Các bài toán hình Ôn thi Tuyển sinh 10

hì đường thẳng MN luôn 
 tiếp xúc với một đường tròn cố định:	 
 Ta có (gt) nên . Vậy OM là phân giác của .
	Tương tự ON là phân giác của , mà và kề bù nên 
 Vậy tam giác MON vuông cân ở O
 Kẻ OH MN, ta có OH = OM.sinM = R. = không đổi.
	 Vậy khi C di động trên đường tròn (O) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một 
	 đường tròn cố định (O; )
Bài 12. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường 
 tròn ( B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại 
 D và E ( D nằm giữa A và E , dây DE không qua tâm O). Gọi H là trung 
 điểm của DE, AE cắt BC tại K . 
 a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn . 
 b) Chứng minh HA là tia phân giác của 
 c) Chứng minh : . 
 BÀI GIẢI
	a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: 
	 (tính chất tiếp tuyến)
	Tứ giác ABOC có nên nội tiếp được 
 trong một đường tròn . 
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC:
	AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra . Do đó 
	Vậy HA là tia phân giác của góc BHC.
c)Chứng minh :
 ABD và AEB có: 
 chung, (cùng bằng sđ )
	Suy ra : ABD ~ AEB
	Do đó: (1)
	ABK và AHB có: 
	 chung, (do ) nên chúng đồng dạng.
	Suy ra: (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: AE.AD = AK. AH 
 = === 
 (do AD + DE = AE và DE = 2DH)
	Vậy: (đpcm)
 Bài 13. Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Trên đường tròn (O;R) lấy điểm M sao cho . Vẽ đường tròn (B;BM) cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là N . 
Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B;BM) . 
Kẻ các đường kính MOI của đường tròn (O;R) và MBJ của đường tròn (B;BM) . Chứng minh N , I , J thẳng hàng và JI . JN = 6R2
Tính phần diện tích của hình tròn (B;BM) nằm bên ngoài đường tròn (O;R) theo R 
 BÀI GẢI
	a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của 
	đường tròn (B;BM).
 Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))
 Điểm M và N thuộc (B;BM) ; AM MB và AN NB 
 Nên AM ; AN là các tiếp tuyến của (B;BM)
b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng và JI .JN = 6R2.
 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O và tâm B )
 Nên IN MN và JN MN . Vậy ba điểm N ; I ; J thẳng hàng.
* Tam giác MJI BO là đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R
	Tam giác AMO cân ở O (vì OM = OA), nên tam giác MAO đều.
 AB MN tai H(tính chất dây chung của hai đường tròn (O) và (B)cắt nhau) 
 Nên OH = . Vậy HB = HO + OB = 
 Vậy JI . JN = 2R . 3R = 6R2
c)Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngoài đường tròn (O; R) theo R:
 Gọi S là diện tích phần hình tròn nằm (B;BM) nằm bên ngoài hình tròn (O;R).
 S1 là diện tích hình tròn tâm (B; BM)
 S2 là diện tích hình quạt MBN 
 S3 ; S4 là diện tích hai viên phân cung MB và NB của đường tròn (O;R)
	Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4).
Tính S1: 
 . Vậy: S1 = .
 Tính S2 :
	 S2 = = 
	 Tính S3 :
	 S3 = Squạt MOB – SMOB .
	 Squạt MOB = .
 OA = OB 	SMOB = SAMB = = = 
	Vậy S3 = = S4 (do tính chất đối xứng)
	Từ đó: S = S1 – (S2 + 2S3)
	= – 
 = (đvdt) 
 Bài 14: Cho đường tròn (O;R) , đường kính AB . Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường 
	tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB . Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của 
 đường tròn (O;R) , với D là tiếp điểm. 
 a) Chứng minh rằng ACDO là một tứ giác nội tiếp . 
 b)Gọi H là giao điểm của AD và OC .Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH ; AD 
 c)Đường thẳng BC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai M.Chứng minh 
 d)Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB. Tính diện tích phần của hình tròn này 
 nằm ngoài đường tròn (O;R) . 
 BÀI GIẢI
a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp:
 (tính chất tiếp tuyến) 
	Tứ giác ACDO có nên nội tiếp được trong
	một đường tròn.
b) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AH; AD:
 CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R và AH = HD
 Tam giác ACO vuông ở A, AH OC nên 
	= =
	Vậy : AH = và AD = 2AH = 
c) Chứng minh : 
	 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
	Hai đỉnh H và M cùng nhìn AC dưới góc 900 nên ACMH là tứ giác nội tiếp.
 Suy ra : 
	Tam giác ACB vuông tại A, AC = AB(gt) nên vuông cân . Vậy 
	Do đó : .
d) Tính diện tích hình tròn (I) nằm ngoài đường tròn (O) theo R :
	 Từ và mà (do CAB vuông cân ở B)
	Nên Tứ giác HMBO nội tiếp . Do đó .
 Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB là trung điểm MB.
	Gọi S là diên tích phần hình tròn ( I ) ở ngoài đường tròn (O).
 S1 là diện tích nửa hình tròn đường kính MB.
 S2 là diện tích viên phân MDB
 Ta có : S = S1 – S2 
	 Tính S1 : . Vậy S1 = 
 Tính S2: S2 = SquạtMOB – SMOB
 = = 
 S = ( ) = 
Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm . Gọi H làđiểm nằm giữa A và
 B sao cho AH = 1cm . Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D . Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M . Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB ) . 
 a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp . 
 b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg . 
 c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . 
 d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E . Chứng minh đường thẳng EB 
 đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
 BÀI GIẢI
 a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp:
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 Suy ra . Tứ giác MNAC có 
 nên nội tiếp được trong một đường tròn.
 b) Tính CH và tg ABC.
 AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm) HB = 5 (cm)
 Tam giác ACB vuông ở C, CH AB CH2 = AH . BH = 1 . 5 = 5 (cm)
 * tg ABC = 
	 c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O):
 Ta có : (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn ngoại tiếp
 tứ giác MNAC).
	 (so le trong của MN // CD) và (cùng chắn )
	Nên : . Do sđ sđ 
	Suy ra CN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
	(xem lại bài tập 30 trang 79 SGK toán 9 tập 2)
	d) Chứng minh EB đi qua trung điểm của CH:
 Gọi K là giao điểm của AE và BC; I là giao điểm của CH và EB.
	KE // CD (cùng với AB) (đồng vị)
	 ( cùng chắn cung BD)
	(đối đỉnh) và (cùng chắn )
	Suy ra: cân ở E. Do đó EK = EC
	Mà EC = EA( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA.
 có CI // KE và có IH // AE 
	Vậy mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) 
Bài 16
	Cho đường tròn tâm O, đường kính AC. Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K 
 nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt 
 BD tại H.
Chứng minh tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
Chứng minh AD2 = AH. AE.
Cho BD = 24cm; BC = 20cm. Tính chu vi hình tròn (O).
Cho . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân tại M. Tính góc MBC theo để M thuộc đường tròn (O).
 Hướng dẫn:
	c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng 
	 tính được CA = 25 cm R = 12,5 cm
 Từ đó tính được C = 25
M (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp.
 Từ đó tính được 
Bài 17. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa 
	đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc xAC cắt
	nửa đường tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E. 
	 a) Chứng minh DABE cân. 
	 b) Đường thẳng BD cắt AC tại K, cắt tia Ax tại F . Chứng minh tứ giác 
	 ABEF nội tiếp. 	
	 c) Cho . Chứng minh AK = 2CK.
Bài 18. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC và cát 
	tuyến AMN không đi qua tâm O . Gọi I là trung điểm MN. 
	a) Chứng minh AB2 = AM. AN
	b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp . 
	c) Gọi D là giao điểm của BC và AI. Chứng minh 
Bài 19. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác trong của 
	cắt BC tại D và cắt đường tròn tại M. Phân giác ngoài tại Acắt đường 
	thẳng BC tại E và cắt đường tròn tại N. Gọi K là trung điểm của DE. 
	Chứng minh: 
	a) MN vuông góc với BC tại trung điểm của BC. 
	b) 
	c) AK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 20. Cho ba điểm A, B,C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường 
	tròn (O) đi qua B và C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN . Gọi E và F 
	lần lượt là trung điểm của BC và MN. 
	a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB. AC
	b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh IN // AB 
	c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên 
	 một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 21. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R . Điểm C nằm trên (O) mà 
	AC > BC. Kẻ CD ^ AB ( D Î AB ) . Tiếp tuyến tại A của đường tròn 
	(O) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AE tại M. 
	OM cắt AC tại I . MB cắt CD tại K. 
	a) Chứng minh M là trung điểm AE. 
	b) Chứng minh IK // AB. 
	c) Cho OM = AB . Tính diện tích tam giác MIK theo R. 
 Bài 22 : Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một 
	 điểm P tuỳ ý . Gọi là giao điểm của AP và BC 
 Chứng minh BC2= AP . AQ .
Trên AP lấy điểm M sao cho PM = PB . Chứng minh BP+PC= AP.
Chứng minh . 
Bài 23 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn . CA cắt nửa đường tròn ở M , CB cắt nửa đường tròn ở N . Gọi H là giao điểm của AN và BM .
Chứng minh CH ^ AB . 
Gọi I là trung điểm của CH . Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) 
Giả sử CH =2R . Tính số đo cung .
Bài 24: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và dây MN có độ dài bằng bán kính .(M thuộc cung AN ) . Các tia AM và BN cắt nhau ở I . Các dây AN và BM cắt nhau ở K . 
 a)Tính và .
 b)Tìm quỹ tích điểm I và quỹ tích điểm K khi dây MN thay đổi vị trí .
 c) Chứng minh I là trực tâm của tam giác KAB .
 d)AB và IK cắt nhau tại H . Chứng minh HA.HB = HI.HK . 
 e)Với vị trí nào của dây MN thì tam giác IAB có diện tích lớn nhất ? Tính giá 
	 trị diện tích lớn nhất đó theo R . 
 Bài 25: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B và C . Gọi M,N và P theo thứ tự là 
	điểm chính giữa của các cung AB,BC và AC. BP cắt AN tại I ,NM cắt AB tại E 
	 Gọi D là giao điểm của AN và BC . Chứng minh rằng : 
	 a) DBNI cân . b) AE.BN = EB.AN . 
	 c)EI // BC d) Bài 26 : Cho hai đường tròn (O) và (O1) ở ngoài nhau . Đường nối tâm OO1 cắt các 
	đường tròn (O) và (O1) tại các điểm A , B , C , D theo thứ tự trên đường thẳng	Kẻ tiếp tuyến tuyến chung ngoài EF ( E Î (O) , F Î (O1) ) . Gọi M là giao điểm 
	của AE và DF , N là giao điểm của EB và FC . Chứng minh rằng : 
	 a)	Tứ giác MENF là hình chữ nhật . 
 b) MN ^ AD 
 c)ME . MA = MF . MD 
 -----HẾT----