Bài giảng Hình chữ nhật

HÌNH CHỮ NHẬT
1/ Giả sử M , N là trung điểm các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD . Trên phần kéo dài về phía D của cạnh DC ta lấy điểm P tùy ý . Gọi Q là giao điểm của PM và AC . Chứng minh rằng QNM = MNP . 
B
A
HƯỚNG DẪN
	 Q
R
N
E
M
P
D
C
	Gọi R là giao điểm của QC với MN , E là giao điểm của QN với DC .
	Ta có : MN // BA Þ MNP = NPC , QNM = E 
	Trong D QPE ta có : MN // PE Þ (1) ; (2)
	MR // CD nên : ( gt)
	Þ R là trung điểm của MN . Þ (3) 
	TỪ (1),(2) , (3) : Þ Þ CP = CE 
	Trong D NPE có: NC ^ PE (gt) , CP = CE Þ D NPE cân tại N 
NPE = E Þ QNM = MNP .
2/ Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E trên đường chéo BD sao cho DAE = 150 . Kẻ EF ^ AB . Biết EF = ½ AB và AD = a . Tính EAC và độ dài đoạn EC .
DIỆN TÍCH 
1/ Cho hình chữ nhật ABCD . Các điểm M , N , P , Q lần lượt được lấy một cách tùy ý trên các cạnh AB , BC , CD , DA . Đặt p và S là chu vi và diện tích của tứ giác MNPQ . Chứng minh rằng :
	a/ p ³ AC + BD .
	b/ Nếu p = AC + BD thì S £ ½ SABCD .
	c/ nếu p = AC + BD thì MP2 + NQ2 ³ AC2 .
HƯỚNG DẪN
 D	 P	 C	 D’	
	 N
 Q
	 A’	 B’’
 A M B M’	
	 P’’	
	 C’ 	 D’’ P’’’ C’’
	a/ Lấy đối xứng hình chữ nhật ABCD qua cạnh BC ta được hình chữ nhật BCD’A’ . Lấy đối xứng hình chữ nhật BCD’A’ qua cạnh BA’ ta được hình chữ nhật BA’D’’C’ . Lấy đối xứng hình chữ nhật BA’D’’C’ qua cạnh AD’’ ta được hình chữ nhật A’B’’C’’D’’ . 
	Qua lần lượt các phép đối xứng trên , các điểm M , N , P , Q theo thứ tự biến thành các điểm tương ứng như hình trên . Từ đó ta có : 
p = MN + NP + PQ + QM = PN + NM’ + M’Q’’ + Q’’P’’’ ³ PP’’’ = DD’ = AC + BD .
	Dấu “=” xảy ra Û P , N , M’ , Q’’ , P’’’ thẳng hàng , khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành có các cạnh song song với hai đường chéo AC , BD của hình chữ nhật ABCD .
	b/ Nếu p = AC + BD , theo kết quả trên ta có : PN // MQ // BD và MN // PQ // AC .
	Đặt ta suy ra SAMQ = k2 . SABD = ½ k2 .SABCD và SMNB = ½ ( 1 - k )2. SABCD 
	Vậy S = SABCD – 2SMAQ – 2SMNB . Từ đó suy ra : 
S £ ½ SABCD Û 1 – k2 – ( 1-k )2 £ 
	Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu “=” xảy ra Û k = ½ tức là khi các điểm M , N , P , Q là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật ABCD . 
	c/ Giả sử p = AC + BD . Sử dụng kết quả trên ta được :
MP2 + NQ2 ³ AC2 Û 2 ( MN2 + MQ2 ) ³ AC2 Û ( 1 – k )2 + k2 ³ 
	Û ( 2k – 1 )2 ³ 0 ( đúng ) Þ đpcm . 
2/ Cho D ABC và hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác . Xác định vị trí của M , N , P , Q để MNPQ cóùù diện tích lớn nhất . 
