Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử - Võ Văn Ninh

 x 2 + 5x – 6 = x 2 – x + 6x – 6 
 	 = x( x – 1 ) + 6( x – 1 ) 
 = ( x – 1 )(x + 6) 
Ngồi phương pháp tách hạng tử bậc nhất ta cịn cĩ thể tách hạng tử bậc 0. 
 Vd : x 2 + 5x – 6 = x 2 + 5x – 5 – 1 
 = ( x – 1 )(x + 1) + 5( x – 1 ) 
	 = ( x – 1 ) (x + 6) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
5. Phương pháp tách hạng tử 
Đối với đa thức khơng phải là tam thức bậc 2 ta vẫn cĩ thể tách hạng tử . 
Vd1 : x 2 + 3xy + 2y 2 = x 2 + xy +2xy +2y 2 
 = x (x + y) + 2y (x +y) 	 = ( x + y )(x + 2y) 
Vd 2: xy(x +y) + yz ( y +z) + xz(x + z) + 2xyz = 
 = [ xy ( x + y) + xyz ] + [ yz(y + z) + xyz ] + xz(x + z) 
= xy( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz(x + z) 
= (x + y + z)y( x + z ) + xz( x + z ) 
= ( x + z )(yz + y 2 + xy + xz )=(x + z)[y( y + z ) + x( y + z )] 
= ( x + y )( y + z )( z + x ) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
5. Phương pháp tách hạng tử 
Vd3 : 
x 8 + x 4 + 1 = x 8 + 2x 4 + 1 – x 4 
	 = (x 4 + 1) 2 – x 4 
	 = ( x 4 + 1 + x 2 )( x 4 +1 – x 2 ) 
	 = (x 4 + 2x 2 +1 – x 2 )(x 4 + 1 – x 2 ) 
	 = [(x 2 + 1) 2 – x 2 ](x 4 + 1 – x 2 ) 
	 = ( x 2 + x + 1)( x 2 – x +1 )(x 4 + 1 – x 2 ) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
5. Phương pháp tách hạng tử 
Đặc biệt : 
 Với f(x ) = x 2 + (a + b) x + ab = (x + a )(x + b ) 
 g(x ) = x 3 + ( a + b + c )x 2 + ( ab + ac + bc )x + abc 
 = (x + a )(x + b )(x + c ) 
Vd : x 2 + 5x + 6 = x 2 + ( 2 +3 )x + 2.3 
	 = (x + 2 )(x + 3 ) 
x 3 + 6x 2 +11x + 6 = 
 = x 3 + ( 1 +2 + 3 )x 2 + ( 1.2 + 1.3 + 2.3 )x + 1.2.3 
 = (x + 1 )( x+ 2 )(x + 3 ) 
5. Phương pháp tách hạng tử 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
Bài tập : 
a) 3x 2 + 5x – 2 
b) 5x 2 + 6xy + y 2 
c) –14x 2 + 39x – 10 
d) x 3 + 2x 2 –25x – 50 
e) 4x 3 – 14x 2 + 6x	 
f) x 3 + 4x 2 – 29x + 24 g) x 3 + 21x 2 + 134x +240 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
5. Phương pháp tách hạng tử 
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử . 
Trong một số trường hợp phải thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức . 
Vd1: x 4 + 4 = (x 2 ) 2 + 2.x 2 .2 + 4 – 2.x 2 .2 
	 	 = ( x 2 + 2) 2 – (2x) 2 
	 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 +2 – 2x) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
Vd2 
 x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x +1 
	 	 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) 
	 = x 2 (x – 1) (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1) 
	 = (x 2 + x + 1) ( x 3 – x 2 +1) 
 Đa thức có dạng x a + x b + 1 thường đều chứa nhân tử x 2 + x + 1 do đó để phân tích các đa thức này ta thêm bớt hạng tử thích hợp hoặc thực hiện phép chia . 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử . 
Bài tập : 
 a) x 4 + 64 
b) x 4 + 4y 4 
c) x 5 + x 4 +1 
d) x 8 + x 4 +1 
e) x 7 + x 2 + 1 
f) x 10 + x 5 + 1 
g) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử . 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
a) Định lí 
 Định lí Bê – du : 
 	 Khi chia đa thức f(x ) cho nhị thức (x-a) thì dư của phép chia là f(a ) tức là bằng giá trị của đa thức khi x = a. 
