Vật lí hay và khó

ài 31: Cho cơ hệ như hình vẽ. Nêm có khối lượng M, góc giữa mặt nêm và phương ngang là . Cần phải kéo dây theo phương
 ngang một lực là bao nhiêu để vật có
 khối lượng m chuyển động lên trên theo
 mặt nêm ? Tìm gia tốc của m và M đối với
 mặt đất? 
 Bỏ qua mọi ma sát, khối lượng dây nối
 và ròng rọc.
Giải:
Gọi gia tốc của nêm và vật đối với mặt đất lần lượt là là và .
Phương trình động lực học cho m:
chiếu lên ox:
chiếu lên oy: 
 Nêm chịu tác dụng của hai lực và đè lên ròng rọc và lực nén có độ lớn bằng N.
 Phương trình chuyển động của M: 
 Chiếu lên ox:
Gọi là gia tốc của m đối với nêm M.
 Theo công thức cộng gia tốc:
 (4)
 Chiếu (4) lên 0x: 
 0y: 
 Từ đó suy ra: 
Từ (1), (2), (3) và(5) suy ra:
 (6)
Để m dịch chuyển lên trên nêm thì:
Giải (I):
Giải (II):
Thay (6) vào (3) rút ra N và từ điều kiện N > 0 ta suy ra: 
Từ (7) và (8) ta suy ra để m leo lên được mặt nêm M thì lực F phải thoả mãn điều kiện 
 Lúc đó gia tốc của nêm đối với mặt đất là a1 ở (6). Gia tốc của vật đối với mặt đất sẽ là : 
 .
Bài 32: Cho cơ hệ như hình vẽ. Hỏi phải truyền cho M một lực F là bao nhiêu và theo hướng nào để hệ thống đứng yên tương đối đối với nhau. Bỏ qua mọi ma sát.
Giải:
 Xét hệ thống trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất:
Giả sử tìm được gia tốc F thoả mãn bài toán.
Xét vật m2:
 chiếu lên oy:
Xét vật m1:
 chiếu lên ox:
 Ba vật đứng yên tương đối với nhau ta có thể xem chúng như một vật duy nhất có khối lượng (M+m1+m2) chuyển động với gia tốc a. Do vậy lực F cần phải đặt vào M sẽ là :
 .
Bài 33: Trên một mặt nón tròn xoay với góc nghiêng có thể quay quanh trục thẳng đứng. Một vật có khối lượng m đặt trên mặt nón cách trục quay một khoảng R. Mặt nón quay đều với vận tốc góc.
 Tính giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát trượt () giữa vật và mặt nón để vật vẫn đứng yên trên mặt nón.
Giải:
 Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào hình nón và quay đều cùng mặt nón như hình vẽ.
Trong hệ quy chiếu này các lực tác dụng vào vật: .
Vật đứng yên, do vậy: 
Chiếu lên 0x: 
 Chiếu lên 0y: 
Từ (2) ta suy ra: 
 Từ (1) ta có: 
 Điều kiện để m đứng yên trên mặt nón: 
Từ hệ trên ta suy ra: 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát trượt sẽ cần là:
 với điều kiện .
Bài 34: Khối lăng trụ tam giác có khối lượng m1, với góc như hình vẽ có thể trượt theo đường thẳng đứng và tựa lên khối lập phương khối lượng m2 còn khối lập phương có thể trượt trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua mọi ma sát.
 a. Tính gia tốc giữa mỗi khối và áp lực giữa hai khối ?
 b. Xác định sao cho a2 là lớn nhất. Tính giá trị gia tốc của mỗi khối trong trường hợp đó ?
Giải:
 a. Vật 1: 
 Các lực tác dụng vào m1: phản lực do bờ tường tác dụng lên m1, phản lực do m2 tác dụng .
 Theo định luật II Newton: 
 Chiếu lên ox: 
Chiếu lên oy: 
 (1)
Vật 2: Có 3 lực tác dụng lên m2: phản lực do sàn tác dụng lên khối lập phương, phản lực do m1 tác dụng lên khối lập phương.
Theo định luật II Newton:
chiếu lên ox:
 (do ) (2)
Mặt khác khi m2 dời được một đoạn x thì m1 dời được một đoạn y và ta luôn 
có: 
Hay: 
 Từ (1) và (2) suy ra: 
 (3)
Thay vào (3) ta suy ra:
áp lực giữa m1 và m2:
b. Ta có :
Do 
 Dấu bằng xảy ra khi : 
Lúc đó :
 .
Bài 35: Một vật nhỏ có khối lượng m đặt trên đỉnh một nêm tam giác nhẳn, thả cho m chuyển động trên mặt nêm. Biết nêm có khối lượng M và chuyển động không ma sát trên mặt phẳng ngang.
 a. Xác định gia tốc của m và M đối với mặt đất
 b. Cho chiều dài mặt nêm là L. Tính vận tốc của M ngay sau khi m trượt 
 xuống chân M.