HƯỚNG DẪN
K
x
	 A
 M 	y	N
 B Q H P C
	Đặt MQ = x ; MN = y ; AH = h ; AK = h – x ; SMNPQ = S . Ta có :
	S = xy . D AMN ~ D ABC Þ hay 
	Þ 
	Dấu “=” xảy ra Û x = ½ h Û K là trung điểm của AH hay MN là đường trung bình của D ABC .
Cách 2 : Đặt x = NP , y = MN , AI = h – x . D AMN ~ D ABC Þ 
Þ Þ y = a. . Do đó : SMNPQ = xy = .x ( h-x ) 
	SMNPQ lớn nhất Û x ( h-x ) lớn nhất . Ta thấy x và h-x là hai số có tổng không đổi nên tích của chúng lớn nhất Û chúng bằng nhau , tức là x = h – x hay x = ½ h . Khi đó MN là đường trung bình của D ABC .
3/ Cho D ABC , cóùù diện tích S và một hình chữ nhật MNPQ cóùù diện tích S1 nội tiếp D ABC ( M trên AB , P,Q trên BC ) . Chứng minh S ³ 2S1 . 
HƯỚNG DẪN
	 A
h-x
y
x
 M I	N
 B Q H P C
CaÙch 1 :	S = ½ AH.BC ; S1 = MQ.MN 
Nhân từng vế (1) với (2) 
	 Mà hay 
Þ Þ S ³ 2S1 ; Dấu “=” xảy ra Û AM = MB Û MN là đườøng trung bình của D ABC .
CHU VI 
1/Cho hai hình chữ nhật có chu vi bằng nhau . Một hình có các cạnh được tô màu đỏ , hình kia có các cạnh được tô màu xanh . Người ta chồng hai hình chữ nhật lên nhau sao cho phần giao của chúng là một hình bát giác . Chứng minh rằng hình bát giác có tổng độ dài 4 cạnh màu đỏ bằng tổng độ dài 4 cạnh màu xanh .
2/ Cho hai hình chữ nhật có cùng diện tích . Hình chữ nhật thứ nhất có kích thước a , b ( a > b ) . Hình chữ nhật thứ hai có kích thước c , d ( c > d) . Chứng minh rằng nếu a > c thì chu vi hình chữ nhật thứ nhất lớn hơn chu vi hình chữ nhật thứ hai . 
CỰC TRỊ
1/ Cho D ABC . Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong D ABC ( M,N nằm trên cạnh BC , P nằm trên CA , Q nằm trên cạnh AB ) biết rằng :
	a/ Đường chéo MP có độ dài bằng d cho trước .
	b/ Đường chéo MP có độ dài bé nhất . 
QUĨ TÍCH
1/ Cho D ABC . Một hình chữ nhật MNPQ thay đổi nhưng luôn luôn nội tiếp trong D ABC . Tìm quĩ tích tâm O của hình chữ nhật MNPQ . 
2/ Cho hình chữ nhật ABCD , O là giao điểm các đường chéo . Tìm tập hợp tất cả các điểm P sao cho đoạn thẳng PO ngắn hơn đoạn PA , PC , PB , PD . 
3/ Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD . Xác định vị trí của F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất 
HƯỚNG DẪN
	A	 F	 B
	 I
	E	 K G
	 M
	 D H	 C
Gọi I , K , M theo thứ tự là trung điểm của EF , EG , GH . D AEF vuông tại A có AI là trung tuyến Þ AI = ½ EF . Tương tự ta có : MC = ½ GH . IK là đường trung bình của D EFG Þ IK = ½ FG . Tương tự ta có : KM = ½ EH . 
Do đó chu vi tứ giác EFGH = EF + FG + GH + EH = 2 ( AI + IK + KM + MC ) 
	Ta lại có : AI + IK + KM + MC ³ AC ( so sánh độ dài đoạn thẳng và độ dài đường gấp khúc . Suy ra Chu vi tứ giác EFGH ³ 2AC ( AC có độ dài không đổi ) 
	Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 2AC Û A , I , K , M , C thẳng hàng .
	Khi đó ta có : EH // AC ; FG // AC ; AEI = EAI = ADB nên EF // DB . Tương tự GH // DB . Tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD .