Bất đẳng thức lượng giác - Chương 2: Các phương pháp chứng minh

pháp này thì bạn ñọc cần ñến những kinh 
nghiệm giải toán ở các phương pháp ñã nêu ở các phân trước. 
Ví dụ 2.5.1. 
 CMR : 
pi
x
x
2
sin > với 





∈
2
;0 pix 
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 58 
 Xét ( )
pi
2sin
−=
x
x
xf với 





∈
2
;0 pix 
 ( ) 2 sincos' x
xxx
xf −=⇒ 
 Xét ( ) xxxxg sincos −= với 





∈
2
;0 pix 
 ( ) ( )xgxxxxg ⇒





∈∀<−=⇒
2
;00sin' pi nghịch biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=





>⇒<⇒=<⇒ 0
2
0'00 pifxfxfgxg ñpcm. 
Ví dụ 2.5.2. 
 CMR : x
x
x
cos
sin 3
>





 với 





2
;0 pi 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )
( ) 0cossin
cos
sin
3
1
3
1
>−⇔
>
−
xx
x
x
 Xét ( ) ( ) xxxxf −= −31cossin với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có : ( ) ( ) ( ) 1cossin
3
1
cos' 3
4
23
2
−−=
−
xxxxf 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 





∈∀>+−= −−
2
;00cossin
9
4
sin1cos
3
2
'' 4
7
33
1 pi
xxxxxxf 
 ( )xf '⇒ ñồng biến trong khoảng ñó ( ) ( ) 00'' =>⇒ fxf 
 ( )xf⇒ cũng ñồng biến trong khoảng ñó ( ) ( ) ⇒=>⇒ 00fxf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.3. 
 CMR nếu a là góc nhọn hay 0=a thì ta có : 
1tansin 222 +≥+ aaa 
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 59 
 Áp dụng AM – GM cho hai số dương asin2 và atan2 ta có : 
aaaaaa tansintansintansin 2222222 +=≥+ 
 Như vậy ta chỉ cần chứng minh : aaa 2tansin >+ với 
2
0 pi<< a 
 Xét ( ) xxxxf 2tansin −+= với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có : 
( ) ( ) ( )[ ] 





∈∀>−+−=+−=−+=
2
;00
cos
cos1cos1cos1
cos
1cos2cos2
cos
1
cos' 22
23
2
pi
x
x
xxx
x
xx
x
xxf
( )xf⇒ ñồng biến trên khoảng ñó ( ) ( )0faf >⇒ với aaaa 2tansin
2
;0 >+⇒





∈
pi
12tansin 22222 ++ =≥⇒ aaaa 
1tansin 222 +≥+⇒ aaa (khi 0=a ta có dấu ñẳng thức xảy ra). 
Ví dụ 2.5.4. 
 CMR trong mọi tam giác ta ñều có : 
( ) CBACBABABABA coscoscoscoscoscos
12
13
coscoscoscoscoscos1 +++≤+++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( ) ( )CBABABABACBA coscoscos
6
131coscoscoscoscoscos2coscoscos21 ++≥++++−
( ) ( )CBABABABACBA coscoscos
6
131coscoscoscoscoscos2coscoscos 222 ++≥++++++⇔
( ) ( )CBACBA coscoscos
6
131coscoscos 2 ++≤+++⇔
6
13
coscoscos
1
coscoscos ≤
++
+++⇔
CBA
CBA 
 ðặt 
2
31coscoscos ≤<⇒++= tCBAt 
 Xét hàm ñặc trưng : ( )
t
ttf 1+= với 




∈
2
3
;1t 
 Ta có : ( ) ( )xft
x
xf ⇒




∈∀>−=
2
3
;1011' 2 ñồng biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ⇒=




≤⇒
6
13
2
3fxf ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 60 
Ví dụ 2.5.5. 
 Cho ABC∆ có chu vi bằng 3. CMR : 
 ( ) 2222 4
13
sinsinsin8sinsinsin3
R
CBARCBA ≥+++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )( )( ) 13sin2sin2sin24sin4.3sin4.3sin4.3 222222 ≥+++ CRBRARCRBRAR 
 134333 222 ≥+++⇔ abccba 
 Do vai trò của cba ,, là như nhau nên ta có thể giả sử cba ≤≤ 
 Theo giả thiết : 
2
3133 −⇒>+⇒=++ ccccbacba 
 Ta biến ñổi : 
( )
( )[ ]
( )
( ) ( )
( ) ( )cabcc
cabcc
ababccc
abccabba
abccba
abccbaT
232333
322333
64333
4323
433
4333
22
22
22
22
222
222
−−+−=
−++−=
−++−=
++−+=
+++=
+++=
 vì 023032
2
3
>−⇒<−⇒< ccc 
 và 
222
2
322
2
3
2





