Bài tập ôn thi môn Toán 2014

i m = 1.
	2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: .
	· ; .
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 2 nghiệm phân biệt Û .
	Khi đó 2 điểm cực trị là: Þ 
	Trung điểm I của AB có toạ độ: 
	Đường thẳng d: có một VTCP .
	A và B đối xứng với nhau qua d Û Û Û 
Cho hàm số 	 (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
	· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
	Xét biểu thức ta có: 
	Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: .
	Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB.
	Phương trình đường thẳng AB: 
	Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: Þ 
Cho hàm số (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
	2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
	· Ta có 
	Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt
	 có 2 nhiệm phân biệt 
	Khi đó: điểm cực đại và điểm cực tiểu 
	Ta có .
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho .
	· Ta có: ; 
	Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
	. Để thì 
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
	· . 
	Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT có 1 nghiệm Û 
Cho hàm số 	.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
	· Ta có 
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û 	 (*)
	Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: 
	Þ 
	Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A 
	Û 	(thoả (*))
 Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
	· Ta có 
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û 	 (*)
	Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: 
	Þ 
	Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi Û 
	Û Û .Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
 Cho hàm số có đồ thị (Cm) .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng .
	· Ta có ; 	(m < 0)
	Khi đó các điểm cực trị là: 
	; . DABC cân tại A nên góc chính là .
	Vậy .
 Cho hàm số có đồ thị (Cm) .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
	· Ta có 
	Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt 	(*)
	Với điều kiện (*), phương trình có 3 nghiệm . Hàm số đạt cực trị tại . Gọi là 3 điểm cực trị của (Cm) . 
	Ta có: cân đỉnh A
	Gọi M là trung điểm của BC
	Vì cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
	 Vậy .
	Câu hỏi tương tự:a) , S = 32	ĐS: 
Cho hàm số có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
	2) Cho đường thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng .
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là:
	(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
	(*)
	Khi đó: .
	Mặt khác: . Do đó:
	(thỏa (*)). Vậy 
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng .
	· Ta có: Û 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d là: 
	 hoặc 
	 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
	Khi đó các giao điểm là .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng d: luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và d: 
	Û 
	Do (1) có và 
	nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
	Ta có: nên 
	Suy ra AB ngắn nhất Û nhỏ nhất Û . Khi đó: .
Cho hàm số (C). Tìm m để đường thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .
	· PT hoành độ giao điểm: Û 	(1)
	d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û 	(2)
	Khi đó ta có: . Gọi .
	AB2 = 5 Û Û Û 
	 Û 	(thoả (2))Vậy: .
Cho hàm số (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho .
	· PT hoành độ giao điểm: 
	d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác 
	(**)
	Khi đó gọi là các nghiệm của (*), ta có 
	Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là .
	Suy ra 
	Theo giả thiết ta được 
	Kết hợp với điều kiện (**) ta được là giá trị cần tìm.
Cho hàm số (C). Tìm m để đường thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho DOAB vuông tại O.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 	(*)
	(*) có và (*) không có nghiệm x = 1.
	Þ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là . Theo định lí Viét: 
	Khi đó: 
	 vuông tại O thì 
	Vậy: m = –2.
Cho hàm số 	(1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
	· Gọi là toạ độ của tiếp điểm Þ 
	DOAB cân tại O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm). Nghĩa là: Þ 
	+ Với Þ D: (loại)
	+ Với Þ D: (nhận)
	Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .
Cho hàm số y = .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.
	· Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho .
	Do DOAB vuông tại O nên Þ Hệ số góc của d bằng hoặc .
	Hệ số góc của d là Û 
	Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: .
Cho hàm số: (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho điểm . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
	· Phương trình đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k: 
	d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT có nghiệm
	 Û PT: (1) có nghiệm .
	Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 
	Û 	(*)
	Khi đó ta có: và 
	Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì 
	Û Û Û Û 
	Kết hợp với điều kiện (*) ta được: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng .
	· Tiếp tuyến của (C) tại điểm có phương trình: 
	 Û (*) 
	Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng Û 
	Các tiếp tuyến cần tìm : và 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).
	· Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (). 
	PTTT (d) là Û 
	Ta có: Û 
	Û 
	Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).
	· Gọi , là điểm đối xứng với A qua điểm 
	 Û 
	Û 
	Vậy 2 điểm cần tìm là: và 
Cho hàm số . Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
	· Hai điểm đối xứng nhau qua Oy Û 
	Û Û hoặc 
	Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: .
Cho hàm số (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
	· Giao điểm 2 tiệm cận là . 
	Gọi 
	+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 
	+ YCBT Û . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.
	· Gọi Î (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.
	Ta có: 
	Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)
Cho hàm số . Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).
	· Þ Phương trình MN: .
	Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: .
	Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
	 Û 	(1)
	(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û 	(2)
	Khi đó với là các nghiệm của (1)
	Trung điểm của AB là º (theo định lý Vi-et)
	A, B đối xứng nhau qua MN Û I MN Û 
	Suy ra (1) Û Þ A(0; –4), B(2; 0).
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) 	(1)
Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
	· PT hoành độ giao điểm của (1) và d: 
	d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û 
	Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ 
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là và tại C là 
	Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau Û Û 
	 Û 
Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): .
Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.
	· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 
	Û Û 
	d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û 
	Khi đó: là các nghiệm của PT: Þ 
	Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là và tại P là 
	Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau Û Û 
	 Û