Bất đẳng thức lượng giác - Chương 4: Một số chuyên đề bài viết hay, thú vị liên quan đến bất đẳng thức và lượng giác

 cos2−= nên ta cũng suy ra ( )3 . 
Từ công thức ( )3 , ta suy ra : 
 ( )4
8
1
coscoscos ≤CBA 
(Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều). Cũng 
như bất ñẳng thức ( )2 , bất ñẳng thức ( )4 ñã ñược phát 
hiện và chứng minh chỉ với kiến thức lớp 10 và có một 
“nguồn gốc hình học” khá ñẹp. Cần nhớ rằng, “xưa 
nay” chưa nói ñến việc phát hiện, chỉ riêng việc chứng 
minh các bất ñẳng thức ñó, người ta thường phải dùng 
các công thức lượng giác (chương trình lượng giác lớp 
11) và ñịnh lý về dấu tam thức bậc hai. 
Có ñược ( )1 và ( )3 , ta tiếp tục tiến tới. Ta thử sử dụng “ñường thẳng Ơle”. 
Nếu O, G, H là tâm ñường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm ABC∆ thì O, G, H 
thẳng hàng và : OHOG
3
1
= . Từ 22
9
1 OHOG = . 
Từ ( )( )31 ta có : 
 ( ) ( )CBACBA coscoscos81
4
1
sinsinsin
4
9 222
−=++− 
hay CBACBA coscoscos22sinsinsin 222 +=++ 
Thay α2sin bằng α2cos1− vào ñẳng thức cuối cùng, ta ñược kết quả quen thuộc : 
 ( )51coscoscos2coscoscos 222 =+++ CBACBA 
Chưa nói ñến việc phát hiện ra ( )5 , chỉ riêng việc chứng minh ñã làm “nhức óc” không 
biết bao nhiêu bạn trẻ mới làm quen với lượng giác. Qua một vài ví dụ trên ñây, hẳn các 
bạn ñã thấy vai trò của hình học trong việc phát hiện và chứng minh các hệ thức “thuần 
túy lượng giác”. Mặt khác, nó cũng nêu lên cho chúng ta một câu hỏi : Phải chăng các hệ 
thức lượng giác trong một tam giác khi nào cũng có một “nguồn gốc hình học” làm bạn 
ñường ? Mời các bạn giải vài bài tập sau ñây ñể củng cố niềm tin của mình. 
1. Chứng minh rằng, trong một tam giác ta có 





−=
2
sin
2
sin
2
sin8122 CBARd trong ñó 
d là khoảng cách giữa ñường tròn tâm ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ñó. 
Từ ñó hãy suy ra bất ñẳng thức quen thuộc tương ứng. 
• 2. Cho ABC∆ . Dựng trong mặt phẳng ABC các ñiểm 1O và 2O sao cho các tam 
giác ABO1 và ACO2 là những tam giác cân ñỉnh 21 ,OO với góc ở ñáy bằng 
030 và 
sao cho 1O và C ở cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, 2O và B ở cùng một nửa mặt 
phẳng bờ AC. 
a) Chứng minh : 
( )ScbaOO 34
6
1 2222
21 −++= 
b) Suy ra bất ñẳng thức tương ứng : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị 
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 93 
 CBACBA sinsinsin32sinsinsin 222 ≥++ 
3. Chứng minh rằng nếu ABC∆ có 3 góc nhọn, thì : 
 2
coscoscos
sinsinsin
<
++
++
CBA
CBA
4. Cho tứ diện OABC có góc tam diện ñỉnh O ba mặt vuông, OCOBOA += . 
Chứng minh rằng : 
 ( ) BACOACOAB ∠=∠+∠ cossin 
(Hãy dùng phương pháp ghép hình) 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị 
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 94 
Phương pháp giải một dạng bất ñẳng thức lượng 
giác trong tam giác 
Nguyễn Lái 
GV THPT Lương Văn Chánh – Phú Yên 
 Giả sử ( )CBAf ,, là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các góc trong ABC∆ 
 Giả sử các góc CBA ,, thỏa mãn hai ñiều kiện : 
 1) ( ) ( ) 




 +≥+
2
2 BAfBfAf hoặc ( ) ( ) ( )1
2
2 




 +≥ BAfBfAf 
 ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BA = 
 2) ( )












+
≥





+
2
32
3
pi
pi
C
ffCf hoặc ( ) ( )2
2
3
3
2












+
≥





pi
pi
C
ffCf 
 ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
3
pi
=C Khi cộng hoặc nhân ( )( )21 ta sẽ có bất 
ñẳng thức : 
( ) ( ) ( ) 




≥++
3
3 pifCfBfAf hoặc ( ) ( ) ( ) 




≥
3
3 pifCfBfAf 
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi CBA == . Tương tự ta cũng có bất ñẳng thức với chiều 
ngược lại. ðể minh họa cho phương pháp trên ta xét các bài toán sau ñây : 
Thí dụ 1. Chứng minh rằng với mọi ABC∆ ta luôn có : 
4 32
23
sin1
1
sin1
1
sin1
1
+
≥
+
+
+
+
+ CBA
Lời giải. Ta có : 
( )
2
sin1
2
sinsin22
4
sinsin2
4
sin1
1
sin1
1
BABABABA +
+
≥
++
≥
++
≥
+
+
+
 ( )3
2
sin1
2
sin1
1
sin1
1
BABA +
+
≥
+
+
+
⇒ 
Tương tự ta có : ( )4
2
3sin1
2
3
sin1
1
sin1
1
pipi
+
+
≥
+
+
+ CC
Cộng theo vế ( )3 và ( )4 ta có : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị 
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 95 
3
sin1
4
2
3sin1
1
2
sin1
12
3
sin1
1
sin1
1
sin1
1
sin1
1
pipipi
+
≥


















