Chuyên đề Hằng đẳng thức đáng nhớ và một số dạng toán

ng đẳng thức đáng nhớ để tính 
Phương pháp giải : Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để tính . 
Bài 2: Viết các đa thức sau thành tích 
a) x 3 + 8y 3 
b) a 6 - b 3 
c) 8y 3 - 125 
d) 8z 3 - 27 
Dạng2. Chứng minh đẳng thức 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải . 
Bài 17 - tr 11 sgk 
Bài 20 - tr 12 sgk 
Bài 23 - tr 12 sgk 
Bài 31 - tr 16 sgk 
Bài 38 - tr 17 sgk 
Dạng2. Chứng minh đẳng thức 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải . 
Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức : 
a) ( x + y) 2 - y 2 = x ( x + 2y ) 
b) ( x 2 + y 2 ) 2 - (2xy) 2 = (x + y ) 2 ( x –y ) 2 
c) ( x + y) 3 = x(x - 3y ) 2 +y( y –3x ) 2 
Dạng2. Chứng minh đẳng thức 
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức : 
a) ( a + b) 3 + (a – b) 3 = 2a ( a 2 + 3b 2 ) 
b) ( a + b) 3 - (a – b) 3 = 2b ( b 2 + 3a 2 ) 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải . 
Dạng 3. Tính nhanh 
Phương pháp giải : Đưa số cần tính về dạng (a+b) 2 hoặc (a –b) 2 , trong đó a là số nguyên chia hết cho 10 hoặc 100. 
Bài 22 - tr 12 sgk 
Bài 35 - tr 17 sgk 
Dạng 3. Tính nhanh 
Phương pháp giải : Đưa số cần tính về dạng (a+b) 2 hoặc (a –b) 2 , trong đó a là số nguyên chia hết cho 10 hoặc 100. 
Bài 1: Tính nhanh 
a) 1001 2 
b) 29,9. 30,1 
c) (31,8) 2 – 2.31,8.21,8 + (21,8) 2 
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức 
Phương pháp giải : * Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn 
* Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn . 
Bài 30 - tr 16 sgk 
Bài 34 - tr 17 sgk 
Bài 24 - tr 12 sgk 
Bài 28 - tr 14 sgk 
Bài 36 - tr 17 sgk 
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức 
Phương pháp giải : * Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn 
* Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn 
Bài 1: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức 
a) ( x - 10) 2 - x(x + 80) với x= 0,98 
b) ( 2x + 9) 2 - x(4x+ 31) với x = -16,2 
c) 4x 2 - 28x + 49 với x = 4 
d) x 3 - 9x 2 + 27x -27 với x =5 
Dạng4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức 
Bài 2: Rút gọn biểu thức : 
a) ( x 2 – 2x +2)(x 2 – 2) (x 2 + 2x+2)(x 2 +2) 
b) ( x + 1) 3 + (x -1) 3 + x 3 – 3x( x+1 )(x-1) 
c) ( a + b +c) 2 + (a + b -c) 2 + ( 2a -b) 2 
d) 100 2 - 99 2 + 98 2 -97 2 +  + 2 2 -1 2 
e) 3(2 2 + 1)(2 4 +1)( 2 64 +1) +1 
f) ( a + b +c) 2 + (a + b -c) 2 + 2( a +b) 2 
Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp 
Phương pháp giải : * Dựa vào một số hạng tử của đẳng thức có trong ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ . 
* Thay vào ô trống hạng tử thích hợp . 
Bài 32 - tr 16 sgk 
Bài 18 - tr 11 sgk 
Bài 29 - tr 14 sgk 
Dạng 5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp 
Bài 1: Điền vào ô trống để biểu thức sau trở thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu : 
a) x 2 + 20x + 
c) y 2 - + 49 
b) 16x 2 + 24x + 
d) - 42xy + 49y 2 
Dạng 5 . Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp 
Bài 2: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng : 
a) x 2 + 6xy + = ( + 3y) 2 
? 
? 
b) ( + ) 2 = x 2 + + 4y 4 
? 
? 
? 
c) ( + ) 2 = + m + 
? 
? 
? 