Giải:
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất như hình vẽ.
Gọi gia tốc của m và M lần lượt là và 
Phương trình chuyển động của m: 
Chiếu lên 0x: 
 0y: 
Phương trình chuyển động của M:
Chiếu lên ox: 
 Mặt khác theo công thức cộng gia tốc: (4) ( là gia tốc của m đối với M).
Chiếu (4) lên ox và oy ta có: 
 Từ đó suy ra: 
 (5)
Giải hệ (1), (2), (3) và (5) ta được:
 (*)
Gia tốc của m đối với M:
 Gia tốc của m đối với mặt đất: 
 .
(Với và được tính ở (*) ) 
 Gia tốc của M đối với đất sẽ là:
b. Thời gian cần để m chuyển động trên mặt nêm M là: 
Vận tốc của M lúc đó:
 .
Bài 36 : Một thanh đồng chất, tiết diện không đổi, chiều dài l chịu sự tác dụng của 2 lực kéo căng đặt ở 2 đầu thanh (F2 > F1). Tính lực căng của thanh xuất hiện cách đầu đặt một đoạn x. Biết ngược chiều.
Giải:
 Gọi khối lượng cả thanh là m . Do thanh đồng chất khối lượng phần trái : . Phần phải là : 
 Phương trình định luật II Newton đối với phần:
 Bên trái : 
 Bên phải :
 Do hai phần có gia tốc chung và chú ý ta suy 
 .
Bài 37: Vật có khối lượng m trượt từ điểm cao nhất 
của một hình cầu bán kính R đang đứng yên trên mặt
phẳng nằm ngang.
a.Tới độ cao h nào thì nó rời hình cầu ?
b.Tính áp lực của nó tại điểm B, bán kính OB nghiêng 
góc so với OA. 
 Bỏ qua mọi ma sát, vận tốc ban đầu rất nhỏ.
Giải:
Khi vật trượt theo mặt cầu xuống đến điểm C. Theo định luật bảo toàn cơ năng: 
 (1)
 Tại C: 
 Chiếu lên chiều hướng tâm : 
 Vật rời hình cầu khi N = 0 .
 (2)
 Từ (1) và (2) 
 Vật rời mặt cầu lúc:
Tại B:
 Do vậy tại B vật chưa rời mặt cầu.
 Định luật bảo toàn cơ năng :
 Tại B : 
 .
Bài 38: Trên một tấm ván nghiêng một góc so với phương ngang. Khi ván đứng yên thì vật cũng đứng yên. Cho ván chuyển động sang phải
 với gia tốc song song với đường nằm ngang. Tính giá trị cực đại của a để vật vẫn đứng yên trên ván. Biết hệ số ma sát trượt là .
Giải:
Xét vật trong hệ quy chiếu 0xy gắn với tấm ván:
Các lực tác dụng vào vật : . Theo định luật II Newton ta có:
Chiếu lên 0x:
 (1)
Chiếu lên 0y:
 (2)
Từ (2) suy ra:
Thế vào (1):
Vật vẫn nằm yên trên ván khi: 
Hay:
 (3)
Mặt khác còn điều kiện vật phải luôn áp vào ván có nghĩa là . Điều này cho ta: 
 (4)
Từ (3) và (4) ta rút ra đáp số của bài toán:
 .
Bài 39: Vật m được kéo đều trên mặt phẳng nghiêng góc lực kéo hợp với mặt phẳng một góc, hệ số ma sát là . Giá trị nhỏ nhất của F là bao nhiêu để thực hiện được việc này. Lúc đó bằng bao nhiêu ?
Giải:
 Chọn hệ trục như hình vẽ.
Các lực tác dụng vào vật: 
Theo định luật II Newton:
Chiếu lên 0x: 
Chiếu lên 0y: 
Để lực F nhỏ nhất thì lớn nhất.
Đặt:
 = 0
Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Điều kiện có nghiệm của phương trình:
Vậy:
Để tìm ta giải phương trình:
 = 
 với ; 
Ta có:
Vậy:
 .
Bài 40: Tính gia tốc trọng trường ở độ sâu h so với mặt đất. Coi trái đất là hình cầu đồng chất bán kính R. Cho gia tốc ở mặt đất là g0.
Giải:
Gọi M, m lần lượt là khối lượng của trái đất và vật. Khi vật đạt ở mặt đất thì gia tốc trọng trường của nó là:
Khi vật ở độ sâu h lực hấp dẫn của trái đất chỉ còn lại là lực hấp dẫn của quả cầu sau khi bóc lớp vỏ có bề dày h đi (vì lớp vỏ sẽ gây ra những lực cân bằng nhau đối với các vật đặt ở trong lòng nó) nên lực hấp dẫn của trái đất lúc này sẽ là: 
Ta tính :
Ta có:
 (do trái đất đồng tính).
 là bán kính của phần cầu còn lại của trái đất.
