Chương 2: Giải gần đúng phương trình phi tuyến

CHƯƠNG 2GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾNI. ĐẶT BÀI TOÁN :Bài toán : tìm nghiệm gần đúng của phương trình 	f(x) = 0 với f(x) là hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] hay khoảng mở (a,b).1. Khoảng cách ly nghiệmKhoảng đóng hay mở trên đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình gọi là khoảng cách ly nghiệmĐịnh lý : Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a,b] thoả điều kiệnf(a) f(b) 0 xf hàm đơn điệu tăng nên pt có duy nhất nghiệmVây khoảng cách ly nghiệm là (1,2)Ví dụ : Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt	f(x) = x3 - 3x + 1 = 0giải :Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệtx-2-1012f(x)--131-13+Nhìn vào bảng ta thấy pt có nghiệm trong các khoảng (-2, -1) (0, 1) (1,2)Vì pt bậc 3 có tối đa 3 nghiệm, nên các khoảng cách ly nghiệm là : (-2,-1) (0,1) (1,2)Bài tập : 1. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt	f(x) =ex –x2 + 3x -22. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của pt	f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1Giải 1. 	f(x) =ex –x2 + 3x -2	f’(x) = ex - 2x + 3 Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệtx-2-1012f(x)----+++Nhận xét : f’(x) > 0, x[0,1]. Vây khoảng cách ly nghiêm (0,1)2.	 f(x) =xcosx – 2x2 + 3x+1 	f’(x) = cosx –xsinx -4x +3Ta lập bảng giá trị tại các điểm đặc biệt x-2-1012f(x)---++--Nhận xét : 	f’(x) 0 x[-1,0]Vây các khoảng cách ly nghiệm : (-1. 0), (1,2)2. Cách giải gần đúng pt f(x) = 0 B1: tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm B2: trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình3. Công thức sai số tổng quát : Định lý :Giả sử f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) Nếu x* , x là nghiệm gần đúng và nghiệm chính xác của phương trình và 	|f’(x)| ≥ m > 0, x (a,b) thì sai số được đánh giá theo công thức : 	|x* - x| ≤ |f(x*)| / mVí dụ : Xét phương trình	f(x) = x3-5x2+12 trên khoảng [-2, -1]Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = -1.37Giải	f’(x) = 3x2 -10xTa có 	|f’(x)| = |x| |3x-10| = -x(10-3x), x[-2,-1]Vậy 	|f’(x)| ≥ 13 = m, x[-2,-1]Sai số	|x*-x| ≤|f(x*)|/m  0.0034Ghi nhớ : sai số luôn làm tròn lênVí dụ : Xét phương trình	f(x) = 5x+ -24 = 0trên khoảng [4,5]Tính sai số nếu chọn nghiệm x* = 4.9Giải	f’(x) = 5 + =>	|f’(x)| ≥ 5 + = m, x[4,5]Sai số	|x*-x| ≤|f(x*)|/m  0.34854. Các phương pháp giải gần đúng Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp đơn Phương pháp lặp NewtonII. Phương Pháp Chia ĐôiXét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) =a)nên chúng hội tụCông thức sai số	|xn – x| ≤ (b-a) / 2n+1Vì bn-an = (b-a)/2n, nên lim an = lim bnSuy ra	lim xn = xVậy xn là nghiệm gần đúng của ptÝ nghĩa hình học	Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt	f(x) = 5x3 - cos 3x = 0trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với sai số 0.1GiảiTa lập bảngnan f(an)bn f(bn)xn f(xn)n00 -1 +0.5 +0.510 -0.5 +0.25 -0.2520.25 -0.5 +0.375 -0.12530.375 -0.5 +0.43750.0625Nghiệm gần đúng là x = 0.4375Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt	f(x) = 2+cos(ex-2)-ex = 0trên khoảng [0.5,1.5] với sai số 0.04GiảiTa lập bảngnan f(an)bn f(bn)xn f(xn)n00.5 +1.5 -1 +0.511 +1.5 -1.25 -0.2521 +1.25 -1.125 -0.12531 +1.125 -1.0625 -0.062541 +1.0625 -1.03125 0.03125Nghiệm gần đúng là x = 1.03125III. Phương Pháp Lặp ĐơnXét phương trình f(x) = 0 có nghiệm chính xác x trong khoảng cách ly nghiệm [a,b] và f(a)f(b) 0, f(9) = -262, f(10) = 10Vây khoảng cách ly nghiêm [9,10]Ta chuyển pt về dạng 	x = g(x)Có nhiều cách chuyển : Cách 1: x = 1000 – x3 = g(x) không phải hàm coCách 2: Hiển nhiên g(x) khả vi trên [9,10]	|g’(x)| =	q  0.0034 0Thì dãy lặp {xn} xác định theo công thức Newton sẽ hội tụ về nghiệm x của ptChú ý : Điều kiện Fourier chỉ là điều kiện đủ không phải là điều kiện cần Từ điều kiện Fourier ta đưa ra qui tắc chọn giá trị ban đầu xo như sau :nếu đạo hàm cấp 1 và 2 cùng dấu, chọn xo = b. Ngược lại trái dấu chọn xo = a	 Điều kiện Fourier f(xo)f”(xo) có thể = 0 tại các điểm biên Để đánh giá sai số của pp Newton ta dùng công thức sai số tổng quát	|x* - x| ≤ |f(x*)| / m	m = min |f’(x)| x[a,b] Trong pp Newton, đạo hàm f’(x) phải  0. Nếu  c[a,b] : f’(c) = 0 thì ta phải thu hẹp khoảng cách ly nghiệm để loại bỏ điểm c.Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của pt	f(x) = x-cos x =0Trên khoảng cách ly nghiệm [0,1] với sai số 10-8GiảiKiểm tra điều kiện hội tu	f(x) = x – cos x có đạo hàm cấp 1 và 2 liên tục trên [0,1] f’(x) = 1+sinx > 0, x[0,1] f”(x) = cosx > 0 f’(x) và f”(x) cùng dấu, chọn xo = 1 ta có pp lặp Newton hội tụ2. Xây dựng dãy lặp NewtonCông thức sai sốnxnn0110.7503638670.0220.7391128900.47x10-430.7390851330.29x10-9Nghiệm gần đúng x = 0.739085133Ví dụ : Cho phương trình	f(x) = x3-3x+1= 0Trên khoảng cách ly nghiệm [0,1]. Dùng pp Newton tính nghiệm x3 và đánh giá sai số 3 theo công thức sai số tổng quátGiảiKiểm tra điều kiện hội tuTa thấy f’(x) = 3x2-3= 0 tại x = 1, do đó ta chia đôi để thu hẹp khoảng cách ly nghiệm. Vì f(0) = 1, f(0.5) = -0.375Thu hẹp khoảng cách ly nghiệm [0, 0.5]f(x) có đạo hàm cấp 1 và 2 liên tục trên [0, 0.5]	f’(x) = 3x2-3 < 0	f”(x) = 6x ≥ 0, x [0, 0.5]f’(x) và f”(x) trái dấu, nên chọn xo = 0 thì pp lặp Newton hội tụ2. Xây dựng dãy lặp NewtonCông thức sai sốnxnn0010.3333333330.016520.3472222220.8693x10-430.3472963530.2545x10-8Nghiệm gần đúng x = 0.347296353Sai số 0.2545x10-8V. Giải gần đúng hệ pt phi tuyến bằng pp Newton RaphsonHệ phương trình phi tuyếnTrong đó fi(x1, x2, , xn) là các hàm liên tục và có đạo hàm riêng theo các biến xi liên tục trong lân cận của nghiệmPhương trình tương đương	f(x) = 0Với f = (f1, f2, , fn), x = (x1, x2, , xn)Chọn giá trị ban đầu x(0) tùy ý thuộc lân cận của nghiệm. Ký hiệu x(k) là bộ nghiệm gần đúng ở bước thứ kCông thức Newton	x(k) = x(k-1) –f(x(k-1))/f’(x(k-1)), k = 1, 2 Ta đưa về giải hệ phương trình tuyến tính	Ah = bvới 	b = -f(x(k))	A là ma trân JacobiNghiệm gần đúng : 	x(k+1) = x(k) + hXét trường hợp hệ gồm 2 phương trình với 2 ẩn Với F(x,y), G(x,y) là các hàm liên tục và có đạo hàm riêng theo các biến x, y liên tục trong lân cân của nghiệmChọn (xo, yo) tùy ý thuộc lc của nghiệm, công thức Newton gồm 2 dãy {xn}, {yn}Trong đóNếu dãy (xn,yn) hội tụ thì nó sẽ hội tụ về nghiệm (x,y) của ptVí dụ : Tìm nghiệm gần đúng với n = 1 của hệ ptNếu chọn xo = 1.5, yo = -1.5GiảiVí dụ : Tìm nghiệm gần đúng với n = 1 của hệ ptNếu chọn xo = 1.5, yo = 3.5Giải