 −
−≥−⇒




 −
=




 +≤ cabcbaab 
 Do ñó : ( ) ( )ccccT 23
2
32333
2
22
−




 −
−+−≥ 
 ( )cfcc =+−=
2
27
2
3 23
 Xét ( )
2
27
2
3 23 +−= cccf với 
2
31 <≤ c 
 ( ) ( )cfccccf ⇒




∈∀≥−=⇒
2
3
;1033' 2 ñồng biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ( ) ⇒=≥⇒ 131fcf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.6. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
33
282 ≥+
r
p
S
r
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 61 
Lời giải : 
 Ta có : 
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
p
cp
p
bp
p
apCBA
cpp
bpapC
bpp
apcpB
app
cpbpA
−
⋅
−
⋅
−
=⇒










−
−−
=
−
−−
=
−
−−
=
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
 và 
( )( )( )
p
cp
p
bp
p
ap
p
cpbpapp
p
S
S
r −
⋅
−
⋅
−
=
−−−
== 22
2
 Do ñó : 
2
tan
2
tan
2
tan
2 CBA
S
r
= 
 Mặt khác : 
( ) ( )
( )
( )
2
cot
2
cot
2
cot
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
tansinsinsin2
sinsinsin2
2
tan
2
tan2
CBA
A
A
CBA
CBA
AACBR
CBAR
A
acb
cba
A
ap
cba
r
p
==
−+
++
=
−+
++
=
−
++
=
 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
33
28
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
1
33
28
2
cot
2
cot
2
cot
2
tan
2
tan
2
tan
≥+⇔
≥+
CBA
CBA
CBACBA
 ðặt 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥⇒= tCBAt 
 Xét ( )
t
ttf 1+= với 33≥t 
 ( ) 33011' 2 ≥∀>−=⇒ tttf 
 ( ) ( ) ⇒=+==⇒
33
28
33
13333min ftf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.7. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 62 
 CMR với mọi ABC∆ ta có : 
 ( )( )( ) 2
33
38222 eRcRbRaR <+++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )( )( ) 2
33
2
33
2
33
sin1sin1sin1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
eCBA
e
R
c
R
b
R
a
e
R
cR
R
bR
R
aR
<+++⇔
<





+





+





+⇔
<
+
⋅
+
⋅
+
 Xét ( ) ( ) xxxf −+= 1ln với 10 << x 
 ( ) ( )1;00
1
1
1
1
' ∈∀<
+
−=−
+
=⇒ x
x
x
x
xf 
 ( )xf⇒ nghịch biến trên khoảng ñó ( ) ( ) 00 =<⇒ fxf 
 ( ) xx <+⇒ 1ln 
 Lần lượt thay { }CBAx sin,sin,sin= vào bất ñẳng thức trên rồi cộng lại ta ñược : 
( ) ( ) ( )
( )( )( )[ ]
( )( )( ) CBAeCBA
CBACBA
CBACBA
sinsinsinsin1sin1sin1
sinsinsinsin1sin1sin1ln
sinsinsinsin1lnsin1lnsin1ln
++<+++⇔
++<+++⇔
++<+++++
 mà ( )( )( ) ⇒<+++⇒≤++ 2
33
sin1sin1sin1
2
33
sinsinsin eCBACBA ñpcm. 
Ví dụ 2.5.8. 
 Cho ABC∆ . CMR : 
 ( )( )( )
16
125
cos1cos1cos1 222 ≥+++ CBA 
Lời giải : 
 Không mất tổng quát giả sử { }CBAC ,,min= .Ta có : 
 ( )( ) 




 +
+




 +
+=++
2
2cos11
2
2cos11cos1cos1 22 BABA 
 Xét ( )( ) ( )( )BABAP 2cos32cos3cos1cos14 22 ++=++= 
( ) BABAP 2cos2cos2cos2cos39 +++=⇒ 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BABABABA 22cos22cos
2
1
coscos69 −+++−++= 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 63 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 1coscoscoscos69
2cos2cos2
2
1
coscos69
22
22
−+++−−=
−++++−−=
BACBAC
BABABAC
 do ( ) 1cos ≤− BA 
 ( )22 cos3coscos69 CCCP −=+−≥⇒ 
 mà 0cos >C 
 ( ) ( ) ( )CCCP 222 cos1cos3cos1 +−≥+⇒ 
 Mặt khác ta có : 
2
1
cos600 0 ≥⇒≤< CC 
 Xét ( ) ( ) ( )22 13 xxxf +−= với 




