Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức

à (***) không khác gì nhau về bản chất toán học nhưng (***) bị ràng buộc bởi điều kiện . 
Chú ý: ta có thể chọn bằng bao nhiêu tùy thích (Theo điều kiện đầu bài) trong ví dụ trên ta có thể chọn là một số dương tùy ý
II.3.1.2 Các bước thực hiện giải toán bất đẳng thức theo phương pháp tiếp tuyến
Bước 1 : đưa được bất đẳng thức đã cho về dạng 
( hoặc ) trong đó f là hàm số xác định trên khoảng và chuẩn hóa BĐT nếu cần
Bước 2 : Đặt hàm số y = f(x) dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là y = Ax + B.
Bước 3 : Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trêntừ đó suy ra tiếp tuyến nằm phía trên(dưới) đồ thị. Kết hợp với lập luận phần II.1 ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh
Chi chú: Nếu có thể chứng minh trực tiếp được f(x) ³ Ax + B "x (a, b) (hoặc f(x) £ Ax + B "x Î (a, b)) thì bước 2 chỉ cần làm ở nháp và bỏ qua bước 3 (Như bài toán ban đầu)
II.3.1.3 Lời giải cụ thể cho nột số bài tập nêu trên
Giải bài tập 1.	Cho x,y,z > 0 và . Chứng minh rằng:
 Lời giải
( Ta dự đoán điểm rơi là )
Xét hàm số y = 
Ta có . 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là .
 suy ra đồ thị hàm số lõm trên khoảng . Do đó tại điểm tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị, bởi vậy ta có (I)
Tương tự đối với và cộng lại ta được
 (do )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét
Đây là bài toán khó và không có nhiều học sinh làm được
Với cách giải trên thì khâu khó nhất nằm ở kĩ năng tính toán vì tất cả các dữ liệu đã có sẵn từ tổng các biến đến việc chọn hàm số
Với bài toán trên ta thấy việc chứng minh trực tiếp bất đẳng thức cơ sở (I) là tương đối khó nên ta bắt buộc phải làm như trên còn nếu bất đẳng thức cơ sở là một bất đẳng thức tầm thường thì ta cũng có thể trình bày ngắn gọn hơn như đã nêu ở trên
Giải bài tập 2. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : .
	Chứng minh rằng:	 
Lời giải
Đặt: khi đó ta có 
Mặt khác theo BĐT Côsi thì và Từ đó ta có 
 (1)
 ( Ta dự đoán điểm rơi là )
Xét hàm số f(x) ta có 
PTTT của đồ thị tại điểm là 
 suy ra đồ thị hàm số lồi trên . Do đó tiếp tuyến tại điểm nằm phía trên đồ thị, bởi vậy ta có (II) . Lần lượt cho x bằng a,b,c và cộng lại ta được
 ( Vì ) 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra bất BĐT cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay .
Nhận xét: 
- Do đầu bài cho điều kiện nên ta nghĩ ngay đến việc đặt
 để đánh giá tổng các biến ()
- Qua cách giải trên ta thấy nếu các số hạng của BĐT có một biểu thức giống nhau ta có thể đánh giá về hằng số
- Xuất phát từ BĐT cơ sở (II). Ta có thể giải bài toán ngắn gọn hơn như sau
Đặt S = x + y + z do BĐT 
Ta có 
Ta chứng minh(****)
Thật vậy (luôn đúng). Tương tự với y, z và cộng lại ta có 
Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh dấu “=” xảy khi 
Giải bài tập 4
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	P = 
Lời giải
Theo BĐT Côsi ta có: (do xyz = 1)
Tương tự: 
 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Đặt 
 Chuẩn hóa với a + b + c = 1 
Xét hàm số trên với 
PTTT của đồ thị tại điểm (m;m) là 
 suy ra đồ thị hàm số lõm trên . Do đó tiếp tuyến tại điểm (m;m) nằm phía dưới đồ thị, bởi vậy ta có
 (III)
Trong (III)
Cho x = c và m = a ta được 
Cho x = a và m = b ta được 
Cho x = b và m = c ta được 
Từ đó suy ra 
Vì 
Và a + b + c =1 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Vậy MinP = 2 khi x = y = z = 1
Nhận xét:
- Vì biểu thức chứa 2 biến a và c nên ta chọn một biến là ẩn (c) biến còn lại (a) xem như hằng số do đó thay vì chọn điểm rơi là ta chon điểm rơi c = a để rút gọn mẫu số
- Ta thấy BĐT cơ sở (III) khá tầm thường nên ta có trình bày cách giải độc đáo như sau
Theo BĐT Côsi ta có: (do xyz = 1)
Tương tự: 
 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Đặt 
 chuẩn hóa a + b + c = 1
Rõ ràng ta có 
 tương tự ta cũng có 
 và 
Do dó 
Vì a + b + c =1 và 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Vậy MinP = 2 khi x = y = z = 1
Giải bài tập 5. 
