Bài tập Quan hệ vuông góc

BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
1) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD là hình vuông tâm O. 
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC, SD. CMR 
a. BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với mặt phẳng (SAD), BD vuông góc với mặt phẳng 
(SAC). 
b. Bốn điểm A, I, J, K đồng phẳng. 
c. Tứ giác AIJK nội tiếp. Tính diện tích tứ giác nếu hình vuông cạnh a, SA bằng 2a. 
2) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD là hình vuông tâm O. 
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. (α) giao với các cạnh SB, SC, SD tại các điểm 
I, J, K. CMR I, J, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các cạnh SB, SC, SD. 
3)Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với (ABC). 
a. CMR BC  ( SAB) 
b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH  SC 
4) Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với (ABC), BK AC, BH  SC, HK kéo dài cắt SA tại N. 
a. CM SC  (BHK), BK  (SCN) 
b. CM tứ diện SNBC có các cặp cạnh đối vuông góc 
5) Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều. Gọi O là trực tâm của tam 
giác, K là trung điểm của BC 
a. CM SK BC. 
b. CM SC  (BOH) với H là trực tâm của tam giác SBC, OH  (SBC). 
c. Nối OH cắt SA tại N. CM tứ diện SNBC có các cặp cạnh đối vuông góc. 
* Bài toán tương tự: Cho tam giác ABC thuộc mặt phẳng (P), trên đường thẳng d  (P) lấy điểm 
S. Gọi I , K lần lượt là trực tâm tam giác SBC, ABC. Nối IK cắt SA tại Q. 
a. CM SI, AK đồng phẳng 
b. SI cắt AK tại P. CM IK (SBC), PQ SK 
6) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC= 2a , H, K là 
trung điểm AB, AD. 
a. CM SH  (ABCD). 
b. AC  SK, CK  SD. 
c. Tính khoảng cách từ H đến (SCD), H đến (SBC). 
d. Góc tao bởi các cạnh bên và mặt đáy. 
7) Cho tứ diện OABC, OA=OB=OC=a, AOB=AOC=600, BOC=900. 
a. CM tam giác ABC vuông. 
b. CM OA BC, IJ  OA, BC với I, J là trung điểm OA và BC. 
c. CM IJ (ABC) 
8)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD 
là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. 
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, chứng minh SI  (SCD), SJ (SAB). 
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ, chứng minh SHAC. 
c. Gọi M là điểm thuộc cạnh CD sao cho BM SA. Tính AM theo a 
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= 3a , mặt bên SBC là 
tam giác vuông tại B, 
mặt bên SCD là tam giác vuông tại D có SD= 5a . 
a. Chứng minh SA (ABCD) và tính SA. 
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là 
hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng 
(HIJ). CMR AK (SBC), AL (SCD). 
c. Tính diện tích tứ giác AKHL 
10) Cho tam giác MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (α). Trên đường thẳng  (α) tại A lấy hai 
điểm C, D năm về hai phía của A. Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H là giao điểm 
của AM và CC’. 
a. CM CC’ (MCD) 
b. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB. CMR K là trực tâm của tam giác BCD. 
11) Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R trong mặt phẳng (α). Dựng AS (α), AS=2R. Goi T là 
điểm di động trên tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại A, Đặt φ= 0 0ABT, 0 90    . Đường thẳng 
BT cắt đường tròn (O) tại M. Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên SM. 
a) CM các mặt của hình chóp SAMB đều là các tam giác vuông 
b) CM khi T di động đường thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định H 
c) Tính φ để tam giác AHN cân. 
12) Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA= 2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Vẽ 
đường cao AH của tam giác SAB. 
a) CM SH/SB= 2/3 
b). Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện do mặt phẳng (α) cắt 
hình chóp, thiết diện là hình gì? Tính diện tích. 
13) Cho hình chóp S.ABCD có SO  (ABCD), SO= 2 3a , O là giao của AC và BD, ABCD là hình 
thoi với AC=4a, BD=2a. 
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Xác định thiết diện do mặt phẳng (α) cắt hình 
chóp, thiết diện là hình gì? Tính diện tích. 
14) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một. 
a) Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC và α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi OM và các 
mặt (OAB), (OBC), (OAC). CM 2 2 2sin sin sin 1     . 
b) Gọi 1 1 1, ,   lần lượt là góc tạo bởi giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt (OAB), (OBC), (OCA). 
Cm 
2 2 2
1 1 1 1  os os osc c c   . 
c) Gọi 2 2 2, ,   lần lượt là góc tạo bởi giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). 
Cm 2 2 22 2 2 2  os os osc c c   
d) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Các cạnh OA, OB, OC hợp với OH các góc 3 3 3, ,   . 
CM 2 2 23 3 3 1  os os osc c c   . Kết quả trên còn đúng không nếu thay H là một điểm K bất kỳ 
trong mặt phẳng (ABC). 
15) Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), ABCD là hình vuông cạnh bằng a. 
a) Gọi M, N là hai điểm nằm trên cạnh BC, DC sao cho BM=a/2; DN= 3a/4. Chứng minh hai mặt 
phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. 
b) Gọi E, F là hai điểm bất kỳ nằn trên BC, CD. Đặt BE=x, DF=y. Chứng minh điều kiện cần và đủ 
để hai mặt phẳng (SAE) và (SEF) vuông góc với nhau là EF vuông góc với (SAE). Từ đó hãy suy ra 
mối liên hệ giữa x, y. 
c) CM điều kiện cần và đủ để góc tạo bới hai mặt phẳng (SAE) và (SAF) bằng 300 là 
2( ) 3 3  a x y xy a