+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
+
+ CBACBA
4 32
23
sin1
1
sin1
1
sin1
1
+
≥
+
+
+
+
+
⇒
CBA
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Thí dụ 2. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có : 
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11 





+≥





+





+





+
CBA
Lời giải. Ta có : 
( ) ( ) ( )
2
222
2
2
sin
11
cos1
21
coscos
21
sinsin
11
sinsin
1
sinsin
21
sinsin
1
sin
1
sin
11
sin
11
sin
11












+
+=







+−
+≥







+−−
+=





+=






++≥+++=





+





+
BABABABABA
BABABABABA
 ( )5
2
sin
11
sin
11
sin
11
2












+
+≥





+





+⇒
BABA
 Tương tự : ( )6
2
3sin
11
3
sin
11
sin
11
2
















+
+≥












+





+
pipi CC
 Nhân theo vế của ( )5 và ( )6 ta có : 
4
2
2
3
sin
11
2
3sin
11
2
sin
11
3
sin
11
sin
11
sin
11
sin
11












+≥
















+
+












+
+≥












+





+





+





+
pipipi CBACBA
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị 
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 96 
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11 





+≥





+





+





+⇒
CBA
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có : 
64
3
2
sin
2
sin
2
sin 666 ≥++ CBA 
Lời giải. Trường hợp tam giác ABC tù hoặc vuông. 
 Giả sử { }
2
,,max
pi≥= CBAA , lúc ñó 0
2
cos >
− BA
 và 0
2
3cos >












+
piC
. 
 Ta có : 
( )7
4
sin2
2
sin
2
sin
4
sin
2
cos1
8
1
2
cos
2
cos1
8
1
2
coscos1
8
1
2
2
sin
2
sin
2
2
sin
2
sin
6666
3
3
3
2266
BABABABA
BABABA
BABA
+≥+⇒+=




 +
−≥





 −+
−=




 +
−=












+
≥
+
 Tương tự ta có : ( )8
4
3sin2
2
3sin
2
sin 666
pipi
+
≥+
CC
 Cộng theo vế của ( )7 và ( )8 ta ñược : 
( )9
64
3
6
sin3
2
sin
2
sin
2
sin
8
3sin4
4
3sin
4
sin2
2
3sin
2
sin
2
sin
2
sin
6666
6666666
=≥++⇒
+++
≥












+
+
+≥+++
pi
pipipi
CBA
CBACBACBA
 Trường hợp tam giác ABC nhọn, các bất ñẳng thức ( ) ( ) ( )9,8,7 luôn ñúng. 
Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có : 
 ( )( )( )
3
4
6
4
222sincossincossincos 






+≤+++ CCBBAA 
Lời giải. Ta có : 
( )( )( ) 





−





−





−=+++
4
cos
4
cos
4
cos22sincossincossincos pipipi CBACCBBAA 
 nên bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với : 
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị 
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 97 
 ( )*
4
6
4
2
4
cos
4
cos
4
cos
3








+≤





−





−





−
pipipi CBA 
 - Nếu { }
4
3
,,max
pi≥CBA thì vế trái của ( )* không dương nên bất ñẳng thức ñã cho 
luôn ñúng. 
 - Nếu { }
4
3
,,max
pi
<CBA thì : 0
4
cos,0
4
cos,0
4
cos >





−>





−>





−
pipipi CBA 
 nên ( )





−+





−+=





−





− BABABA cos
2
cos
2
1
4
cos
4
cos
pipipi
( )10
42
cos
4
cos
4
cos
42
cos
2
cos1
2
1
2
2






−
+≤





−





−⇒






−
+≤











−++≤
pipipi
pipi
BABA
BABA
 Tương tự : 
 ( )11
42
3cos
43
cos
4
cos 2












−
+
≤





−





−
pi
pi
pipipi
C
C 
 Do ñó nhân theo vế của ( )10 và ( )11 ta sẽ có : 






−≤












−
+






−
+≤





−





−





−





−
43
cos
42
3cos
42
cos
43
cos
4
cos
4
cos
4
cos 422
pipipi
pi
pipipipipipi
CBACBA
3
3
4
6
4
2
43
cos
4
cos
4
cos
4
cos 







+=





−≤





−





−





−⇒
pipipipipi CBA 
 Do ñó : 
 ( )( )( )
3
4
6
4
222sincossincossincos 






+≤+++ CCBBAA 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC ñều. 
 Mời các bạn tiếp tục giải các bài toán sau ñây theo phương pháp trên. 
 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có : 
( )NnCBA
CBA
n
nnn
∈≥++
≤++
2.3
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1)2
3
1
2
tan
2
tan
2
tan)1 333
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 4 Một số chuyên ñề bài viết hay,thú vị 
liên quan ñến bất ñẳng thức và lượng giác 
The Inequalities Trigonometry 98 
( )31
4
2
4
cos
4
cos
4
cos)3 +≤++ piCCBBAA 
( ) CBACBA coscoscos31
22
1
4
cos
4
cos
4
cos)4 3+≥





−





−





−
pipipi
 với ABC∆ nhọn.