Dạng 5 . Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp 
Bài 3: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng : 
a) (2a +3b)( - + ) = 
8a 3 + 27b 3 
b) (5x - )( +20xy+ )= 
125x 3 – 64y 3 
Dạng 6. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương , lập phương của một tổng ( một hiệu ) 
Phương pháp giải : Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ 
Bài 16 - tr 11 sgk 
Bài 21 - tr 12 sgk 
Bài 27 - tr 14 sgk 
Bài 37 - tr 17 sgk 
Dạng 6. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương , lập phương của một tổng ( một hiệu ) 
Bài 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương : 
a) x 2 + 10x + 26 + y 2 +2y 
b) x 2 - 2xy + 2y 2 +2y +1 
c) z 2 - 6z + 13 + t 2 +4t 
d) 4x 2 -4xz + 1 + 2z 2 -2z 
Dạng 7. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến 
Bài 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến . 
a) (2x +3)(4x 2 - 6x +9) - 2(4x 3 -1) 
b) ( x +3) 3 -(x + 9) (x 2 +27) 
Dạng 7. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến 
Bài 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y : 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến . 
a) (x +y)(x 2 - xy +y 2 ) + (x -y)(x 2 + xy + y 2 ) – 2x 3 
b) ( xy -5)(xy+2) +3(xy-2)(xy +2) -(3xy - ) 2 + 5x 2 y 2 
Dạng 8. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái ( hoặc vế phải ) về dạng aX = b, từ đó tìm X. 
Bài 1: Tìm x, biết : 
a) ( x + 2 ) 2 - 9 = 0 
b) ( x + 2 ) 2 - x 2 + 4 = 0 
c) ( x - 3 ) 2 - 4 = 0 
d) x 2 - 2x = 24 
e) ( 2x - 1) 2 + (x +3) 2 – 5( x+7 )(x-7) = 0 
Phương pháp giải : Dựa các hằng đẳng thức 
Để đưa về dạng T = a ± [ F (x) ] 2 với a là hằng số . 
Dạng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của một biểu thức 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 
c) C = x 2 - 2x + y 2 – 4y + 7 
a) A = 4x 2 +4x +11 
b) B = ( x -1 )( x +2 )( x +3 )( x +6 ) 
Dạng 9. Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của một biểu thức 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 
c) C = x 2 - 4xy + 5y 2 – 22y +10x +28 
a) A = x 2 - 20x +101 
b) B = 4a 2 +4a +2 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : 
a) A = 4x - x 2 +3 
b) B = x - x 2 
Phương pháp giải : Biến đổi đẳng thức về dạng A 2 + B 2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0. 
Dạng 10. Phương pháp tổng bình phương 
Bài 1: 
a) Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca, chứng minh a=b =c 
b) Tìm a, b, c thỏa mãn đẳng thức : a 2 - 2a + b 2 + 4b + 4c 2 - 4c + 6 = 0 
Dạng 10. Phương pháp tổng bình phương 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu : 
( x - y) 2 + ( y - z ) 2 + ( z – x ) 2 
= ( y+z -2x ) 2 + (z +x -2y) 2 + (x +y -2z) 2 
 thì : x = y = z 
Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số 
Phương pháp giải : Dựa các hằng đẳng thức 
Để đưa về dạng [ F (x) ] 2 + k với k >0 
 hoặc - [ F(x)] 2 + n với n<0 
Bài 1: Chứng minh rằng : 
a) A = x 2 +x +1 >0 với mọi x 
b) B = -4x 2 -4x -2 <0 với mọi x 
c) C = x 2 - 6z+ 4y 2 +8y + z 2 - 2x + 15 >0 với mọi x,y,z 
Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số 
Bài 2: Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x,y : 
a) A = x 2 + xy + y 2 +1 > 0 
c) C = 5x 2 + 10y 2 -6xy - 4x – 2y +3 >0 
b) B = x 2 -4xy + 5y 2 + +2x -10y +14 >0 
Dạng 12. Áp dụng vào số học 
Phương pháp giải : 
• Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k 
• Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia 
Bài 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5 
Dạng 12. Áp dụng vào số học 
Bài 2: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 
Giải : 
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. tổng lập phương của chúng là : 
Vì : trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên 3n(n 2 -1) chia hết cho 9, lại có 9n chia hết cho 9. 