 	Theo hệ quả định lí Bê-du , nếu khi x =a là một nghiệm của f(x ) thì f(x ) chia hết cho nhị thức (x – a). 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
 Định lí nghiệm nguyên : 
 f(x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hạng tử độc lập a 0 . 
Đặc biệt : 
 + Nếu a n + a n-1 +  + a 0 = 0 => f(1) = 0 , tức là đa thức có nghiệm x = 1. 
 + Nếu ( a 2n + a 2n-2 + + a 0 ) – ( a 2n-1 + a 2n-3 + + a 1 ) = 0 => f(-1) = 0 tức là đa thức có nghiệm x = -1 . 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
VD : Phân tích đa thức f(x ) = x 3 + 2x 2 – 5x – 6 
 Ta có (2 – 6) – (1 – 5 ) = 0 
Vậy đa thức có một nghiệm x = -1. 
Thực hiện phép chia đa thức f(x ) cho (x + 1 ) ta được : 
 q(x ) = x 2 + x – 6 
F(x ) = (x + 1) ( x 2 + x – 6) 
 = ( x + 1 )(x 2 – 2x + 3x – 6) 
 = (x + 1)(x – 2)(x + 3) 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
+ Đối với đa thức nhiều biến f(x,y ) nhận giá trị bằng 0 khi x = y thì f(x,y ) chia hết cho (x – y) 
 VD : Phân tích đa thức thành nhân tử 
 yz(y –z) + xz(x – z) + xy(x – y) 
Thay x = y => f(x,y,z ) = 0, 
 y = z => f(x,y,z ) = 0 ; 
 x = z => f(x,y,z ) = 0 
Vậy đa thức có thể viết dưới dạng : 
 f(x,y,z )= k(x – y)(y – z)(x – z) 
  yz(y –z) + xz(x – z) + xy(x – y) = k (x – y )(y – z )(x – z ) 
Ta xét y 2 z trong vế phải và – ky 2 z trong vế trái => k = –1 
 Vậy f(x,y,z ) = –(x – y)(y – z)(x – z) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
b./ Sơ đồ Horner 
 Để tính các hệ số trong đa thức thương và dư trong phép chia đa thức 
F(x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a 0 cho x – α 
Giả sử f(x ) = ( x – α ). g(x ) + r 	 
Với g(x ) = b n x n-1 + b n-1 x n-2 +  +b 2 x + b 1 ta có sơ đồ sau : 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
Sơ đồ horner 
a n 
a n-1 
a n-2 
a 1 
a 0 
α 
b n = a n 
b n-1 = α b n + a n-1 
b n-2 = α b n-1 + a n-2 
. 
b 1 = α b 2 + a 0 
r= α b 1 + a 0 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử  F(x ) = 2x 4 – 3x 2 + 4x -12 Ta xét thấy x=-2 là nghiệm của f(x ) 
2 
0 
3 
4 
12 
- 2 
2 
- 4 
5 
- 6 
0 
Vậy f(x ) = ( x + 2 )( 2 x 3 – 4 x 2 + 5 x – 6 ) 
Nếu F(x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a 0 (a n ≠ 0) có n nghiệm là x 1 ,x 2 ,..., x n thì f(x ) = a n (x- x 1 )(x- x 2 )..( x- x n ). 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
c) Tìm nghiệm qua máy tính bỏ túi Fx500MS,Fx570MS,Fx500ES: 
 Nếu F(x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a 0 (a n ≠ 0) có n nghiệm là x 1 ,x 2 ,..., xn thì f(x ) = a n (x- x 1 )(x- x 2 )..( x- x n ). 