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x (x + y + z) = 3yz 
ta có
Lời giải
(do bất đẳng thức đối xứng với y, z nên ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi y = z 
và thay vào điều kiện ta lại có x = y =z . Vậy ta biến đổi bất đẳng thức theo biến y và z với điểm rơi là x (xem như tham số) )
Chuẩn hóa x + y + z = 1 . Khi đó điều kiên ban đầu trở thành x = 3yz
Ta có 
Và nên bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức 	
Hay 	
Dễ dàng chứng minh được từ đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
	 (3)
Xét hàm số trên . Với ta có 
PTTT của đồ thị tại điểm là 
 suy ra đồ thị hàm số lồi trên . Do đó tiếp tuyến tại điểm nằm phía trên đồ thị, bởi vậy ta có
	 (IV) 
Trong (IV) 
cho a = x , x = y ta được 
cho a = x , x = z ta được 
Cộng lại ta có+
(Vì ) Từ đó suy ra bất đẳng thức (3) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
Giải bài tập 7. 
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
(Dự đoán điểm rơi là 0)
Đặt |x – y| = a, |y – z| = b, |z – x| = c (5). Khi đó và bài toán trở thành
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xét hàm số Với ta có 
PTTT của đồ thị tại điểm là 
 suy ra đồ thị hàm số lõm trên . Do đó tiếp tuyến tại điểm nằm phía dưới đồ thị, bởi vậy ta có . Lần lượt cho x bằng a, b, c và cộng lại ta được	 
Ta chứng minh 
Thậy vậy từ (5) ta có 
Từ đó suy ra cộng lại ta được
(Do ln3 > 1)
Vậy ta có dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 0 hay x = y = z = 0
II.3.2 Phần 2
Xây dựng một số bất đẳng thức đối xứng bằng phương pháp tiếp tuyến
Function Grapher 2011 - Phần mềm hỗ trợ vẽ, khảo sát và trình diễn đồ thị hàm số trong học tập và dạy học
II.3.2.1. Gới thiệu phần mềm vẽ đồ thị
Với sự lột xác về giao diện, công nghệ và tính năng đa dạng, FG hứa hẹn là một trợ thủ đắc lực cho giáo viên và học sinh, phần mềm được tác giả cung cấp dưới hình thức không thu phí nên tất cả mọi người quan tâm đều có thể sử dụng.
Phần mềm FG được thiết kế, lập trình bởi tác giả Võ Đại Lượng khoa CNTT, trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng với giao diện tiếng Việt rất thuận tiện sử dụng
Phần mềm FG có rất nhiều chức năng thiết thực với các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số.
II.3.2.2: Các bước xây đựng
Chọn hàm số phù hợp với ý tưởng mà giáo viên định ra bài tập
Dùng phần mềm vẽ đồ thị dự đoán đồ thị lồi (lõm) trên một khoảng nào đó
Chọn điểm rơi thuộc khoảng đã chọn viết PTTT, tính giá trị của hàm số tại điểm rơi và trình diễn tiếp tiếp trên phần mềm
Chọn số biến số ( thường là 3) và hình thành bất đẳng thức
Cần thiết có thể kiểm tra lại bằng tính toán
	Bài toán 1	( Tương tự bài tập 1)
	Xây dựng một hàm số chứa căn bậc hai chẳng hạn như
 , ...