A = (n-1) 3 + n 3 + (n+1) 3 
= n 3 -3n 2 +3n -1 + n 3 + n 3 +3n 2 +3n +1 
= 3n 3 + 6n = 3n( n 2 -1) + 9n = 3 (n-1)n(n+1) + 9n 9 
Dạng 12. Áp dụng vào số học 
Bài 3: Biết số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n 2 chia cho 7 dư bao nhiêu ? n 3 chia cho 7 dư bao nhiêu ? 
Bài 4: Cho a , b là các số nguyên . Chứng minh 
a 3 + b 3 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a+b chia hết cho 3. 
Bài 5: a+b =1. Tính giá trị M = 2( a 3 + b 3 ) – 3( a 2 + b 2 ) 
Dạng 13. Một số hằng đẳng thức tổng quát 
Phương pháp giải : Bằng phép nhân đa thức có : 
a n – b n = (a-b)( a n-1 +a n-2 b+ + ab n-2 +b n-1 ) với mọi số nguyên dương n 
a n + b n = ( a+b )( a n-1 -a n-2 b+  - ab n-2 +b n-1 ) với mọi số nguyên dương n lẻ 
Nhị thức newton : 
( a+b) n = a n + a n-1 b + a n-2 b 2 ++ ab n-1 + b n với 
Dạng 13. 
Phương pháp giải : Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết ta có : 
• a n – b n chia hết cho a – b với a ≠ b và n nguyên dương 
• a 2n +1 + b 2n+1 chia hết cho a+b 
• a 2n – b 2n chia hết cho a + b. 
Bài 1: Chứng minh 11 10 – 1 chia hết cho 100. 
Dạng 13. 
Bài 1: Chứng minh 11 10 – 1 chia hết cho 100. 
Giải : 
Có 11 10 – 1 = 11 10 – 1 10 = (11 -1)(11 9 +11 8 ++ 11+1) 
 = 10(11 9 +11 8 ++ 11+1) 
Vì 11 9 +11 8 ++ 11+1 có chữ số tận cùng bằng 0 
 nên 11 9 +11 8 ++ 11+1 chia hết cho 10. 
Vậy 11 10 –1 chia hết cho 100. 
Dạng 13. 
Bài 2: Với n là số nguyên dương chẵn , chứng minh 20 n +16 n –3 n - 1 chia hết cho 323. 
Giải : 
Ta có : 323 = 17.19. Áp dụng các hằng đẳng thức tổng quát ta có 20 n – 1 chia hết cho 19, và vì n chẵn nên 16 n - 3 n chia hết cho 16 +3 =19, do đó 20 n +16 n –3 n - 1 = (20 n – 1) + (16 n - 3 n ) chia hết cho 19. 
Mặt khác , vì 20 n -3 chia hết cho 17 và 16 n -1 chia hết cho 16 +1 = 17 nên 20 n +16 n –3 n - 1 = (20 n -3 ) + (16 n -1 ) chia hết cho 17. 
Vậy 20 n +16 n –3 n - 1 chia hết cho 323 
Bài 3: Chứng minh không có đa thức F(x ) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9. 
Giải : 
Vế trái chia hết cho 15 -7 = 8, vế phải là 4 không chia hết cho 8 
Vậy không có đa thức F(x ) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9. 
Dạng 13. 
Bài 4: Chứng minh 
 a) 11 n+2 +12 2n+1 chia hết cho 133. 
 b) 5 n+2 + 26.5 n +8 2n+1 chia hết cho 59. 
c) 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19. 
Bài 4: Chứng minh 
 a) 11 n+2 +12 2n+1 chia hết cho 133. 
Giải : 
 b) 5 n+2 + 26.5 n +8 2n+1 chia hết cho 59. 
Giải : 
c) 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19. 
Giải : 
Bài 6: Chứng minh với số nguyên n>1 có : 
n n – n 2 + n -1 chia hết cho ( n-1 ) 2. 
Dạng 13. 
Bài 5: Cho đa thức với hệ số nguyên F(x ) có F(0) và F(1) là hai số lẻ . Chứng minh rằng F(x ) không có nghiệm nguyên . 
Bài 7: Với số số tự nhiên n, cho : 
Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n có một và chỉ một trong hai số chia hết cho 5.