50 Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7

y mỗi lớp trồng được đều như nhau.
Câu 3: (1,5đ)
Chứng minh rằng là một số tự nhiên.
Câu 4 : (3đ)
Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC.Chứng minh rằng .
a, K là trung điểm của AC.
b, BH = 
c, đều
Câu 5 (1,5 đ)
 Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa:
a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2.
b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3.
c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4.
Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn.
Đề số 51:
đề thi học sinh giỏi
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (3 điểm): Tớnh
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tỡm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tỡm biết: 
---------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI 
Bài 1: 3 điểm	
=
= 0.5đ
= 1đ
= 	 0.5	
==	 0.5đ 
= 	 0.5đ
Bài 2:
Từ suy ra 	0.5đ
 khi đú 0.5đ
 	= 	0.5đ
 b) Theo cõu a) ta cú: 	 0.5đ
	từ 1đ
 	hay 	 0.5đ
	vậy 	 0.5đ
Bài 3: 
a) 
 0.5đ
 hoặc 1đ
Với hay 	 0.25đ	
Với hay 	 0.25đ
b) 
	0.5đ
 0.5đ
 0.5đ
 	0.5đ
Bài 4: 
Cựng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với cỏc vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
Ta cú: và 	1đ	
hay: 0.5đ
Do đú:
; ; 0.5đ
Vậy cạnh hỡnh vuụng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ
Bài 5: 
-Vẽ hỡnh, ghi GT, KL đỳng 	0.5đ
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	1đ
suy ra 
Do đú 
b) ABC cõn tại A, mà (gt) nờn 
ABC đều nờn 
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD 
nờn 
Xột tam giỏc ABM và BAD cú:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC
Bài 6: 
	Ta cú 8(x-2009)2 = 25- y2
 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ
Vỡ y2 0 nờn (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1	 0.5đ
Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta cú y2 = 17 (loại) 
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta cú y2 =25 suy ra y = 5 (do ) 0.5đ	 
 Từ đú tỡm được (x=2009; y=5) 	 0.5đ
Đề số 52:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
 Bài 1. Tính 
Bài 2. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7
Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: = 3
 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. 
Đề số 52:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phộp tớnh: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tỡm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đú bằng 24309. Tỡm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tớnh và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
 Hết 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN 7
Bài 1:(4 điểm):
Đỏp ỏn
Thang điểm
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
3 n + 2 - Với mọi số nguyờn dương n ta cú:
 = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyờn dương.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
0,5 điểm
Bài 2:(4 điểm)
Đỏp ỏn
Thang điểm
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 3: (4 điểm)
Đỏp ỏn
Thang điểm
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta cú: a : b : c = (1) 
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k 
Do đú (2) 
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đú ta cú số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đú ta cú sú A =+( ) + () = . 
b) (1,5 điểm)
Từ suy ra 	
 khi đú 
 	= 	
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
Đỏp ỏn
Thang điểm
Vẽ hỡnh
0,5 điểm
a/ (1điểm) Xột và cú :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nờn : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vỡ = = 
(2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 	0,5 điểm	
b/ (1 điểm )
Xột và cú : 
AM = EM (gt )
= ( vỡ )
AI = EK (gt )
Nờn ( c.g.c ) 	0,5 điểm Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	0,5 điểm
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giỏc vuụng BHE ( = 90o ) cú = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	0,5 điểm
 = - = 40o - 25o = 15o 	0,5 điểm
 là gúc ngoài tại đỉnh M của 
 Nờn = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) 	0,5 điểm
Bài 5: (4 điểm)
-Vẽ hỡnh	
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	1 điểm	
suy ra 	0,5 điểm
Do đú 	0,5 điểm
b) ABC cõn tại A, mà (gt) nờn 
ABC đều nờn 	0,5 điểm
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
 Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD 
nờn 	0,5 điểm
Xột tam giỏc ABM và BAD cú:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
 suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC	0,5 điểm
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn đạt điểm tối đa.
Đề số 53:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm)
 Thực hiện phép tính :
a. 
b.
Câu 2 ( 2 điểm)
a. Tìm số nguyên a để là số nguyên
b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0
Câu 3 ( 2 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì với b, d khác 0
b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + để được một số có ba chữ 
số giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm) 
Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1
Đáp án chấm Toán 7
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
1.a
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa
1Điểm
1.b
Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa
1Điểm
2.a
Ta có : =
 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
Vậy với athì là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Từ : x- 2xy + y = 0 
Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc 
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d)
Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là =111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
Hay n(n + 1) =2.3.37.a 
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74 
( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37
Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó không thoả mãn 
Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó thoả mãn 
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,25
0,5
4
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CH = BC 
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H 
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450 + 300 =750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 nguyên tố thoả mãn 
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2 =19 không thoả mãn 
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Đề số 54:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4đ) - 
 Rút gọn biểu thức 
 a- A = a - 2 + 3 - 2a - 5 + a
 b- với n N
Bài 2 (4 đ) . 
 Chứng minh rằng : nếu a,b,c là các số không âm thoả mãn các điều kiện sau : a + 3 c = 8 và a + 2 b = 9 thì N = a + b - c - là số không dương . Tìm a,b,c để N = 0
 Bài 3 (4 đ) . 
 Cho biểu thức A = 
 Biểu thức A có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị đó 
Câu 4 (4 đ) 
 Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 0 . Phân giác trong của CAB cắt CB tại D . Chứng minh rằng AD + DC = AB
Bài 5 ( 4 đ) 
 Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm D sao cho hai điểm B , D nằm khác phía đối với đường thẳng AC . Gọi K là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua trung điểm M của CD và vuông góc với AD .
 Chứng minh KB = KD
-------------------------*****-------------------------
 Đề số 55:
 đề thi học sinh giỏi
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: Thực hiện phộp tớnh (2 điểm)
a/ 	b/ 
Bài 2: So sỏnh (2 điểm)
a/ với 	b/ với 	6
Bài 3: Tỡm x, y, z biết (4,5 điểm)
a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50	
b/ 
c/ 	và 	10x - 3y - 2z = -4
Bài 4: (6 điểm)
Cho hàm số . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; -1)
a/ Tỡm m
b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tỡm được
c/ Điểm nào sau đõy khụng thuộc đồ thị hàm số trờn.
B(-2; -2)	C(5; 1)	D(2; 10)	
d/ Tớnh diện tớch tam giỏc OBC
Bài 5: (5,5 điểm)
Cho ∆ABC, gúc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm. Trờn BC lấy điểm D sao cho gúc BAD = 600. Gọi H là trung điểm của BD
a/ Tớnh độ dài HD
b/ Chứng minh rằng ∆DAC cõn 
c/ ∆ABC là tam giỏc gỡ?
d/ Chứng minh rằng AB2 + CH2 = AC2 + BH2
 =======¯&¯=======
(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)