∈ 1;
2
1
x 
 ( ) ( )( )( ) 




∈∀≥−−−=⇒ 1;
2
1012132' xxxxxf 
 ( )xf⇒ ñồng biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ( )( )( ) ⇒≥+++⇒=




≥⇒
16
125
cos1cos1cos1
16
125
2
1 222 CBAfxf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.9. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
 ( ) 32cotcot
sin
1
sin
12 ≤+−





+ CB
CB
Lời giải : 
 Xét ( ) x
x
xf cot
sin
2
−= với ( )pi;0∈x 
 ( ) ( )
3
0'
sin
cos21
sin
1
sin
cos2
' 222
pi
=⇔=⇒
−
=+−=⇒ xxf
x
x
xx
x
xf 
 ( ) 3cot
sin
23
3
max ≤−⇒=





=⇒ x
x
fxf pi 
 Thay x bởi CB, trong bất ñẳng thức trên ta ñược : 
 ⇒






≤−
≤−
3cot
sin
2
3cot
sin
2
C
C
B
B ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 64 
Ví dụ 2.5.10. 
 CMR : 
20
720sin
3
1 0 << 
Lời giải : 
 ðặt 
2
1030sin020sin 00 <<⇒<<⇒= aaa 
 Ta có : 
2
34320sin420sin320.3sin60sin
2
3 303000
=−⇒−=== aa 
 aaa ⇒=+−⇒ 0
2
334 3 là nghiệm của phương trình : 0
2
334 3 =+− xx 
 Xét ña thức : ( )
2
334 3 +−= xxxf 
 Ta có : ( ) 0
2
23
2
311 <−=+−=−f 
( ) ( ) ( ) 0010
2
30 = fff Bởi vì ( )xf liên tục trên toàn trục số .Do ñó ña thức 
( )xf có một nghiệm thực trên khoảng ( )0;1− 
 Lại có : 0
20
7
3
1
0
2000
175731000
20
7
0
54
46327
3
1
<











⇒







<
−
=





>
−
=





ff
f
f
⇒ ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng 





20
7
;
3
1
 Lại có : 0
2
23
2
1
<
−
=




f và ( ) ( ) 01
2
10
2
231 <





⇒>
+
= fff 
⇒ ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng 




 1;
2
1
 Bởi vì aa ⇒





∈
2
1
;0 là nghiệm thực trên khoảng ⇒





20
7
;
3
1
ñpcm. 
2.6. Bài tập : 
 Cho ABC∆ . CMR : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 65 
2.6.1. ( )
2
5
cos2cos2cos3 ≤+− BCA 
2.6.2. 42cos322cos22cos3 −≥++ CBA 
2.6.3. ( )( ) ( ) 542cos532cos2cos15 +≤+−++ CBA 
2.6.4. 34
2
tan
2
tan
2
tan −≥++ CBA với ABC∆ có một góc 
3
2pi≥ 
2.6.5. 2222 4
1111
rcba
≤++ 
2.6.6. 
cba r
c
r
b
r
a
r
abc 333
++≥ 
2.6.7. ( )( )( ) 2
3
<
+++
+
+
+
+
+
+ accbba
abc
ba
c
ac
b
cb
a
2.6.8. CBA
CBA
tantantan
2
1
2
3
2sin
1
2sin
1
2sin
1
+≥++ 
2.6.9. 
32
tan
2
tan
2
tan
cbaC
c
BbAa ++≥++ 
2.6.10. ( ) 36
1
sinsinsin
sinsinsin
2 ≤++ CBA
CBA
2.6.11. 
2
sin
2
sin
2
sin9coscoscos1 CBACBA ≥+ 
2.6.12. rRmmm cba +≤++ 4 
2.6.13. 2phhhhhh accbba ≤++ 
2.6.14. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22222 Rpbpapcapcpbcpbpa ≤−−+−−+−− 
2.6.15. ( )( )( ) CBACBA coscoscoscos1cos1cos1 ≥−−−