 Đối với phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) 
Ta gọi chương trình EQN – 1 Degree 2 rồi nhập hệ số a,b,c 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
c) Tìm nghiệm qua máy tính bỏ túi Fx500ES,Fx570MS,Fx500ES: 
VD : f(x )= x 2 + 3x + 2 
 có nghiệm là 	 
Nên f(x ) = x 2 + 3x + 2 = 
Đối với phương trình bậc 3 : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ta gọi chương trình EQN – 1 Degree 3 rồi nhập các hệ số a,b,c,d 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức : 
VD: x 3 – 2x 2 – x + 2 có nghiệm là 
 x 1 = -1 ; x 2 = 2 ; x 3 = 1 
Nên x 3 – 2x 2 – x + 2 = (x +1 )(x - 2)(x – 1) 
Hạn chế của việc dùng máy tính là chỉ sử dụng khi phân tích các đa thức 1 biến bậc 2 và bậc 3 không phân tích được các đa thức có bậc cao hơn . 
Bài tập : 
 a ) x 3 + 3x 2 + 3x + 2 
 b ) x 3 - x 2 – 8x + 12 
 c ) x 3 – 3x 2 + 6x – 4 
 d ) x 3 – 9x 2 + 15x + 25 
 e ) 2x 4 + x 3 – 22x 2 + 15x – 36 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ : 
Xét ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 f(x )= x (x + 4)(x + 6)( x + 10 ) + 128 
	 Giải 
f(x ) = (x 2 + 10x)(x 2 + 10x +24) + 128 
Đặt y = x 2 + 10x + 12 
Thì ta được đa thức có dạng như sau : 
f ( y ) = (y – 12)(y + 12) + 128 
 = y 2 – 16 = (y + 4)(y – 4) 
hay f(x ) = (x 2 + 10x + 16)(x 2 +10x + 8) 
 =(x + 2)(x + 8)(x 2 + 10x +8) 
Nhận xét phương pháp : nhờ đặt ẩn phụ mà ta đã đưa đa thức 
bậc 4 ẩn x trở thành đa thức bậc 2 với ẩn y 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ : 
VD2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 G(x ) =(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
 Giải 
G(x ) = (x 2 + 7x + 10)(x 2 + 7x + 12) – 24 
	 Đặt y= x 2 + 7x + 10 ta được : 
G(y ) = y(y + 2) – 24 = y 2 + 2y – 24 
 = y 2 + 6y – 4y – 24 	 
 = (y + 6)(y – 4) 
Thay y = x 2 + 7x + 10 được : 
G(x ) = (x 2 + 7x +16)(x 2 + 7x + 6) 
 = (x+ 1)(x + 6)(x 2 + 7x + 16) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ : 
Bài tập : 
 a ) (x 2 – 3x – 1) 2 – 12(x 2 – 3x – 1 ) + 27 
 b ) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
 c ) (x 2 + x) + 4x 2 + 4x – 12 
 d ) (x 2 + x +1)(x 2 + x+ 2) –12 
 e ) 27x 3 – 27x 2 + 18x – 4 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
9./ Phương pháp hệ số bất định 
VD : Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 14x + 3 
Nếu phân tích dược thành nhân tử thì đa thức có dạng 
 (x 2 + a x + b )(x 2 + c x + d ) 
Phép nhân có kết quả sau : 
x 4 + ( a + c) x 3 + ( ac + b + d )x 2 + ( ad + bc )x + bd 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
9./ Phương pháp hệ số bất định 
Ta đồng nhất biểu thức này với biểu thức đã cho ta được : 
 a + c = – 6 
 ac + b + d =12 
 ad + bc = – 14 
 bd = 3 
 Xét bd =3 với b,d  ±1;±3  
Với b = 3 thì d = 1, ta được : 
 a + c = – 6 
 ac = 8 
 a + 3c = – 14 
Suy ra 2c = – 14 – ( – 6 ) = – 8 
Do đó c = – 4 ; a = – 2 
Vậy x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 14x + 3 =(x 2 – 2 x + 3 )(x 2 – 4 x + 1 ) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
9./ Phương pháp hệ số bất định 
Bài tập : 
a ) x 3 + 2x 2 – 2x – 12 
b ) x 4 + 6x 3 + 7x 2 – 6x + 1 
c ) x 4 – 7x 3 + 14x 2 – 7x + 1 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
III. KẾT LUẬN 
Trên đây là một số phương pháp phân tích thành nhân tử . Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng theo kịp và tiếp thu hết các phương pháp trên . Tùy đối tượng học sinh ta sẽ vận dụng phù hợp và linh hoạt để tạo cho học sinh hứng thú và thích học môn toán . 
Phân tích đa thức thành nhân tử