* Với hàm số 
Chọn khoảng bất kỳ giả sử ( 0; 2)
	Chọn điểm rơi . Đồ thị và tiếp tuyến như hình vẽ
 Tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
Ta xây dựng được bất đẳng thức
	Cho x,y,z > 0 và . Chứng minh rằng:
	* Với hàm số 
	Chọn khoảng ( 0; 3)
	Chọn điểm rơi . Đồ thị và tiếp tuyến như hình vẽ
 	Tiếp tuyến nằm phía trên đồ thị
 Xây dựng bất đẳng thức 
	Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
Tổng quát lên ta có BĐT
 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Bài toán 2	( Tương tự Bài tập 2)
	Xây dựng hàm số phân thức chẳng hạn 
 .
* Với hàm số 
Đồ thị 
Nhận xét: khi tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị, khi tiếp tuyến nằm phía trên đồ thị 
Ta có thể xây dựng một BĐT với điểm rơi như sau
Cho và x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
	Hay 	
Với hàm số làm tương tự với điểm rơi bằng 1 ta có thể xây dựng một bất đẳng thức 4 biến như sau 
 Cho . Chứng minh rằng
Tổng quát ta có bài toán
với 4 số a,b,c,d dương , chứng minh : 
Bài toán 3 (Tạo bài toán với một hàm số tùy chọn)	 
Xét 
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 
Tiếp tuyến cắt đồ thị tại 2 điểm , và 
Nhận xét: khi tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị 
Tổng quát ta có bài toán:
Chứng minh với ba số thực thì 
 	Qua các bài toán trên ta thấy để xây dựng một BĐT dạng thuần nhất đối xứng khá đơn giản giáo viên chỉ cần xác định dạng bài tập cần xây dựng còn tất cả các thao tác đều được thực hiện trên phần mềm nên cực kỳ nhanh chóng và chỉ cần bỏ ra một vài phút ta đã có ngay một BĐT đối xứng đẹp mắt 
II.2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm : 
Qua thực tế giảng dạy phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức đã được một số học sinh tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức đối xứng, thuần nhất 3 biến trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học. 
III. PHẦN KẾT LUẬN
III.1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm :
Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào kho các công cụ giải toán bất đẳng thức của học sinh . Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả.
III.2. Khả năng ứng dụng, triển khai : 
Có thể áp dụng cho các học sinh giỏi khối 12 luyện thi đại học, các lớp 11, 12 chuyên toán thi học sinh giỏi các cấp.
III.3. Những bài học kinh nghiệm :
	- Nếu học sinh biết được một phương pháp mới , có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơn trong giải quyết được các bài toán dạng này và các dạng tương tự.
- Tất nhiên mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, phương pháp này có lời giải có thể dài hơn các phương pháp khác nhưng bù lại là nó có đường lối rõ ràng, dễ thấy cách tiếp cận , cách giải quyết bài toán hơn một số phương pháp khác. 
	- Sử dụng các phần mềm hỗ trợ nghiên cứu giải và sáng tạo bài toán mới rất nhanh chóng và chính xác. Giáo viên sau khi đã giải một giải bài toán tức thì có thể thay đổi số liệu ban đầu là có ngay bài toán tương tự vì vậy tạo được nhiều bài tập cho học sinh thực tập.
III.4. Những kiến nghị và đề xuất : 
Nên giới thiệu cho học sinh giỏi phương pháp này.
Giáo viên có thể nghiên cứu các phần mềm nước ngoài có khả năng lập trình cao hơn
Trên đây là phần tóm tắt bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm , mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo :
Các đề thi đại học từ năm 2002- 2012
Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học 
 ( Nhóm tác giả, chủ biên : Trần Phương ,2009 Nhà xuất bản Tri Thức )