Chuyên đề Khảo sát hàm số các bài toán liên quan

F Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
F Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
F Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]). 
F Biết các bước trình bày bài giải	và tính đúng kết quả.
‚ Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
? Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
? Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)
Ta có: ex = 2 Û x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S = 	(0,25 đ)
= (đvdt)	(0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) : y = – x 3 – 3x2 và trục Ox.
 Giải: 
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. 
Từ đồ thị ta có: 
 = 27/4 ( đvdt) 
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 x3 – 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0
	a) Xác định m để hàm số có cực trị.
	b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : 
(x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4: Cho hàm số (m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Cho hàm số 
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
	c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số 
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).
	b) Dùng đồ thị (C2) giải và biện luận phương trình : 
 x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1.
	d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra.
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong :
 y = ; y = .
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể 
	tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox.
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x2 và y = quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
	Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụ Cho hàm số và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình (điều kiện x khác 1)
+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ¹ 0 và m ¹ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và 
x = . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt 
(chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.
	 + m ¹ 0 và m ¹ - 2 có hai giao điểm.
Bài tập:
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): và đường thẳng (T): .	
KQ: 1 giao điểm ( m £ ), 3 giao điểm ( m > )
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số .
KQ: -28 < a £ 0
Bài 3) Cho đường cong (C): . Tìm các giá trị của k sao cho trên (C) có 2 điểm khác nhau P, Q thỏa mãn điều kiện: .
Dạng 4: Cực trị của hàm số
Yêu cầu đối với học sinh: 
F Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
? Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) ® không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
? Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) ® có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
? Hàm số nhất biến dạng: ® chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
? Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: ® không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.
F Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0 Î (a;b)
Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0
Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + ® – khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0.
Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – ® + khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số có xác định tại đó).
F Hoặc:
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) ¹ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0. 
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0. 
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0. 
Bài tập: Định tham số m để:
Hàm số y = có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m 3
Hsố y = có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m.	
Kết quả : "m và x2 – x1 = 1
Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : = 2.	Kết quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?	
	Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) Î (C).
	F Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) hay y – y0 = k(x – x0) (*)
	F Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
	Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
	F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
	y – yA = k(x – xA)	(1)
	F Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
	F Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
	C1: 	F Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k Þ .. Þ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)	F Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
	C2:	F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) 
(trong đó m là tham số chưa biết)
	F Bước 2: Lập và giải hệ pt: Þ k = ? thay vào (**). 
 Ta có kết quả
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
	a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
	b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C). 
	a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
	b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị 
	hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với 
	trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm 
	với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y = . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Viết pttt của đồ thị hàm số y = đi qua B(1;0)
Bài 8) Cho hàm số y = x3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + 5. Lập pttt kẻ từ A(;4)
Bài 10) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M Î đồ thị (C) của hàm số đã cho sao 
	cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số , m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số , có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.
Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + 5 và y = 1. 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 
2. Định m để ptrình : 2x2 – 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
Bài 5 :	Cho hàm số gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất 
Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:
	Cho hàm số
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng 
Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
Bài 7:
	 Cho hàm số 
	a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;¥)
Bài 8 :
	Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.