Vậy lực hấp dẫn mà vật phải chịu:
Vậy gia tốc trọng trường ở độ sâu h sẽ là:
 .
Bài 41: Một hình trụ đặc có khối lượng m1 = 6 kg, bán kính R xuyên dọc theo một hình trụ đặc. Một thanh nhỏ không khối lượng tì vào các ổ bi. Dùng dây nối một vật m2 = 2kg vào thanh. Hệ đặt trên một mặt phẳng nghiêng góc . Tìm gia tốc của hệ vật biết hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nghiêng là , trụ lăn không trượt. Bỏ qua sức cản các ổ bi, dây không dãn và không khối lượng, . 
(Trích đề dự tuyển thi Olympic quốc gia 2002)
Giải:
Phương trình định luật II Newton cho vật 1 và vật 2: 
 (1) (bỏ qua ma sát lăn) 
 (2) , 
Cộng (1) và (2): (3)
Trụ lăn không trượt: 
 (4)
Thế (4) vào (3): 
 .
Bài 42: Một vật có khối lượng m = 1kg đặt trên một tấm gỗ rồi cả hai đặt lên mặt sàn nằm ngang. Vật được treo vào một điểm 0 bằng một sợi dây nhẹ đàn hồi, lúc đầu sợi dây có chiều dài tự nhiên l0 = 40cm. Hệ số ma sát trượt giữa vật và tấm gỗ là . kéo từ từ tấm gỗ cho đến khi vật bắt đầu trượt trên gỗ, khi ấy dây lệch khỏi phương thẳng đứng một góc . Tính công của lực ma sát trong hệ quy chiếu gắn với mặt sàn kể từ lúc đầu đến lúc vật bắt đầu trượt g = 10m/s2.
Giải:
 Các lực tác dụng vào vật 
Chiếu lên 0y: 
Chiếu lên 0x: (1)	
Lúc vật bắt đầu trượt lực ma sát nghĩ bằng ma sát trượt:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Gọi k là hệ số đàn hồi của dây: 
Độ dãn của lò xo khi vật bắt đầu trượt:
Công của lực ma sát trong quá trình trên sẽ biến hoàn toàn thành thế năng đàn hồi của sợi dây.
 Vậy:
 .
Bài 43: Trong một quả cầu đồng chất khối lượng 
M bỏn kinh R. Người ta khoột một lỗ hỡnh cầu bỏn 
kớnh R/2. Tỡm lực do quả cầu tỏc dụng lờn vật nhỏ
 m trờn đường nối tõm hai hỡnh cầu, cỏch tõm hỡnh 
cầu lớn một đoăn d như hỡnh vẽ( xem m như một
chất điểm ).
Giải:
Xột lực hấp dẫn của quả cầu tõm o khi chưa khoột và vật m:
Khối lượng phần bị khoột :
 . 
 Lực hấp dẫn do phần bị khoột và vật m sẽ là:
 Nếu khoột m, ta coi như vật m khụng chịu tỏc dụng của phần này. Do đú lực hấp dẫn do phần cầu 0 khi đó khoột cầu và vật m sẽ là:
 .
 Bài 44: Một viờn đạn xuyờn qua tấm vỏn cú chiều dày là h, cú vận tốc giảm từ đến v. Tỡm thời gian chuyển động của đạn trong tấm vỏn, biết rằng lực của tấm vỏn tỉ lệ với bình phương vận tốc của viờn đạn.
Giải:
 Xột trong khoảng thời gian rất nhỏ dt khi đảntong tấm vỏn ta cú phương trỡnh định luật II Newton:
 Hay:
 (1) 
 Từ (1) ta suy ra:
 Lấy tớch phõn (2): 
 (4)
 Lấy tớch phõn (3): 
 (5)
 Từ (4) và (5) ta suy ra: 
 Vậy thời gian chuyển động của viờn đạn trong tấm vỏn là:
 . 
Bài 45: Một vật cú khối lượng 3kg chuyển động trong trường lực phụ thuộc thời gian trong hệ trục tọa độ oxyz:
 với là cỏc vộc tơ đơn vị trờn trục ox,oy,oz.
 Giả sử điều kiện ban đầu: , (m) và (m/s)
 Tỡm sự phụ thuộc của vị trớ và vận tốc của vật theo thời gian ?
Giải
 Gia tốc của hạt là: 
 Từ đú ta cú: 
 Vận tốc của vật:
 Thời điểm ban đầu ta cú:
 Vận tốc của vật theo thời gian:
 Hay: 
 Vị trớ của vật: 
 Vậy vị trớ của vật phụ thuộc vào thời gian như sau:
 .
Bài 46: Một lũ xo cú khối lượng m (đồng chất), hệ số đàn hồi là k, treo tự do một đầu trờn trần nhà. Tớnh độ dón của lũ xo ở vị trớ cõn bằng.