Bài Toán Liên Quan Khảo Sát Hàm Số

 tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai 
ñiểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa ñộ O. 
Câu 10: (2009B) Cho hàm số 4 22 4y x x= − (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1). 
Bài toán liên quan khảo sát hàm số 
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 
 trang 15 
2. Với các giá trị nào của m , phương trình 2 2 2x x m− = có ñúng 6 nghiệm thực phân biệt? 
Câu 11: (2009B-NC) Tìm các giá trị của tham số m ñể ñường thẳng y x m= − + cắt ñồ thị hàm số 
2 1xy
x
−
= 
tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho 4AB = . 
Câu 12: (2009D) Cho hàm số ( )4 23 2 3y x m x m= − + + có ñồ thị là ( )mC , m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 0m = . 
2. Tìm m , ñể ñường thẳng 1y = − cắt ñồ thị ( )mC tại 4 ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2. 
Câu 13: (2009D-NC) Tìm các giá trị của tham số m ñể ñường thẳng 2y x m= − + cắt ñồ thị hàm số 
2 1x xy
x
+ −
= tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thuộc trục tung. 
Câu 14: (2010A) Cho hàm số ( )3 22 1y x x m x m= − + − + (1) với m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi 1m = . 
2. Tìm m , ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ 1 2 3, ,x x x thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2
1 2 3 4x x x+ + < . 
Câu 15: (2010B) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số ñã cho. 
2. Tìm m , ñể ñường thẳng 2y x m= − + cắt ñồ thị ( )C tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện 
tích bằng 3 (O là gốc tọa ñộ). 
Câu 16: (2010D) Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số ñã cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( )C , biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng 1 1
6
y x= − . 
Câu 17: (2011A) Cho hàm số 1
2 1
xy
x
− +
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 
2. CMR với mọi m ñường thẳng y x m= + luôn cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A và B. Gọi 1 2,k k lần lượt là hệ số 
góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m ñể tổng 1 2k k+ ñạt giá trị lớn nhất. 
Câu 18: (2011B) Cho hàm số ( )4 22 1y x m x m= − + + (1), m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị A, B, C sao cho OA BC= ; trong ñó O là gốc tọa ñộ, A là ñiểm 
cực trị thuộc trục tung, B và C là hai ñiểm cực trị còn lại. 
Câu 19: (2011D) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 
2. Tìm k ñể ñường thẳng 2 1y kx k= + + cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B 
ñến trục hoành bằng nhau. 
Câu 20: (2012A) Cho hàm số ( )4 2 22 1y x m x m= − + + (1), m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 0m = 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. 
Câu 21: (2012B) Cho hàm số 3 2 33 3y x mx m= − + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 
Câu 22: (2012D) Cho hàm số ( )3 2 22 22 3 13 3y x mx m x= − − − + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
2. Tìm m ñể hàm số (1) có hai ñiểm cực trị 1x và 2x sao cho ( )1 2 1 22 1x x x x+ + = . 
Bài toán liên quan khảo sát hàm số 
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 
 trang 16 
Câu 23: (2013A) Cho hàm số 3 23 3 1y x x mx= − + + − (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 0m = . 
2. Tìm m ñể hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( )0;+∞ . 
Câu 24: (2013B) Cho hàm số ( )3 22 3 1 6y x m x mx= − + + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 1m = − . 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ñường thẳng AB vuông góc với ñường thẳng 
2y x= + . 
Câu 25: (2013D) Cho hàm số ( )3 22 3 1 1y x mx m x= − + − + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi 1m = . 
2. Tìm m ñể ñường thẳng 1y x= − + cắt ñồ thị hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt. 
Câu 26: (2013Cð) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
−
. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số ñã cho. 
2. Gọi M là ñiểm thuộc ( )C có tung ñộ bằng 5. Tiếp tuyến của ( )C tại M cắt các trục tọa ñộ Ox và Oy lần 
lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB. 
Câu 27: (2013D-NC) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( )
22 3 3
1
x xf x
x
− +
=
+
 trên ñoạn [ ]0;2 . 
BÀI TẬP ðỀ XUẤT 
Bài 1: Cho hàm số ( )3 22 1y x x m x m= − + − + . 
a) Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 3 . 
b) Tìm m ñể hàm số có hai ñiểm cực trị nằm về hai bên so với trục tung. 
c) Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị ,A B và ñường thẳng AB song song với ñường thẳng 2y x= − . 
d) Tìm các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ mà mọi ñồ thị của hàm số ñều ñi qua. 
e) Tìm các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ mà không thuộc bất kì ñồ thị nào của hàm số. 
ðS: a) 16m ≥ b) 1m > c) 8
3
m = d) ( )1;0 e) ðường thẳng 1x = trừ ñiểm ( )1;0 
Bài 2: Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
. 
a) Biện luận theo m số giao ñiểm của ñường thẳng ( ):d y x m= + với ñồ thị hàm số. 
b) Tìm trên ñồ thị hàm số các ñiểm mà tiếp tuyến tại các ñiểm này tạo với ñường thẳng chứa trục hoành góc 045 . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số, biết tiếp tuyến này vuông góc với ñường thẳng 4y x= − . 
d) Tìm hoành ñộ của các ñiểm trên ñồ thị sao cho tiếp tuyến tại các ñiểm ñó tạo với ñường thẳng y x= góc 060 . 
ðS: a) * 1m = hoặc 3m = : ( )d tiếp xúc ( )C 
 * 3m > hoặc 1m < : ( )d cắt ( )C tại hai ñiểm phân biệt 
 * 1 3m< < : ( )d và ( )C không có ñiểm chung 
 b) ( ) ( )0;1 , 2;3− c) ( ) ( )1 15 , 13
4 4
y x y x= + = + d) 1 2 3 , 1 2 3− ± + − ± − 
Bài 3: Cho hàm số 3 23y x x mx= − + (1) 
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 0m = 
b) Tìm m ñể tiếp tuyến với ñồ thị của hàm số (1) cắt các trục tọa ñộ tại các ñiểm phân biệt A, B sao cho diện tích 
tam giác OAB bằng 3
2
. 
 ðS: b) 2, 4m m= = − 
Bài 4: (Từ B2011) Cho hàm số ( )4 22 1y x m x m= − + + (1), m là tham số. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 0m = 
Bài toán liên quan khảo sát hàm số 
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 
 trang 17 
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị A, B, C (theo thứ tự từ trái qua phải) sao cho ABC là tam giác 
vuông. 
 ðS: 0m = 
Bài 5: (Từ D2011) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 
2. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ O cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho O là trung 
ñiểm ñoạn AB. 
 ðS: 2y x= 
Bài 6: Tìm m sao cho hàm số ( )3 22 3 3 11 3y x m x m= + − + − ñồng biến trên nửa ñoạn [ )1; + ∞ 
 ðS: 2m ≥ 
Bài 7: (Từ A2011) Cho hàm số 1
2 1
xy
x
− +
=
−
. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục tọa ñộ tại các ñiểm A, B và tam 
giác OAB vuông cân. 
Bài 8: Cho hàm số 3 22y x x= − 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho. 
2. Tìm các ñiểm trên trục hoành sao cho từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến (C) và chúng vuông góc với nhau. 
3. Tìm các ñiểm trên trục hoành sao cho từ ñó kẻ ñúng một tiếp tuyến ñến (C). 
 ðS: 2. Hệ 
3 2
2
2 ( )
3 4
x x k x a
k x x

