOnline.Com / ( )g v + ( )g v 2 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 3 2 1 0 (1) (3 ) 2 2 2 1 0 (2) x y x x y y − + = − − − − = Giải: Điều kiện 12 à 2 x v y≤ ≥ (2) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 1x x y y⇔ + − − = + − − Xét hàm số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t f’(t)= 3t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R. Vậy hàm số tăng trên R Do đó (2) ( ) ( )2 2 1 2 2 1f x f y x y⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ 2 – x = 2y – 1 ⇔ 2y = 3 – x Thay vào (1) ta được: x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1. Vậy nghiệm của hệ là (1;1) Ví dụ 8. ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007) Giải hệ phương trình − − + − + = + + − + = + 2 y 1 2 x 1 x x 2x 2 3 1 (I) y y 2y 2 3 1 Giải: Đặt u = x − 1, v = y − 1 (I) thành + + = + + = 2 v 2 u u u 1 3 (II) v v 1 3 Xét hàm f(x) 2x x 1= + + f ´(x) ++ += + = > ≥ + + + 2 2 2 2 x xx x 1 x1 0 x 1 x 1 x 1 Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ >v u3 3 ⇒ v > u ( vô lý ) Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý Do đó hệ (II) + + = = + −⇔ ⇔ = = 2 u u 2u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1) u v u v WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 46 WWW.GiaitoanOnline.Com Đặt: g(u) u 23 ( u 1 u)= + − ⇒ = + − + − + u 2 u 2 ug '(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1 u 1 ( ) ( ) Ru,0 1u 13lnu1u3u'g 2 2u ∈∀> + −−+= Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R. Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) Nên (II) ⇔ u = 0 = v Vậy (I) ⇔ x = y = 1. IX. Các bài tập tự làm: 1. Giải hệ phương trình. 1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : ( ) 2 2x xy y 3(x y) 32 2x xy y 7 x y − + = − + + = − , ( )x,y R∈ . 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : ( )( ) ( )( ) 2 2x y x y 13 2 2x y x y 25 − + = + − = , ( )x,y R∈ . 3/ (Dự bị 2 khối A 2006) : ( ) 3 3x 8x y 2y 2 2x 3 3 y 1 − = + − = + , ( )x,y R∈ . 4/ (Dự bị 1 khối A 2006) : ( ) ( )( )( ) 2x 1 y y x 4y 2x 1 y x 2 y + + + = + + − = , ( )x,y R∈ . 5/ (Dự bị 1 khối A 2005) : ( ) 2 2x y x y 4 x x y 1 y(y 1) 2 + + + = + + + + = , 6/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 2x y 1 x y 1 3x 2y 4 + + − + = + = . 7/ (Dự bị 2 khối A 2007) : 4 3 2 2x x y x y 1 3 2x y x xy 1 − + = − + = . 8/ ( ĐH KA-2008): ( ) 52 3 2x y x y xy xy 4 54 2x y xy 1 2x 4 + + + + = − + + + = − , ( )x,y R∈ . WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 47 WWW.GiaitoanOnline.Com 9/ ( ĐH KB-2008): 4 3 2 2x 2x y x y 2x 9 2x 2xy 6x 6 + + = + + = + , ( )x,y R∈ . 10/ ( ĐH KD-2008): 2 2xy x y x 2y x 2y y x 1 2x 2y + + = − − − = − , ( )x,y R∈ . 11/ ( ĐH KB-2002) 3 x y x y x y x y 2 − = − + = + + 12/ (ĐH KD-2002) 3x 22 5y 4y x x 14 2 yx2 2 = − + + = + . 13/ ( ĐH Khối A -2003) 1 1 x y x y 32y x 1 − = − = + . 14/ (ĐH KB- 03) 2y 2 3y 2 x 2 x 2 3x 2y + = + = ; 15/ ( ĐH KA-2006) x y xy 3 x 1 y 1 4 + − = + + + = 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm. 1/ (Dự bị 1 khối B 2007) :Chứng minh rằng hệ phương trình yxe 2007 2y 1 xye 2007 2x 1 = − − = − − có đúng hai nghiệm thỏa điều kiện x>0, y>0. 2/ ( ĐH K-D:2007) Tìm m để hệ 1 1 x y 5 x y 1 13 3x y 15m 103 3x y + + + = + + + = − có nghiệm thực . 3/ (CĐ Khối A+B+D: 2008) Tìm m để hệ phương trình x my 1 mx y 3 − = + = có nghiệm (x;y) thỏa WWW.GiaitoanOnline.Com Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 48 WWW.GiaitoanOnline.Com Điều kiện x.y<0. 4/ ( ĐH KD-2004) x y 1 x x y y 1 3m + = + = − CHÚC BẠN THÀNH CÔNG
File đính kèm:
- Giaitoanonline.com-chuyen de he phuong trinh LTDH.pdf