− = −

= −
có 2 nghiệm 1 1 2 2( ; ), ( ; )x k x k và 1 2 1k k = − : 
1
; 0
8
 
− 
 
 3. Các ñiểm ( ; 0)a với 2 2
9
a< < 
Bài 9: (Từ D2011) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
. Tìm trên trục tung những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược duy nhất một tiếp 
tuyến với ñồ thị của hàm số. 
ðS: Hệ 
2
2 1
1
1
( 1)
x kx b
x
k
x
+
= + +

 =
 +
 có nghiệm duy nhất hay ( ) ( )22 2 1 1 0b x b x b− + − + − = có nghiệm duy nhất 
( ) ( )0; 1 , 0; 2 
Bài 10: (Từ A2012) Cho hàm số ( )4 2 22 1y x m x m= − + + (1), m là tham số. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị ñều nằm trên các trục tọa ñộ 
 ðS: 1
2
m = − 
Bài 11: (Từ 2012B) Cho hàm số 3 2 33 3y x mx m= − + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
2. Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng ( )0; + ∞ . 
Bài 12: Cho hàm số ( )
3 2
3 23 31 3
2 2
m my x m x mx −= − + + + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 0m = . 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ba ñiểm O, A, B lập thành một tam giác vuông 
(O là gốc hệ trục). 
 ðS: 51 4m = + . Muốn bài toán ñơn giản hơn bạn nói rõ OAB vuông tại A. 
Bài 13: Cho hàm số 3 23 3y x x= − + (1) ), m là tham số thực 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai 
ñiểm phân biệt A, B và 9.OB OA= 
Bài toán liên quan khảo sát hàm số 
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013 
 trang 18 
 ðS: 9 8y x= + , 9 24y x= − 
Bài 14: Cho hàm số 3 23y x x mx= − + (1) ), m là tham số thực 
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 0m = 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành một cấp số cộng. 
 ðS: 2m = 
Bài 15: (Từ 2012B) Cho hàm số 3 23 4y x mx m= − + (1), m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. 
 ðS: { }0; 1;1m∈ − 
Bài 16: Cho hàm số y x mx m= − + +4 22 1 (1), m là tham số thực 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi 1m = 
2. Tìm m ñể ba ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác nhận gốc tọa ñộ O làm trọng tâm. 
3. Tìm m ñể ba ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác nhận gốc tọa ñộ O làm tâm ñường tròn 
ngoại tiếp. 
 ðS: 2. m += 3 33
4
 3. m ±= 3 5
2